二階常微分方程Sturm-Liouville問題的正解的存在性

王 偉

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇 南京 210046)

二階常微分方程Sturm-Liouville問題的正解的存在性

王 偉

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,江蘇 南京 210046)

運(yùn)用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理對(duì)二階常微分方程Sturm-Liouville問題的正解存在性證明進(jìn)行了推廣.

微分方程; 邊值問題; 正解; 不動(dòng)點(diǎn)定理

0 引言

非線性常微分方程邊值問題是微分方程研究中的一個(gè)重要的領(lǐng)域.1833～1841年間,Sturm和Liouville合作討論了二階線性齊次方程的邊值問題和Sturm-Liouville特征值問題,他們將二階線性微分方程化成

(p(t)x′)′+λq(t)x=0,p(t),q(t)>0,

它滿足的邊值條件為

x′(a)-αx(a)=x′(b)+βx(b)=0,α,β>0,

現(xiàn)在稱為Sturm-Liouville邊值條件,且得到了Sturm-Liouville特征值問題的一系列結(jié)果,形成了Sturm-Liouville理論.

馬如云[1]研究了如下二階邊值問題

u"+f(t,u)=0,0

(1)

αu(0)-βu′(0)=0,γu(1)+δu′(1)=0

(2)

在條件(i)f0=0且f∞=∞或,(ii)f0=∞且f∞=0,下的正解的存在性.

本文對(duì)其證明進(jìn)行了推廣,其中u(t)是問題(1)～(2)的正解是指當(dāng)t∈(0,1)時(shí),有u(t)>0,且u(t)滿足微分方程(1)和邊值條件(2).

且本文總假定:

(A1)f∈C([0,∞),[0,∞));

(A2)α∈C([0,1],[0,∞))且在(0,1)內(nèi)的任一子區(qū)間內(nèi)α(t)不恒為0;

(A3)α,β,γ,δ≥0及γβ+αγ+αδ>0

1 預(yù)備知識(shí)

以下我們介紹本文所需要的一些概念及結(jié)果[2-3].

定義1[2]我們稱P是一個(gè)錐,如果P是E中某非空凸閉集,并且滿足如下兩個(gè)條件：

(i)x∈p,λ≥0?λx∈p;

(ii)x∈p,-x∈p?x=0.

(B1)‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω1且‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω2或

引理2 (Arzela-Ascoli定理[3])設(shè)X是緊集,C(X)是X上連續(xù)函數(shù)形成的Banach空間,若Φ?C(X)是逐點(diǎn)有界且等度連續(xù),即有

(C1)?x∈X,sup{|f(x)|:?f∈Φ}<∞;

(C2)?x∈X,?ε>0,?x的鄰域V,使|f(y)-f(x)|<ε,?y∈V及f∈Φ,則Φ在C(X)中完全有界.

2 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)f(t,u)連續(xù),u≥0,對(duì)t∈[0,1]有f(t,u)≥0,當(dāng)u>0時(shí)f(t,u)在[0,1]的任意子區(qū)間上不恒為零,若α,β,σ≥0,及ρ=γβ+αγ+ασ>0且f滿足:

則邊值問題(1)～(2)至少存在一個(gè)正解.

當(dāng)且僅當(dāng)u是算子方程

的解.其中k(t,s)表示邊值問題

u"=0,

αu(0)-βu′(0)=0,

γu(1)-σu′(1)=0,

的Green函數(shù).

設(shè)K={u∈C[0,1]:u(t)≥0,minu(t)≥M‖u‖}是C[0,1]中的錐,其中

事實(shí)上,?u,v∈k,λ∈(0,1),則

min(λu+(1-λ)v)≥λminu(t)+(1-λ)minv(t)=M‖λu‖+M‖(1-λ)v‖≥M‖λu+(1-λ)v‖,

即K為凸的.

則

若u∈k,-u∈k,則u(t)≥0,-u(t)≥0,即u(t)=0.由以上證明可知,K為C[0,1]中的錐.

記φ(t)=γ+σ-γt,ψ(t)=β+αt,0≤t≤1,則

所以

故

因此,若u∈K,則

所以,AK?K,顯然A:k→k是全連續(xù)算子.

因此,若u∈K,則

(3)

所以

對(duì)?ε>0,由K(t,s)在[0,1]×[0,1]中的一致連續(xù)性,?σ使得對(duì)s∈[0,1]有

|k(t,s)-k(t′,s)|<ε(當(dāng)|t-t′|<σ),

從而

(4)

因此,若u∈k,‖u‖=H1,則由式(3)和式(4)得

所以無論何種情況,只要令Ω2={u∈E,‖u‖

[1]馬如云. 非線性常微分方程非局部問題[M]. 北京:科學(xué)出版社,2003.

[2]孫經(jīng)先. 非線性泛函分析及其應(yīng)用[M]. 北京:科學(xué)出版社,2007:4-75

[3]張恭慶,林源渠. 泛函分析講義:上冊[M]. 北京:北京大學(xué)出版社,1987:206.

[責(zé)任編輯：李春紅]

TheExistenceofPositiveSolutionsoftwoOrder
Sturm-LiouvilleBoundaryValueProblems

WANG Wei

(School of Applied Mathematics,Nanjing University of Finance and Economics,Nanjing Jiangsu 210046,China)

This paper generalized the provement of the existence of positive solutions of two order Sturm-liouville boundary value problem by using Krasnoselskii fixed point theorem.

differential equation; boundary value problem; positive solution; fixed point theorem

2015-04-02

王偉(1989-),女,河北邯鄲人,碩士,研究方向?yàn)榉蔷€性分析及應(yīng)用． E-mail:853529167@qq.com

O175

:A

:1671-6876(2015)03-0203-04