從“學(xué)生爭(zhēng)議”開(kāi)始的一堂探究課

筆者有一種習(xí)慣：在課前三分鐘常把前一天學(xué)生在作業(yè)或考試中錯(cuò)誤率較多的題目進(jìn)行集體講解，訂正，然后再進(jìn)入新課的教學(xué).然而前不久的一次課前“三分鐘”的教學(xué)任務(wù)卻無(wú)法三分鐘完成，讓筆者足足花了一節(jié)課的時(shí)間.那是前一天筆者所在學(xué)校的中考模擬考試的一個(gè)填空題，據(jù)統(tǒng)計(jì)整個(gè)班級(jí)只有3～4人做出了正確答案，上課剛開(kāi)始，由于學(xué)生對(duì)某同學(xué)的解法有爭(zhēng)議，于是拉開(kāi)了問(wèn)題探究的序幕.

下面筆者把這堂課的探究過(guò)程呈現(xiàn)給大家，以求雅俗共享.

1原題再現(xiàn)

原題：

如圖1，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD兩頂點(diǎn)A，B在函數(shù)y=1x的圖象上，在函數(shù)y=1x圖象的外側(cè)，雙曲線y=kx恰好經(jīng)過(guò)正方形的另兩個(gè)頂點(diǎn)C、D，則k的值是.

2解法爭(zhēng)議

教師先叫一同學(xué)介紹解法.

生1：如圖2，過(guò)B作直線EB∥OX，過(guò)A作AE⊥EB于E，連接DB，設(shè)A（x0，y0）.

記得當(dāng)時(shí)許多同學(xué)聽(tīng)了這種解法的介紹，都為之叫好.但不一會(huì)兒，又有同學(xué)提出疑問(wèn).

生2：在生1的解法中，他是默認(rèn)了DB一定垂直于x軸，△AEB一定是等腰直角三角形.那為什么DB一定垂直于x軸，△AEB一定是等腰直角三角形呢？教室一片寂靜，當(dāng)時(shí)的我也被這猶如“炸彈”似的兩個(gè)問(wèn)題搞暈了.但我沒(méi)有急于發(fā)表任何意見(jiàn)，只是把問(wèn)題拋回給學(xué)生：那我們就一起來(lái)探討一下吧？約過(guò)了5分鐘.

生3：雙曲線是軸對(duì)稱圖形，正方形也是軸對(duì)稱圖形，這些圖形均是軸對(duì)稱圖形，把三個(gè)圖形看作一個(gè)整體，那么這個(gè)整體圖形也是軸對(duì)稱圖形.由于雙曲線的對(duì)稱軸是直線y=x，即正方形ABCD一定關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以題中的點(diǎn)E一定在直線y=x上，△AEB顯然是等腰直角三角形.∠ABE=45°，又由于∠ABD=45°，可得∠DBE=90°，即DB⊥EB，DB⊥OX.因此，我認(rèn)為生1的解法是對(duì)的.這時(shí)，教室里一片嘩然，我也在積極思考生2的想法，一分鐘后，許多同學(xué)把目光齊刷刷地投向了我，都極想聽(tīng)聽(tīng)我的看法.

此時(shí)我首先表態(tài)：生1、生2、生3能有如此想法實(shí)屬不易.能大膽地假設(shè)，大膽地提出問(wèn)題真的應(yīng)該鼓勵(lì).我提議：我們報(bào)之以熱烈的掌聲.接著我拋出一個(gè)問(wèn)題：生1、生3的想法很有創(chuàng)意，且得出的答案是對(duì)的，生2的懷疑也很有價(jià)值，值得我們思考.確實(shí)生1、生3的想法是基于正方形ABCD滿足關(guān)于直線y=x對(duì)稱的前提下得出的答案.這是充分挖掘雙曲線、正方形的幾何性質(zhì)，利用幾何直觀，借用合情推理而得出的解題思路，這種思考問(wèn)題的方法是數(shù)學(xué)上極為倡導(dǎo)的推理方式，但給人的感覺(jué)似乎缺乏了邏輯的嚴(yán)密性.比如，正方形ABCD的位置是否一定要滿足其關(guān)于y=x對(duì)稱呢？這一問(wèn)題生3作了解釋，我認(rèn)為是可行的，但估計(jì)尚有部分同學(xué)抱著懷疑的態(tài)度.試想：如果正方形ABCD關(guān)于y=x不對(duì)稱是否仍有同樣的結(jié)果？如果這種情況可行，那就意味著還有其它答案，那答案是否仍為3呢？為很好解決這些問(wèn)題，我們有必要對(duì)該題的解法作深入的探討.

3多方論證

3.1幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)論證

此時(shí)的教室再次陷入一片寂靜，見(jiàn)同學(xué)們無(wú)反應(yīng)，我建議用幾何畫(huà)板研究一下剛才的問(wèn)題.我從電腦中調(diào)出幾何畫(huà)板，在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出了y=1x和y=kx（k任取不為1的值），然后又畫(huà)出邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，結(jié)果經(jīng)幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示只有一種情形，沒(méi)有其它情形.我和同學(xué)們都很激動(dòng)，客觀上生1、生2的解法和答案是對(duì)的，這點(diǎn)應(yīng)該毫無(wú)疑問(wèn).

此時(shí)，我再拋出問(wèn)題：能否從邏輯推理的角度去論證正方形ABCD預(yù)先不知是關(guān)于直線y=x對(duì)稱時(shí)，是否可行？

3.2一般性的解法

從一般性的情形入手，設(shè)參數(shù)的解法，演繹推理證明前面生1、生3的思路是正確的.

我們易得出AN=NB=BP=CP=CQ=DQ=MD=MA=22，即四邊形MNPQ為正方形，且N、Q在直線y=x上，即可得出正方形ABCD關(guān)于y=x對(duì)軸.這就證明了滿足條件的正方形ABCD的位置是唯一存在的，滿足條件的正方形ABCD一定關(guān)于直線y=x對(duì)稱.至此，從一般性的情形入手，通過(guò)設(shè)參數(shù)的方法說(shuō)明生1、生2的想法是完全正確的，同學(xué)們看到這里，從他們的表情上流露出驚羨的面容，一個(gè)同學(xué)脫口而出，數(shù)學(xué)真神妙.

趁熱打鐵，我接著該同學(xué)的話說(shuō)：“好戲還在后頭呢！”

3.3反證法

弱化條件，當(dāng)滿足條件的正方形變?yōu)槠叫兴倪呅?，且AD、BC不與y=x平行，然后證明∠ABC≠90°，從而證明此時(shí)四邊形ABCD不可能為正方形.

已知平行四邊形ABCD中，A、B兩點(diǎn)在y=1x上，C、D兩點(diǎn)在y=kx上，AD、BC不與y=x平行，求證：平行四邊形ABCD不可能是正方形.

綜上所述，當(dāng)a≠1，b1=-b2時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，此時(shí)，由于A（-b2+b22+4a2a，b2+b22+4a2），由直線斜率公式得：kAB=b2-b12-b2+b12a=-a.由kBC·kAB=-a·a=-a2≠-1，這與假設(shè)相矛盾，故原假設(shè)不成立.

即可知：當(dāng)a≠1時(shí)，BC不垂直于AB，四邊形ABCD不可能為正方形，要使四邊形ABCD為符合條件的正方形，必須滿足a=1，這也就證明了滿足條件的正方形ABCD必須關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

對(duì)于一些特殊的問(wèn)題，從問(wèn)題的反面入手，利用解析法嚴(yán)密地進(jìn)行邏輯推理，得出矛盾，說(shuō)明原假設(shè)不成立.這既說(shuō)明前面合情推理的合情性，合理性，同時(shí)又為后面拓展提升打下了伏筆.

4拓展提升

接下來(lái)我再拋出問(wèn)題：

（1）四頂點(diǎn)在y=1x，y=kx上的四邊形何時(shí)為平行四邊形？矩形？正方形？

下面逐一介紹：

①由前面的證明不難得到，當(dāng)a≠1，b1與b2互為相反數(shù)，即a≠1，b1+b2=0時(shí)，四邊形ABCD一定為平行四邊形.

②當(dāng)b1+b2=0，且a=1時(shí)，定是矩形.

③當(dāng)b1+b2=0，a=1時(shí)，此時(shí)只要AB=BC，四邊形ABCD為正方形.

由兩點(diǎn)間距離公式得：

（b1-b22a）2+（b1-b22）2=（b21+4ak-b21+4a2a）2+（b21+4ak-b21+4a2）2，

（b1-b2）2（14a2+14）=（14a2+14）（b21+4ak-b21+4a）2，b1-b2=b21+4k-b21+4，最后化簡(jiǎn)得：2b1=b21+4k-b21+4，

即當(dāng)b1=-b2，a=1，2b1=b21+4k-b21+4時(shí)，四邊形ABCD為正方形.

改變結(jié)論，探究所需的條件，這是變式教學(xué)的一種方式，它有利于學(xué)生搞清數(shù)學(xué)內(nèi)部的本質(zhì)聯(lián)系.

（2）將原題進(jìn)一步推廣.把題中的y=1x變?yōu)閥=nx，其它條件不變，情況如何？

如圖3，過(guò)A、C分別作y軸的平行線，過(guò)D、B分別作x軸的平行線，各平行線分別相交于M、N、P、Q四點(diǎn).設(shè)A（a，na），B（b，nb），由條件易證：△ANB≌△BCP≌△DQC≌△MAD，得到AN=BP=CQ=MD，MA=NB=CP=DQ

可得：C（b+na-nb，nb+b-a），D（a+na-nb，na+b-a），把C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx，得：

（b+na-nb）（nb+b-a）=（a+na-nb）（na+b-a）=k，展開(kāi)上式并化簡(jiǎn)得：a2b2=n2，即ab=n.由勾股定理：AN2+NB2=1，得：（b-a）2+（nb-na）2=1，（b-a）2+n2（a-b）2a2b2=1，由ab=n，得（b-a）2+（a-b）2=1，（b-a）2=12，可得b-a=22，b=a+22，所以（a+22）a=1，由a>0，得出a=22，b=2，即可得出C（22n+2，22n+22），因此k=（22n+2）（22n+22）.

弱化條件，將問(wèn)題向一般性情形轉(zhuǎn)化，解題方法不變，體現(xiàn)了從特殊到一般、以及類比的數(shù)學(xué)思想.

當(dāng)然，該題也可采用正方形關(guān)于y=x的軸對(duì)稱性解析.

（3）把題中的y=1x變?yōu)閥=k1x，y=kx變?yōu)閥=k2x，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1改為m，則k1、k2、m之間有什么必然聯(lián)系？（限于篇幅該問(wèn)題不展開(kāi)討論.）

5進(jìn)一步的思考

通過(guò)此次探究活動(dòng)，培養(yǎng)了學(xué)生勇于質(zhì)疑、善于驗(yàn)證推理、多角度思考問(wèn)題的能力，滲透了諸如反證、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想，確立了學(xué)生是課堂教學(xué)的主體地位.教師在探究活動(dòng)中明確了只有尊重學(xué)生的人格，給學(xué)生以思維的時(shí)間與空間，學(xué)生就能主動(dòng)地思考，課堂上探究的問(wèn)題才能順應(yīng)學(xué)生的思維，貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).為進(jìn)一步提升課堂探究的有效性，筆者提出以下思考：

（1）數(shù)學(xué)探究不需要專門(mén)設(shè)立課型，常規(guī)課也可以進(jìn)行.數(shù)學(xué)探究無(wú)論從內(nèi)容形式等都不應(yīng)受到限制.其實(shí)數(shù)學(xué)探究是問(wèn)題的探究，我們把發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的過(guò)程都可以理解為數(shù)學(xué)探究.像這堂課，筆者從學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題方法的爭(zhēng)議入手，沿著學(xué)生的思維，不斷地設(shè)問(wèn)，設(shè)計(jì)了一系列的問(wèn)題，使一節(jié)看似常規(guī)的一堂習(xí)題課，擁有了豐富的數(shù)學(xué)味，學(xué)生思維的熱情、思維的高度得到了充分的演繹.

（2）數(shù)學(xué)課需要精心的預(yù)設(shè)，但更注重精彩的生成.要上好一堂課，必須備好一堂課，精彩的課堂需要精心的預(yù)設(shè).但備好了課，并不等于上好課.因?yàn)樽鳛檎n堂教學(xué)的主體學(xué)生是活生生的人，他們有著豐富的情感和活躍的思維，好多教學(xué)中的細(xì)節(jié)不可能都能預(yù)設(shè)的充分，有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)與我們預(yù)設(shè)大相徑庭的情形.這就需要教師在課堂上更注重學(xué)生的現(xiàn)場(chǎng)的課堂表現(xiàn)，注重課堂教學(xué)中的隨機(jī)生成，需要發(fā)揮教師的教育機(jī)智，引導(dǎo)學(xué)生積極參與，積極思維，從而使我們的課堂成為學(xué)生自我展示、充滿活力、激發(fā)創(chuàng)造力的課堂.

（3）注重演繹推理，也要注重合情推理.

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中.推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式，一般包括合情推理和演繹推理.在解決問(wèn)題的過(guò)程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論，演繹推理用于證明結(jié)論，兩者的有機(jī)融合，才能實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生思維水平的提升.推理能力的形成不同于基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握，需要一個(gè)長(zhǎng)期、緩慢的過(guò)程，這意味著，日常教學(xué)中，一方面，應(yīng)重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)操作、觀察、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行歸納或類比，通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)，觀察圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程中變與不變的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，突出合情推理在分析、解決問(wèn)題中的作用，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，彰顯數(shù)學(xué)教育的創(chuàng)新價(jià)值；另一方面，幫助學(xué)生通過(guò)演繹推理，明確證明的意義和必要性.作為研究圖形性質(zhì)的有效方法和工具，合情推理與演繹推理相輔相成，有助于發(fā)展學(xué)生的思維能力.

作者簡(jiǎn)介范達(dá)江，男，浙江省江山市人，1969年12月生，中學(xué)高級(jí)教師，江山市教師進(jìn)修學(xué)校校長(zhǎng)助理，先后獲得：衢州市第四屆名師，衢州市第五屆名師，衢州市“領(lǐng)雁”工程優(yōu)秀指導(dǎo)教師，江山市第二屆名師，江山市學(xué)科帶頭人.