涉及Fibonacci數(shù)列與Chebyshev多項式的一些反正切

張瀟瀟,胡 宏

(1.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,寧夏 銀川 750021; 2.淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 淮安 223300)

涉及Fibonacci數(shù)列與Chebyshev多項式的一些反正切

張瀟瀟1,2,胡 宏2

(1.寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機學(xué)院,寧夏 銀川 750021; 2.淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 淮安 223300)

根據(jù)Fibonacci數(shù)列和兩類Chebyshev多項式的基本性質(zhì),利用反正切函數(shù)得出了一些關(guān)于黃金分割數(shù)與Fibonacci數(shù)列及Lucas數(shù)列的恒等式,同時獲得了一些涉及兩類Chebyshev多項式之間關(guān)系的恒等式.

黃金分割數(shù); Fibonacci數(shù)列; Lucas數(shù)列; Chebyshev多項式; 反正切函數(shù)

0 引言

著名的Fibonacci數(shù)列{Fn}和Lucas數(shù)列{Ln}滿足如下遞推關(guān)系[1]:

Fn+2=Fn+1+Fn,F0=0,F1=1,n=0,1,2,…

Ln+2=Ln+1+Ln,L0=2,L1=1,n=0,1,2,…

同樣地,第一類Chebyshev多項式Tn(x)和第二類Chebyshev多項式Un(x)滿足如下遞推關(guān)系[2]:

Tn+2(x)=2xTn+1(x)+Tn(x),T0(x)=1,T1(x)=x,n=0,1,2,…,

Un+2(x)=2xUn+1(x)+Un(x),U0(x)=1,U1(x)=2x,n=0,1,2,…

1 涉及φ,Fn,Ln的反正切

引理1[4]設(shè)x,y為實數(shù),有

(1)

(2)

定理1 設(shè)m,k,r為任意整數(shù),當(dāng)mk±r≠0時有

(3)

(4)

同樣地,由式(2)可得

(5)

又因為φ>0,所以φmk+r>0,φmk-r>0,從而

(6)

(7)

式(4),式(5)兩式相加,再將式(6)帶入,可得式(3)成立.

注Kunle Adegoke在文[4]中定理2.2就是在定理1中取m=2,r=1及m=2,r=-1時的特殊情況;文[4]中定理3.1就是在定理1中取m=2,r=0時的特殊情況;文[4]中定理3.2就是在定理1中取m=r=2時的特殊情況.

引理2 設(shè)m,k,r為任意整數(shù),則

(8)

(9)

當(dāng)m是偶數(shù)時,

又由式(5)可知

從而

又由式(5)可知

從而

故式(6)和式(7)成立.

定理2 設(shè)n為任意整數(shù),m是奇數(shù),則

(10)

證明由式(9)可得

將以上兩式相減可得證式(10)成立.

離休老干部由于多種因素對其心理狀態(tài)有一定的影響，臨床治療中護理工作的積極有效的開展具有重要的作用。人文關(guān)懷可以對其進行心理需求的慰藉，給予充分的關(guān)心關(guān)懷，有效的改善其心理不良狀態(tài)，積極配合臨床治療護理工作的開展，對其身體的康復(fù)具有促進作用。本文主要應(yīng)用人文關(guān)懷在離休老干部心理護理中效果分析，研究離休老干部病房收治的84例，將相關(guān)資料整理并進行如下的闡述。

2 涉及Tn(x),Un(x)的反正切

定理3 設(shè)n為任意整數(shù),?x:x>1,則

(11)

(12)

證明當(dāng)x>1時,易知

推論1 設(shè)n為任意整數(shù),?x:x>1

(13)

推論2 設(shè)為n任意整數(shù),則

(14)

在定理3中令x=2,可得

推論3 設(shè)為n任意整數(shù),則

(15)

推論4 設(shè)n為任意整數(shù),則

(16)

引理3 設(shè)k為任意整數(shù),?x:|x|>1,則

(17)

(18)

證明當(dāng)?x:|x|>1時,有

(19)

(20)

式(19)和式(20)兩式相加得式(17),把式(19)和式(20)兩式相減得式(18).在式(17)中令k=n,式(18)中令k=n-2,兩式相減可得

定理4 設(shè)n為任意整數(shù),?x:|x|>1,則

(21)

由式(1)可得

定理5 設(shè)n為任意整數(shù),?x:|x|>1

(22)

定理6 設(shè)n為任意整數(shù),?x:|x|>1

(23)

(24)

證明在式(17)中令k=n結(jié)合定理5可得式(23);在定理5中令k=n+2,結(jié)合在式(18)中令k=n可得式(24).

定理7 設(shè)n為任意整數(shù),?x:|x|>1則

(25)

證明由式(20)知

又因為

從而

即

推論5 設(shè)n為任意整數(shù),則

(26)

[1]Zhao F Z，Wang T M.Some identities involving the Fibonacci and Lucas numbers[J].Ars Combinatoria,2004,72:311-318.

[2]張文鵬.關(guān)于費波那奇數(shù)與契貝謝夫多項式[J].咸陽師范?？茖W(xué)院學(xué)報,1992,14(6):1-2.

[3]楊存典.關(guān)于第二類契貝謝夫多項式的一些恒等式[J].商洛師范專科學(xué)報,2002,16(4):6-8.

[4]Kunle A.The golden ratio Fibonacci numbers and BBP-type formulas[J].The Fibonacci Quarterly,2014,52(2):129-138.

[5]Chan H C.In terms ofφ[J].The Fibonacci Quarterly,2006,44(2):141-144.

[6]Hoggatt V E，Ruggles I D.A primer for the Fibonacci numbers:part V[J].The Fibonacci Quarterly,1964,2(1):46-51.

[7]Zhang W P.Some identities involving the Fibonacci numbers[J].The Fibonacci Quarterly,1997,35(3):225-229.

[8]Yuan Y，Zhang W P.Some Identities Involving the Fibonacci Polynomials[J].The Fibonacci Quarterly,2002,40(4):314-348.

[責(zé)任編輯：李春紅]

SomeIdentitiesInvolvingArctangentofFibonacci
SequencesandChebyshevPolynomials

ZHANG Xiao-xiao1,2,HU Hong2

(1.School of Mathematics and Computer Science,Ningxia University,Yinchuan Ningxia 750021,China)

(2.School of Mathematical Science,Huaiyin Normal University,Huaian Jiangsu 223300,China)

In this paper,we derive some interesting identities involving golden ratio,Fibonacci sequences,Lucas sequences and the first and second type of Chebyshev polynomials by using the arctangent function.

golden ratio; Fibonacci; lucas; chebyshev polynomials; arctangent

2015-03-23

胡宏(1967-),女,江蘇金湖人,教授,研究方向為數(shù)論與組合數(shù)學(xué). E-mail:hysyhh@163.com

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:1671-6876(2015)03-0197-06