基于多元函數(shù)約束條件的變分極值在最優(yōu)控制中的應(yīng)用

吳群妹

(無錫科技職業(yè)學(xué)院 理科教學(xué)部,江蘇 無錫 214000)

基于多元函數(shù)約束條件的變分極值在最優(yōu)控制中的應(yīng)用

吳群妹

(無錫科技職業(yè)學(xué)院 理科教學(xué)部,江蘇 無錫 214000)

根據(jù)整型多元函數(shù)約束條件的變分極值定理,給出系統(tǒng)在給定性能指標(biāo)達到最優(yōu)時的最優(yōu)控制以及最優(yōu)軌線的必要條件,并且用實例加以驗證.

條件極值; 泛函變分; 最優(yōu)控制

0 引言

最優(yōu)控制作為現(xiàn)代控制理論的重要組成部分,所要解決的主要問題是如何在給定條件下,確定一種合理的控制規(guī)律,使被控對象在預(yù)先規(guī)定意義上的性能指標(biāo)具有最優(yōu)值[1].該類問題也已經(jīng)有很多人研究,如梁秀娟[2],唐旭清[3]人等.但是他們沒有具體的給出在整型多元函數(shù)約束條件下系統(tǒng)達到最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線的必要條件.本文根據(jù)整型多元函數(shù)約束條件的變分問題,給出系統(tǒng)在給定性能指標(biāo)達到最優(yōu)值時的最優(yōu)控制以及最優(yōu)軌線曲線方程的必要條件,并且將其應(yīng)用于最優(yōu)控制問題中.

1 整型約束條件變分問題

設(shè)泛函

(1)

整型約束條件

φi(t,x1,x2,…,xn)=0(i=1,2,…,m;m

(2)

邊界條件

(3)

研究J在約束條件以及邊界條件下的極值問題,下面給出相關(guān)定理.

定理2 在整型約束條件(2)以及邊界條件(3)下,目標(biāo)泛函(1)取得極值的必要條件為

(4)

其中λi(t)為待定系數(shù)(i=1,2,…,m;m

證引入待定函數(shù)λi(t),作輔助函數(shù)

(5)

則輔助泛函

(6)

由定理1,式(1)的變分為

(7)

用λi(t)乘式(2)并在區(qū)間[x0,x1]上積分,得

(8)

對上式變分得

(9)

(10)

因為λi(t)(i=1,2,…,m)是m個任意待定的函數(shù),故可假定它由下面m個線性方程來決定.

(11)

這里假定φi(i=1,2,…,m)是相互獨立的,即至少要有一個m階函數(shù)行列式不為零,

(12)

就可以由式(11)求得λi(t)(i=1,2,…,m)的解.這時式(10)中剩下的變分項只有δx(m+1),δx(m+2),…,δxn,共n-m項,

(13)

這里n-m項都是相互獨立的,根據(jù)定理1將式(11)和式(13)合并就得到了式(14)

(14)

證畢.

2 變分問題在最優(yōu)控制中的應(yīng)用

在控制理論中,所求的泛函極值曲線往往有一定的約束條件,常見的約束條件是狀態(tài)方程[6].狀態(tài)方程一般形式可以寫成

(15)

式中x為n維向量,u為m維向量函數(shù),m

(16)

在約束條件(15)下取極值.引入待定函數(shù)λ(t),作輔助函數(shù)H(x,u,λ,t),

H(x,u,λ,t)=F(x,u,t)+λ(t)f(x,u,t).

H(x,u,λ,t)=F+λ(t)f(x,u,t)

(17)

由定理2,在約束條件(15)下,輔助泛函

(18)

對(18)式第二項分部積分

(19)

代回(18)式得

(20)

設(shè)u(t)和x(t)相對于最優(yōu)控制u*(t)及最優(yōu)軌線x*(t)的變分為δu(t)和δx(t),則J*的變分為

(21)

使J*取得極值的必要條件是δJ*=0,即

(22)

(23)

因此對于系統(tǒng)(15)與性能指標(biāo)(16),如果初始時刻與初始狀態(tài)、終止時刻與終止?fàn)顟B(tài)都固定,則u*(t)與x*(t)是最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)軌線的必要條件是:存在一協(xié)態(tài)向量λ(t),使λ(t)、u*(t)以及x*(t)滿足

(24)

邊界條件滿足x(t0)=x0,x(T)=xT.

例1 給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程

3 小結(jié)

在求多元函數(shù)系統(tǒng)約束性能指標(biāo)極值的最優(yōu)控制和最優(yōu)狀態(tài)軌線時,應(yīng)用整型約束的變分極值定理是一個非常好的辦法.本文僅對簡單的系統(tǒng)的最優(yōu)控制進行討論,后面還可以針對其他復(fù)雜系統(tǒng)最優(yōu)控制作進一步討論.

[1]張蓮，胡曉倩，王彬，等. 現(xiàn)代控制理論[M]. 北京:清華大學(xué)出版社,2008.

[2]梁秀娟,嵇海旭. 用變分法實現(xiàn)現(xiàn)代控制系統(tǒng)中的最優(yōu)控制[J]. 裝備制造技術(shù),2013(2),73-74.

[3]唐旭清,翁昊年. 變分法在最優(yōu)控制問題中的一個應(yīng)用[J]. 江南大學(xué)：自然科學(xué)版,2003,2(5),521-524.

[4]老大中. 變分法基礎(chǔ)[M]. 北京:國防工業(yè)出版社,2008:185-218.

[5]賈小勇. 歐拉變分法基本方程不變性思想及其探源[J]. 西北大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2011,41(3),537-542.

[6]朱肖偉. 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用中的若干問題[M]. 北京:科學(xué)出版社,2007.

[責(zé)任編輯：李春紅]

TheApplicationinOptimalControlbasedonVariationalExtremumofMultiFunctionConstraints

WU Qun-mei

(Wuxi Technology and Professional College,Wuxi Jiangsu 214000,China)

According to an integer multivariate function constraint variational minimum theorem,a necessary condition for optimal control and optimal trajectories are given when the performance achieved optimal and be verified with a example.

conditional extreme value; functional variation; optimal control

2015-05-24

吳群妹(1981-),女,江蘇蘇州人,講師,碩士,研究方向為應(yīng)用數(shù)學(xué)、最優(yōu)控制等. E-mail:wuqunmeixiangxiang@163.com

O177.92; O232

:A

:1671-6876(2015)03-0193-04