對(duì)一道動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題解法的探究

田傳弟

1真題呈現(xiàn)

如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=1，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)O的最大距離是（）.

A.3B.6

C.1+2D.5

2多重猜測(cè)

考過(guò)之后，因?yàn)槌醮斡龅竭@個(gè)題目，幾個(gè)老師不約而同地聚在一起對(duì)最后一道選擇題討論開(kāi)了.我說(shuō)：“我的第一感覺(jué)告訴我，應(yīng)該選D.”“為什么選D？”小張老師立即追問(wèn).“因?yàn)椤螦CB=90°，AC=2，BC=1，AB=5，所以我猜想OB的最大值可能與線段AB相等，所以選D.”大張老師接過(guò)話頭：“田老師說(shuō)的有道理，但是我不認(rèn)同，根據(jù)這道題的復(fù)雜程度應(yīng)該選一個(gè)最復(fù)雜的答案，因此我認(rèn)為應(yīng)該選C.”郝老師說(shuō)：“看來(lái)每個(gè)選項(xiàng)都有可能.”小張老師馬上打斷：“一定不能選A.”“為什么？”大家不約而同地問(wèn).“因?yàn)锽C=1，OC≤2，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，所以BC+OC>OB，即OB<3.”大家一致贊同：“不錯(cuò)不錯(cuò)！”“那么選項(xiàng)B如何？”我問(wèn).大家遲疑了一會(huì)，郝老師說(shuō)：“對(duì)于選項(xiàng)B，看來(lái)我們既沒(méi)有選擇的理由，也沒(méi)有排除的理由.”“是的，”我接著說(shuō)，“咱們先暫停討論，各自整理一下自己的思路，動(dòng)手動(dòng)筆做做，光這樣討論感覺(jué)很膚淺，無(wú)法深入，過(guò)后再來(lái)討論.”

3二次討論

大家重新聚攏到一起.

我首先說(shuō)出了選D的理由：“如圖2，設(shè)B（a，b），則|a|≤1，|b|≤2，所以O(shè)B=a2+b2≤12+22=5，所以選D.”“不對(duì)，”郝老師立即反對(duì)，“我和你的想法接近，如圖2，設(shè)B（a，b），則|a|≤1，但應(yīng)該是|b|≤AB，所以必有|b|≤5，以此可得OB=a2+b2≤12+（5）2=6.所以選B.”“哦！原來(lái)我疏忽了|b|的取值范圍.”我恍然大悟地說(shuō).“我和你們的想法完全不同，”小張老師聽(tīng)了我們的想法后說(shuō)，“你們的想法靜態(tài)思考的成分比較大，本題是動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)該從動(dòng)態(tài)的角度研究，我是這樣想的，如圖3，取AC的中點(diǎn)D，連接OD，DB，OB，則OD=1，BD=2，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，有OB

4學(xué)生對(duì)問(wèn)題的質(zhì)疑與思維展示

第二天上課的時(shí)候，我沒(méi)有提問(wèn)學(xué)生，直截了當(dāng)?shù)匕炎蛱旖處熡懻摰恼_解法講了出來(lái).我感覺(jué)很得意，再看學(xué)生的表情，大多滿臉疑惑.“有什么疑問(wèn)嗎？”我說(shuō)，“有疑問(wèn)請(qǐng)說(shuō).”數(shù)學(xué)課代表第一個(gè)站起來(lái)說(shuō)：“老師，在圖3中，為什么取AC的中點(diǎn)D？您是怎么知道的？”我說(shuō)：“一般地，在解決直角三角形的問(wèn)題時(shí)，我們常常作斜邊上的中線作為輔助線從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.這是解題規(guī)律.”“這個(gè)規(guī)律在解決本題時(shí)具體體現(xiàn)是什么？”“具體體現(xiàn)是OD=12AC=1是定值.在運(yùn)動(dòng)變化的問(wèn)題中，我們常常通過(guò)‘抓住運(yùn)動(dòng)中的不變量來(lái)解決問(wèn)題，這也是一個(gè)解題規(guī)律.”課代表似乎明白了，問(wèn)道：“老師，本題應(yīng)抓住哪些不變量？”我說(shuō)：“你看，OD=1，BD=2，它們就是應(yīng)抓住的不變量啊.”“老師，AC=2，BC=1，還有AB=5，都是不變量啊？為什么不抓啊？”課代表又這么問(wèn).我一愣，想了想說(shuō)：“因?yàn)镺D，DB，OB三條線段的關(guān)系最密切，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，這三條線段有時(shí)構(gòu)成一個(gè)三角形，有時(shí)在同一條直線上，當(dāng)它們?cè)谕粭l直線上時(shí)，OB=OD+DB=1+2即為點(diǎn)B到原點(diǎn)O的最大距離.”我感覺(jué)松了一口氣.不想，竟然遭到了幾乎全班同學(xué)的質(zhì)問(wèn)：“為什么當(dāng)它們?cè)谕粭l直線上時(shí)，點(diǎn)B到原點(diǎn)O的最大距離？”課代表還補(bǔ)了一句：“點(diǎn)B到原點(diǎn)O的距離還可能距離最小呢.”我剛松了一口氣現(xiàn)在繃得更緊了，這明擺的事情怎么就是不明白呢？并且又產(chǎn)生了新的問(wèn)題：還可能距離最??？我一時(shí)難以回答，怎么辦呢？我說(shuō)：“同學(xué)們，咱們請(qǐng)數(shù)學(xué)課代表上黑板來(lái)展示他的解法好不好？”學(xué)生們自動(dòng)地鼓起掌來(lái)，課代表開(kāi)始展示，我接著說(shuō)，“如果有誰(shuí)與課代表的解法不同請(qǐng)主動(dòng)上黑板來(lái).”話音未落，我們班的“數(shù)學(xué)王子”上來(lái)了，同學(xué)們又報(bào)以熱烈的掌聲.

課代表的解法：

解：如圖2，作BD⊥y軸，垂足為點(diǎn)D，設(shè)BD=x（0≤x≤1），則CD=1-x2.一般地應(yīng)有△AOC∽△CDB，所以COBD=ACBC=2，所以CO=2x，OD=2x+1-x2，則OB2=BD2+OD2=x2+（2x+1-x2）2=4x2+4x1-x2+1，

整理成關(guān)于x的有理方程，得32x4-8（OB2+1）x2+（OB2-1）2=0，若線段OB的長(zhǎng)存在，則Δ≥0，即[-8（OB2+1）]2-4×32（OB2-1）2≥0，解得（2-1）2≤OB2≤（2+1）2，所以2-1≤OB≤2+1，OB的最大值是1+2（同時(shí)還說(shuō)明OB有最小值2-1）.

數(shù)學(xué)王子的解法：

解：如圖4，作△AOC的外接圓⊙D，過(guò)點(diǎn)D作圓D的割線BFE，則BE=DE+DB=1+2，BF=BD-DF=2-1，點(diǎn)B到原點(diǎn)O的最大距離等于線段BE的長(zhǎng)即1+2（同時(shí)也得到點(diǎn)B到原點(diǎn)O的最小距離等于線段BF的長(zhǎng)即2-1）.

兩人做完回到座位上，教室內(nèi)鴉雀無(wú)聲，突然“問(wèn)題大王”（因好提問(wèn)題博得此美稱）打破了沉寂：“用判別式求最值的方法我也會(huì)，可是我沒(méi)想到，請(qǐng)問(wèn)課代表，你是怎么想到的，教教我們吧？”課代表說(shuō)：“我一開(kāi)始并沒(méi)有想到用判別式來(lái)解，我是想用求函數(shù)的最值方法，但是OB2=4x2+4x1-x2+1并不是我們學(xué)過(guò)的函數(shù)，無(wú)法套用函數(shù)模型，才把它看作關(guān)于x的方程，才有了上面的解法.”一陣掌聲過(guò)后，有人說(shuō)道：“數(shù)學(xué)王子，我對(duì)你的解法似懂非懂，希望你能詳細(xì)講講，謝謝.”

“因?yàn)锳C=2，當(dāng)點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)O始終在以AC為直徑的圓D上運(yùn)動(dòng)，假如點(diǎn)A，C不動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)B也不動(dòng)，也就是說(shuō)點(diǎn)A，C，B三點(diǎn)的位置是相對(duì)固定的，因而可以設(shè)想讓點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)O必定在圓D上運(yùn)動(dòng)，我們可以提一個(gè)這樣的問(wèn)題：點(diǎn)O在何處時(shí)，點(diǎn)B到點(diǎn)O的距離最大？因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到圓D上的點(diǎn)的距離的最大值.我們已經(jīng)研究過(guò)，過(guò)圓心D作圓D的割線BFE，點(diǎn)B到點(diǎn)E距離最大，點(diǎn)B到點(diǎn)F距離最小.大家明白了嗎？”同學(xué)們靜了一會(huì)兒，然后掌聲雷動(dòng).

5思考與歸納

首先，為什么這個(gè)最值如此難算？可以斷言，點(diǎn)B的軌跡不可能是二次函數(shù)的圖象，點(diǎn)B的軌跡是什么樣子呢？利用幾何畫(huà)板繪出軌跡，是一條曲線（如圖5），是什么曲線？猜測(cè)是橢圓，這只是直觀上的觀察，需要驗(yàn)證.設(shè)B（x，y）（-1≤x≤1），則y=2x+1-x2，整理得B的軌跡方程是5x2-4xy+y2=1，軌跡是橢圓.其中心位于原點(diǎn)，半長(zhǎng)軸即為點(diǎn)B到原點(diǎn)O的最大距離（如圖6），這時(shí)原點(diǎn)O位于線段BD的延長(zhǎng)線上，半短軸即為點(diǎn)B到原點(diǎn)O的最小距離（如圖7），這時(shí)原點(diǎn)O位于線段BD上.這樣也從直觀上解釋了當(dāng)點(diǎn)O，D，B共線時(shí)點(diǎn)B到原點(diǎn)O的距離最大或最小的理由.從軌跡是橢圓來(lái)看似乎超出了學(xué)生的知識(shí)范圍，也難怪學(xué)生對(duì)這種三點(diǎn)共線的直觀方法法不能認(rèn)可.數(shù)學(xué)課代表的解法很復(fù)雜，數(shù)學(xué)王子的解法新穎、奇妙，學(xué)生都能接受.經(jīng)過(guò)推敲，發(fā)現(xiàn)課代表的解法有瑕疵，當(dāng)x=0時(shí)，OB取最小值為1，原因是x表示BD的長(zhǎng)，將x改成點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，則-1≤x≤1就嚴(yán)密了.

再次，我們?cè)诒绢}中所取的線段AC的中點(diǎn)D究竟是什么？根據(jù)數(shù)學(xué)王子的解法推測(cè)，點(diǎn)D應(yīng)該是△AOC的外心.如圖8所示，直線a，b所夾的銳角為定角α，△ABC的三邊長(zhǎng)是確定的，點(diǎn)A在直線a上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C隨之在直線b上運(yùn)動(dòng)，作△AOC的外接圓D，過(guò)點(diǎn)B，D作割線BFE，連接DA，DC，則∠ADC=2α，設(shè)DA=DC=r，又因?yàn)锳C邊是定長(zhǎng)，所以△ADC的大小形狀是確定的，而△ABC的大小形狀也是確定的，于是四邊形ABCD的大小、形狀確定，所以線段BD的長(zhǎng)確定，設(shè)BD=d，則BE=d+r，BF=d-r.這就證明了點(diǎn)B到點(diǎn)O的最大距離等于線段BE的長(zhǎng)即d+r，同時(shí)也得到點(diǎn)B到原O的最小距離等于線段BF的長(zhǎng)即d-r.看來(lái)解決這種問(wèn)題一般方法應(yīng)概括為外接圓法或外心法.我們來(lái)看一例.

例1：（南京市鼓樓區(qū)2013—2014九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題）如圖9，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知正△ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)A，點(diǎn)B分別在x軸上和第一、三象限夾角平分線上移動(dòng)，則點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離和最小距離分別是.

解析：如圖10，作AOB的外接圓P，連接PA、PB，則∠APB=2∠AOB=90°，因?yàn)锳B=2，所以PA=PB=2，因此，當(dāng)點(diǎn)A、B分別在x軸和第一、三象限夾角平分線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)O始終在以2為半徑的圓P上運(yùn)動(dòng).設(shè)直線CP交圓P于M、N，則線段CM、CN的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離的最大值和最小值.因?yàn)镻A=PB，CA=CB，所以CP垂直平分AB，設(shè)垂足為H，則CH=3，PH=1，所以CM=3+1+2，CN=3+1-2即為所求的最大值和最小值.

上面我們得到了此類問(wèn)題的一般解法.最后舉例來(lái)說(shuō)明一下此類問(wèn)題在命題時(shí)應(yīng)引起注意的問(wèn)題.

例2：如圖11和圖12，直線a，b所夾的銳角∠aOb=30°，點(diǎn)A，C分別在直線a，b上運(yùn)動(dòng)，∠ACB=90°，AC=3，BC=2，求點(diǎn)B到點(diǎn)O的最大距離和最小距離.

解：作△AOC的外接圓D，過(guò)圓心D和點(diǎn)B作割線交圓D于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接AD，CD，則△ACD為正三角形，所以CD=AC=3，即圓D的半徑為3.

中，∠BCD=150°，根據(jù)余弦定理可得BD=13+63.則點(diǎn)B到點(diǎn)O的最大距離和最小距離分別是13+63+3和13+63-3；

在圖12中，∠BCD=30°，同理可得點(diǎn)B到點(diǎn)O的最大距離和最小距離分別是3+13-63和3-13-63.

相信讀者朋友已經(jīng)看出此題解答過(guò)程和結(jié)果的異同，我們尤其要注意結(jié)果因圖而異，在圖11中，A，B，C三點(diǎn)是按逆時(shí)針?lè)较蚺帕械?，這時(shí)點(diǎn)B在圓D外；在圖12中，A，B，C三點(diǎn)是按順時(shí)針?lè)较蚺帕械?，這時(shí)點(diǎn)B在圓D內(nèi)，因此它們的結(jié)果不同.所以我們?cè)诜治鲞@類題目時(shí)不要把圖畫(huà)錯(cuò)了，即不要弄錯(cuò)了點(diǎn)的排列順序.為了不引起歧義，我們建議命題時(shí)加上“A，B，C三點(diǎn)是按順（或逆）時(shí)針?lè)较蚺帕械摹睏l件，使得問(wèn)題更加嚴(yán)密.