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    具有度限制條件的IC平面圖類中輕3-圈的存在性

    2015-06-05 15:29:20田京京聶玉峰
    關(guān)鍵詞:平面性子類交叉點(diǎn)

    田京京,聶玉峰

    (1西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,陜西西安710129;

    2陜西理工學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西漢中723000)

    具有度限制條件的IC平面圖類中輕3-圈的存在性

    田京京1,2,聶玉峰1

    (1西北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,陜西西安710129;

    2陜西理工學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西漢中723000)

    利用權(quán)轉(zhuǎn)移方法證明了每個(gè)最小度至少為5并且最小邊度至少為11的IC-平面圖G含有一個(gè)最大度max{d(u),d(v),d(w)}≤17的3-圈。

    IC-平面圖;權(quán)轉(zhuǎn)移方法;3-圈

    本文僅考慮簡(jiǎn)單的有限無向圖。設(shè)G是一個(gè)平面圖,分別用V(G)、E(G)、F(G)、Δ(G)、δ(G)來表示它的點(diǎn)集合、邊集合、面集合、最大度和最小度。特別地,G中任意一條邊uv所關(guān)聯(lián)的點(diǎn)u、v度的和d(u)+d(v)稱為邊uv的度。用k-、k+-和k--點(diǎn)或面分別表示一個(gè)點(diǎn)或面的度為k、至少為k和至多為k。其余定義若無特殊說明,均參考文獻(xiàn)[1]。

    一個(gè)圖稱為是1-平面的當(dāng)且僅當(dāng)它可以畫在一個(gè)平面上使其任何一條邊最多交叉另外一條邊。1-平面圖是Ringel[2]于1965年研究平面圖的點(diǎn)-面染色時(shí)提出來的,至今還有許多未被研究的問題。

    設(shè)G為一個(gè)圖在平面上的一個(gè)嵌入,如果圖G上存在交叉點(diǎn),則必然是G的某兩條邊交叉產(chǎn)生的,于是G中的每個(gè)交叉點(diǎn)c都可以與G中的4個(gè)頂點(diǎn)(即兩條交叉邊上的4個(gè)頂點(diǎn))所構(gòu)成的點(diǎn)集建立對(duì)應(yīng)關(guān)系,稱這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系為S。顯然,在一個(gè)好的1-平面圖畫法(即交叉點(diǎn)最少的畫法)中,對(duì)于任意兩個(gè)交叉點(diǎn)c1、c2存在|S(c1)∩S(c2)|≤2。據(jù)此,定義1-平面圖的兩個(gè)子類,若滿足|S(c1)∩S(c2)|=0,則稱該1-平面圖為IC-平面圖,若|S(c1)∩S(c2)|≤1,則稱該1-平面圖為NIC-平面圖。IC-平面圖的概念是由文獻(xiàn)[3]于2010年提出的,他們證明了每個(gè)IC-平面圖都是5-可染的,并且色數(shù)的上界5是緊的。NIC-平面圖的概念則是由文獻(xiàn)[4]于2014年提出的,其中給出了完全多部圖的NIC-平面性與IC-平面性的完全刻畫。

    設(shè)H是一個(gè)連通圖,G是一個(gè)圖類,K是一個(gè)給定的圖。如果任意的圖G∈G都包含一個(gè)與圖K同構(gòu)的子圖H,其在圖G中的最大度是一個(gè)不超過某個(gè)與圖G的選擇無關(guān)的常數(shù),則稱圖K在圖類G中是輕的。尋找給定圖類中輕的子圖是圖結(jié)構(gòu)理論中的一類經(jīng)典問題。例如,文獻(xiàn)[5]得出一個(gè)著名的結(jié)論:任何一個(gè)最小度至少為5的平面圖包含一個(gè)3-圈xyz,其滿足max{d(u),d(v),d(w)}≤17,并且該結(jié)論中的上界17是最優(yōu)的。文獻(xiàn)[5]的定理說明:3-圈在最小度至少為5的平面圖類中是輕的。2014年,文獻(xiàn)[6]證明了3-圈在最小度至少為5并且最小邊度至少為12的1-平面圖類中是輕的,并提出如下猜想:

    猜想 3-圈在最小度至少為5并且最小邊度至少為11的1-平面圖類中是輕的。

    本文將證明猜想對(duì)于1-平面圖的子類IC-平面圖是成立的。

    1 主要定理及其證明

    設(shè)G是IC-平面圖。如果將G中的所有交叉點(diǎn)全部看成是4度點(diǎn),則可以得到一個(gè)交叉數(shù)為0的圖,即平面圖G×,下面稱圖G×為G的關(guān)聯(lián)圖。設(shè)v是圖G×中的的一個(gè)點(diǎn),如果v∈V(G×)\V(G),則稱v是G×的一個(gè)假點(diǎn)或稱v是G的一個(gè)交叉點(diǎn)。如果圖G×的一個(gè)面f關(guān)聯(lián)至少一個(gè)假點(diǎn),則稱f為G×的一個(gè)假面,否則稱f為G×的一個(gè)真面。設(shè)v是G×中的k-點(diǎn),v1、v2、…、vk是v在G×中按順時(shí)針排列的所有鄰點(diǎn)。在G×中與邊vvi和vvi+1關(guān)聯(lián)的面記為fi,其中1≤i≤k,并記vk+1∶=v1。

    定理 每個(gè)最小度至少為5并且最小邊度至少為11的IC-平面圖含有一個(gè)3-圈xyz,其滿足max{d(u),d(v),d(w)}≤17。

    證明 設(shè)G是定理1的反例,G×是G的關(guān)聯(lián)圖。給G×中的每個(gè)點(diǎn)v賦初始權(quán)值c(v)=d(v)-6,同時(shí)給G×中的每個(gè)面f賦初始權(quán)值c(f)=2d(f)-6,運(yùn)用平面圖G×上的歐拉公式,有

    現(xiàn)在,按照如下規(guī)則對(duì)V(G×)∪F(G×)上的所有元素重新分配權(quán)值。

    (1)G×中每個(gè)18+-點(diǎn)向它所關(guān)聯(lián)的面轉(zhuǎn)移;

    (2)設(shè)f=xyz是G×中的一個(gè)3-面,且x是一個(gè)18+-點(diǎn)。

    (2.1)若y和z是5--點(diǎn),則f向y、z分別轉(zhuǎn)移。

    (2.2)若y是一個(gè)18+-點(diǎn)且z是4-點(diǎn)或5-點(diǎn),則f向z轉(zhuǎn)移。

    (2.3)若y是一個(gè)4-點(diǎn)或5-點(diǎn)且z是一個(gè)度介于6與17之間的點(diǎn),則f向y轉(zhuǎn)移。

    (3)每個(gè)4+-面向它關(guān)聯(lián)的4-點(diǎn)轉(zhuǎn)移1,每個(gè)4+-面向它關(guān)聯(lián)的5-點(diǎn)轉(zhuǎn)移。

    設(shè)c′(x)為元素x∈V(G×)∪F(G×)在應(yīng)用以上權(quán)轉(zhuǎn)移規(guī)則后得到的新權(quán)值,下面證明對(duì)于每個(gè)x∈V(G×)∪F(G×)都有c′(x)≥0。因此,矛盾。

    設(shè)f∈F(G×),若d(f)=3,則由(1)和(2)知c′(f)>0。若4≤d(f)≤5,則根據(jù)IC-平面圖的定義知f至多關(guān)聯(lián)1個(gè)4-點(diǎn)。另一方面,由于G的最小邊度至少為11,故f至多關(guān)聯(lián)2個(gè)5-點(diǎn),從而由(3)可得

    若d(f)≥6,則由(3)可得

    c′(f)≥2d(f)-6-d(f)=d(f)-6≥0。

    設(shè)v∈V(G×)。若d(v)≥18,則由(1)得

    根據(jù)規(guī)則(1)—(3),圖G×中介于6到17度的點(diǎn)不參與權(quán)轉(zhuǎn)移,因此若6≤d(v)≤17,則必有

    c′(v)=c(v)=d(v)-6≥0。

    設(shè)d(v)=4。若v至少關(guān)聯(lián)2個(gè)4+-面,則由(3)可得

    c′(v)≥4-6+2×1=0。

    若v僅關(guān)聯(lián)1個(gè)4+-面,不妨設(shè)其為f1,則f2、f3與f4均為3-面。若v3是5-點(diǎn),則v2與v4中必有一個(gè)18+-點(diǎn),否則圖G中的3-圈v2v3v4即為所求。不妨設(shè)v2是18+-點(diǎn),從而根據(jù)(2.2),f2向v轉(zhuǎn)移,于是再結(jié)合(3)可得因此,可假設(shè)v3是6+-點(diǎn)。同時(shí),由對(duì)稱性可知,v4也是6+-點(diǎn)。由于圖G不含該待證定理中所述的輕3-圈,故v1與v2必為18+-點(diǎn),從而根據(jù)(2.2)與(2.3),f2與f4分別向v轉(zhuǎn)移至少。最后再結(jié)合(3),可得

    若v僅關(guān)聯(lián)3-面,即f1、f2、f3與f4均為3-面。由于G是一個(gè)反例,v1、v2、v3與v4中必至少有2個(gè)18+-點(diǎn)。根據(jù)對(duì)稱性,考慮兩種情況。首先假設(shè)v1與v2是18+-點(diǎn)。由于G的最小邊度至少為11,v3與v4中至少有一個(gè)6+-點(diǎn),不妨假設(shè)d(v3)≥6。則由(2.2)與(2.3),f1向v轉(zhuǎn)移,f2向v轉(zhuǎn)移至少,于是有

    其次,假設(shè)v1與v2是18+-點(diǎn)。由于v2v4∈E(G),v2與v4中必有一個(gè)6+-點(diǎn),不妨設(shè)d(v2)≥6。則由(2.2)與(2.3),f1與f2分別向v轉(zhuǎn)移至少,由(2.1)—(2.3),f3與f4分別向v轉(zhuǎn)移至少。因此有

    設(shè)d(v)=5。若v至少關(guān)聯(lián)2個(gè)4+-面,則由(3)可得

    若v只關(guān)聯(lián)1個(gè)4+-面,不妨設(shè)其為f1,則f2、f3、f4與f5均為3-面。由圖G的IC-平面性,f2、f3、f4與f5中必有一個(gè)是真3-面,不妨假設(shè)是f2,由于反例圖G的最小邊度至少為11,故v2與v3均為6+-點(diǎn),并且二者之間必有一個(gè)18+-點(diǎn),于是由(2.2)與(2.3)知f2向v轉(zhuǎn)移至少。此時(shí)考慮f1,由(3)得

    若v關(guān)聯(lián)的全是3-面,則在G×中v與最多一個(gè)4-點(diǎn)相鄰,否則與圖G的IC-平面性矛盾。這說明f1、f2、f3、f4與f5中至少有3個(gè)是真3-面。由于G是反例,G×中的每個(gè)真3-面都關(guān)聯(lián)至少一個(gè)18+-點(diǎn),于是由(2.1)—(2.3)知每個(gè)與點(diǎn)v關(guān)聯(lián)的真3-面向v轉(zhuǎn)移至少。因此,

    2 結(jié)論

    本文利用權(quán)轉(zhuǎn)移的方法證明文獻(xiàn)[6]提出的猜想對(duì)于1-平面圖的子類IC平面圖成立,且IC平面圖G含有一個(gè)最大度max{d(u),d(v),d(w)}≤17的3-圈。

    [1]Bondy J A,Murty U S R.Graph theory with applications[M].New York:North-Holland,1976.

    [2]Ringel G.Ein sechsfarbenproblem auf der Kugel[J].Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universit?t Hamburg,1965,29:107-117.

    [3]Kral D,Stacho L.Coloring plane graphs with independent crossings[J].Journal of Graph Theory,2010,64(3):184-205.

    [4]Zhang X.Drawing complete multipartite graphs on the plane with restrictions on crossings[J].Acta Mathematica Sinica,2014,30(12):2045-2053.

    [5]Borodin O V.Solution of problems of Kotzig and Gruunbaum concerningthe isolation of cycles in planar graphs[J].Mathematical Notes,1989,46:835-837.

    [6]Zhang X.Light 3-cycles in 1-planar graphs with degree restrictions[J].Bulletin of the Korean Mathematical Society,2014,51(2):511-517.

    〔責(zé)任編輯 宋軼文〕

    Light 3-cycles in IC-planar graphs with degree restrictions

    TIAN Jingjing1,2,NIE Yufeng1
    (1School of Natural and Applied Sciences,Northwestern Polytechnical University,Xi′an 710129,Shaanxi,China;2School of Mathematics and Computer Science,Shaanxi University of Technology,Hanzhong 723000,Shaanxi,China)

    It is proved by discharging method that every IC-planar graph Gwith minimum vertex degree at least 5and minimum edge degree at least 11contains a 3-cycle xyz with max{d(u),d(v),d(w)}≤17.

    IC-planar graph;discharging method;3-cycle

    05C10

    O157.5

    A

    1672-4291(2015)05-0001-03

    10.15983/j.cnki.jsnu.2015.05.151

    2015-03-19

    國(guó)家自然科學(xué)基金(11301410,11461038)

    田京京,女,副教授,博士研究生,主要研究方向?yàn)閳D論及組合優(yōu)化。E-mail:tianjingjing2004@163.com

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