時(shí)滯的功能反應(yīng)的食餌捕食模型的穩(wěn)定性

戴志偉,戴志梅

(1.蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070; 2.寧德師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,福建 寧德 352000)

時(shí)滯的功能反應(yīng)的食餌捕食模型的穩(wěn)定性

戴志偉1,戴志梅2

(1.蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070; 2.寧德師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系,福建 寧德 352000)

利用Ruan S的關(guān)于時(shí)滯的功能反應(yīng)的食餌捕食模型的穩(wěn)定性判定方法的思想，研究了時(shí)滯的功能反應(yīng)的食餌模型及其穩(wěn)定性.

時(shí)滯； 功能反應(yīng)； 食餌捕食模型； 穩(wěn)定性

0 引言及預(yù)備知識(shí)

文章介紹了時(shí)滯和功能反應(yīng)的食餌捕食模型,引入判定該模型的方法和相關(guān)定理[1].種群動(dòng)力學(xué)作為生物數(shù)學(xué)的重要分支近年來(lái)得到了充分的重視,捕食者與食餌之間的動(dòng)力學(xué)行為一直是一項(xiàng)重要的研究領(lǐng)域,不同類(lèi)型的食餌捕食模型已經(jīng)得到了廣泛的研究和長(zhǎng)足的發(fā)展.因此不論從生物學(xué)家還是從數(shù)學(xué)家的角度來(lái)說(shuō)研究捕食者與食餌的動(dòng)力學(xué)都有深遠(yuǎn)的影響[3,5-8].本文主要介紹關(guān)于非單調(diào)的功能效應(yīng)的時(shí)滯食餌捕食系統(tǒng),系統(tǒng)如下:

其中x(t),y(t)分別表示食餌和捕食者的樣本的密度,r表示在沒(méi)有捕食者的情況下,食餌的成長(zhǎng)率,K表示環(huán)境對(duì)食餌的容納量,D表示捕食者的死亡率,A表示捕食者和食餌保持半飽和穩(wěn)定下功能反應(yīng)已經(jīng)達(dá)到半個(gè)極大值時(shí)的捕食者的半穩(wěn)定常量,H表示捕食者的收獲率常量,τ表示時(shí)滯,它們都是大于零的常量.

本文主要研究該模型的穩(wěn)定性,主要思路： 1)有正平衡點(diǎn)的情況下求出正平衡點(diǎn); 2)對(duì)該方程系統(tǒng)進(jìn)行線性化,得到相應(yīng)的線性系統(tǒng); 3)應(yīng)用常微分方程理論求出相應(yīng)的特征方程和特征根,判斷根的實(shí)部是否是負(fù)的;有負(fù)實(shí)部,則該系統(tǒng)的正平衡點(diǎn)穩(wěn)定,否則不穩(wěn)定,同時(shí)有可能在相應(yīng)的分岔點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生霍普夫分岔[2-4].

1 主要結(jié)論

本部分主要研究如下系統(tǒng)的穩(wěn)定性情況

(1)

其中x(t),y(t)分別表示食餌和捕食者的樣本的密度,r表示在沒(méi)有捕食者的情況下,食餌的成長(zhǎng)率,K表示環(huán)境對(duì)食餌的容納量,D表示捕食者的死亡率,A表示捕食者和食餌保持半飽和穩(wěn)定下功能反應(yīng)已經(jīng)達(dá)到半個(gè)極大值時(shí)的捕食者的半穩(wěn)定常量,H表示捕食者的收獲率常量,τ表示時(shí)滯,它們都是大于零的常量.

(I)求出正平衡點(diǎn)

(II)線性化

令z1(t)=x(t)-x0,z2(t)=y(t)-y0,得到如下形式

其中

則線性系統(tǒng)如下:

(2)

λ2-(α1e-λτ+β2)λ+β2α1e-λτ-α2β1=0

(3)

當(dāng)τ變化時(shí),有些特征值的實(shí)部是否隨著增大趨于零或者有可能由負(fù)變?yōu)榱?甚至最后成為正的情況.因此,可以假設(shè)iω是式(3)的根,則帶入式(3)整理得

ω2+α2β1=α1[β2cos(τω)-ωsin(τω)]

(4)

-β2ω=α1[β2sin(τω)+ωcos(τω)]

(5)

由式(4)的平方加上式(5)的平方,得

(6)

(III)穩(wěn)定性

(A)當(dāng)τ=0時(shí),特征方程為λ2-(α1+β2)λ+β2α1-α2β1=0,則(H1)α1+β2<0.(H2)β2α1-α2β1>0,

(B)當(dāng)τ≠0時(shí)，

(C)穩(wěn)定性情況如下:

如果(H1),(H2)和(H3)成立時(shí),式(6)的根對(duì)所有τ≥0,都有負(fù)實(shí)部,那么系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)(x0,y0)是漸近穩(wěn)定的;

由式(6)可得

由式(4)乘以β2加上式(5)乘以ω,得

由式(4)×β2+式(5)×ω,得

如果(H1),(H2)和(H3)成立時(shí),式(6)的根對(duì)所有τ≥0,都有負(fù)實(shí)部,那么系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)(x0,y0)是漸近穩(wěn)定的;

[1]Ruan S. On Nonlinear Dynamic of Predator-Prey Models with Discrete Delay[J].Quart Appl Math,2009,4(2):140-188.

[2]Wu J,Liu Z H,Yuan R,et al. The Effects of Harvesting and Time Delay on Predator-prey Systems with Holling-Type II Functional Re1[J].Siam Journal on Applied Mathematics,2013,70(4):1178-1200.

[3]Zhang G,Zhu L L,Chen Bosha. Hopf bifurcation in a delayed differential algebraic biological economic system[J].Nonlinear Analysis Real World Applications,2011,12(3):1708-1719.

[4]Zhang L,Wang H L,Hu H Y. Symbolic computation of normal form for Hopf bifurcation in a retarded functional differential equation with unknown parameters[J].Commun Nonlinear Sci Numer Simulat,2012,17(1):3328-3344.

[5]Simthe H. An introduction to Delay Differential Equations with Applicatins to the Life Sciences[M].The Federal Republic of Deutschland:Springer-Verlag,2011,87-166.

[6]Faria T,Magalhaes L T. Normal Forms for Retarded Functional Differential Equations and Applications to Bogdanov-Takens[J]. Differential Equations,1995(122):201-224.

[7]He X,Li C D,Huang T W,et al. Codimension two bifurcation in a simple delayed neuron model[J]. Neural Comput & Applic 2013,23(7):2295-2300.

[8]Dai G R,Xu C X. A predator-prey system with constant-rate prey harvesting under type-I functional response[J].Acta Mathematica Scientia,1994,14 (2):134-144.

[責(zé)任編輯：李春紅]

TheStabilityofaDelayPredator-PreyModelwithFunctionalResponse

DAI Zhi-wei1,DAI Zhi-mei2

(1.School of Mathematics and Physics,University of Lanzhou Jiaotong,Lanzhou Gansu 730070,China)
(2.Department of Mathematics,Ningde Normal University,Ningde Fujian 352100,China)

In this paper,the stability of a delay predator-prey model with functional response was introduced; The methods of the main idea of S.Ruan for the stability of a delay predator-prey model with functional response is applied to this article,which is studied.

delay; functional response; predator-prey model; stability

2015-05-14

戴志偉(1989-),男,福建莆田人，碩士研究生,研究方向?yàn)榭茖W(xué)與工程計(jì)算. E-mail:1026447889@qq.com

O175

:A

:1671-6876(2015)03-0210-04