談高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的釋疑策略

莊元奮

[摘要]高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生會(huì)提出很多問(wèn)題，這些問(wèn)題往往是學(xué)生經(jīng)過(guò)深思熟慮之后仍然不能解決的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，值得師生去探討，尋找解決問(wèn)題的一般方法.面對(duì)學(xué)生的問(wèn)題和困惑，教師應(yīng)既能答疑解惑，又能使這些問(wèn)題發(fā)揮更大的作用，使更多學(xué)生受益.以最近學(xué)生問(wèn)的一道題為例探析高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的釋疑策略.

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué) 釋疑策略 問(wèn)題

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 16746058（2015）080018

一、引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式.筆者十分注重學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維能力的培養(yǎng)，在實(shí)踐中充分結(jié)合自己的教學(xué)風(fēng)格，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有意義的探索，在面對(duì)學(xué)生的問(wèn)題時(shí)，不直接告訴學(xué)生答案，而是引導(dǎo)學(xué)生去探索，鼓勵(lì)學(xué)生多嘗試，不怕失敗，解決問(wèn)題后不滿足問(wèn)題本身，多聯(lián)系與此有關(guān)的問(wèn)題.最近有兩位成績(jī)不錯(cuò)的學(xué)生問(wèn)了筆者這樣一道題.

【例1】 橢圓x2a2+y2b2=1，上頂點(diǎn)A（0，b），若直線l與橢圓相交于M、N（不同于A），設(shè)直線AM的斜率為k1，直線AN的斜率為k2，若k1·k2=-1，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo).

筆者沒(méi)有回答這個(gè)問(wèn)題，而是考慮到學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)和運(yùn)算能力等，將這個(gè)問(wèn)題中的橢圓特殊化，引導(dǎo)學(xué)生將橢圓方程變?yōu)閤24+y2=1，

讓學(xué)生思考.這樣會(huì)避免繁雜的演算，使學(xué)生敢于嘗試.然后，筆者問(wèn)學(xué)生：“能否猜出定點(diǎn)坐標(biāo)呢？”這時(shí)學(xué)生甲說(shuō)：“我猜定點(diǎn)在y軸上.”學(xué)生乙說(shuō)：“如果定點(diǎn)在y軸上，那么當(dāng)M、N關(guān)于y軸對(duì)稱時(shí)直線MN與y軸的交點(diǎn)就是所求的定點(diǎn).”兩位學(xué)生判斷直線的斜率分別為±1，求得這個(gè)點(diǎn)為（0，-35）.通過(guò)畫(huà)圖簡(jiǎn)單求解，猜出答案，猜想是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程必不可少的環(huán)節(jié).接著，筆者又問(wèn)：“這個(gè)結(jié)論只是猜想，一定正確嗎？”兩位學(xué)生又通過(guò)直線AM取不同的斜率驗(yàn)證出直線MN都過(guò)定點(diǎn)（0，-35）.如果是求定點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題，這樣通過(guò)特殊的兩條直線MN求出交點(diǎn)就可以了，但作為證明題還不能算完成.于是，筆者問(wèn)：“這只是驗(yàn)證結(jié)論是成立的，你們能給出證明嗎？”學(xué)生陷入沉思，紛紛去嘗試證明，根據(jù)題目的條件AM⊥AN，兩位學(xué)生討論決定設(shè)其中一條直線的斜率為k，結(jié)果給出了以下的證明方案.

二、引導(dǎo)學(xué)生多聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題本質(zhì)

問(wèn)題解決之后，教師要根據(jù)問(wèn)題反問(wèn)學(xué)生，使得學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解更為深刻，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、勇于探索問(wèn)題的習(xí)慣.如筆者給出例1的逆命題作為推論，讓學(xué)生去思考探究.

推論1 已知橢圓x24+y2=1，上頂點(diǎn)A（0，1），過(guò)定點(diǎn)的直線l與橢圓相交于M、N（不同于A），求證：AM⊥AN.

在前面例題解答的基礎(chǔ)上，學(xué)生很快就給出了問(wèn)題的解答，同時(shí)對(duì)這個(gè)問(wèn)題產(chǎn)生了很大的興趣.筆者提問(wèn)兩位學(xué)生：“在雙曲線或拋物線中有無(wú)類似的結(jié)論呢？”經(jīng)過(guò)一番討論，學(xué)生得到在拋物線中的如下命題.

【例2】 設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y2=2px與不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l交于A、B兩點(diǎn)，則OA·OB=0的充要條件是直線l過(guò)定點(diǎn)（2p，0）.

例2概括了例1和推論1中的結(jié)論，筆者引導(dǎo)學(xué)生利用例1中的方法證明例2中的必要條件，利用推論1中的方法證明例2中的充分條件.與橢圓相比，拋物線中的計(jì)算過(guò)程要簡(jiǎn)單得多，筆者沒(méi)有給任何提示，兩位學(xué)生就完成了例2的證明.上述兩道例題與推論都是經(jīng)典的解析幾何題，教師應(yīng)當(dāng)多引導(dǎo)學(xué)生探究，當(dāng)然，“特性”只是我們自己找到的規(guī)律，教材中沒(méi)有把它們作為定理，考試時(shí)還要加以證明.最后，筆者留給這兩位學(xué)生兩個(gè)探索性問(wèn)題供學(xué)生帶回去探究.

問(wèn)題1 設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線y2=2px與不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l交于A、B兩點(diǎn)，且OA·OB=c（c為常數(shù)，且c≥-1），問(wèn)：直線l是否過(guò)定點(diǎn)？如果過(guò)，求定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不過(guò)，說(shuō)明理由.

解析：這是將問(wèn)題推廣到了更為一般的情況，直線過(guò)定點(diǎn)（p±p2+c，0）.

問(wèn)題2 已知拋物線y2=2x上一點(diǎn)M（x0，y0），是否存在定點(diǎn)P，使過(guò)P的直線l與拋物線y2=2x交于A、B兩點(diǎn)，且OA·OB=0恒成立，若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析：利用前面例題的解題方法可以求得到定點(diǎn)P（x0+2，-y0）滿足題意.

到這里才算完成釋疑，筆者從學(xué)生所問(wèn)的橢圓問(wèn)題逐漸拓展、延伸到了拋物線問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)在學(xué)習(xí)中聯(lián)系相關(guān)知識(shí)，達(dá)到“知一點(diǎn)明一片”的效果.

三、釋疑后的體會(huì)

面對(duì)學(xué)生提出的疑難問(wèn)題，教師首先要根據(jù)學(xué)生的情況，抓住學(xué)生的知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，給出與此相關(guān)的較簡(jiǎn)單的問(wèn)題讓學(xué)生去探究，然后逐漸向問(wèn)題靠近，從而解決問(wèn)題；其次聯(lián)系與原題有關(guān)的逆命題或類比推論，作為拓展訓(xùn)練；最后，給學(xué)生一些一般化的變式作為鞏固練習(xí).通過(guò)釋疑過(guò)程，使學(xué)生掌握解決問(wèn)題的方法，并能舉一反三、觸類旁通.

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）