一道動態(tài)型壓軸題的命題過程及其思考

所謂動態(tài)型試題，是以幾何圖形或幾何圖形中的一個或幾個元素為研究對象，通過一定的運動方式，探索圖形中某些元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，達到考查學(xué)生運用知識解決問題能力為目的的一類試題.由于這類試題考查功能全面，且命題者容易上手，近年來逐漸成為中考命題的焦點.筆者也曾多次嘗試命制動態(tài)型壓軸題，現(xiàn)和大家分享一道動態(tài)型壓軸題的命題過程及后續(xù)思考.

1題目及解答

如圖1，分別以矩形ABCD的一組對邊AD、BC為一邊在矩形ABCD外作菱形ADEF和菱形BCGH，∠FAD=∠HBC=α（0<α≤90°），點O是矩形ABCD的邊AB的中點，連結(jié)OE、OG、EG.

（1）小明在探究中發(fā)現(xiàn)：如圖2，當α=90°時，有以下兩個結(jié)論成立：①OE=OG；②AB∥EG.于是，小明猜想：“當α≠90°時，以上兩個結(jié)論仍然成立.”你同意他的猜想嗎？請你分別作出判斷，并說明理由.

（2）如圖3，點O、D、E在同一條直線上，tanα=34，求CDEG的值.

（3）若矩形ABCD的邊長AB=4，AD=5，當△OEG的中位線長正好等于線段AD長時，請你直接寫出sinα的值.

解答（1）以上兩個結(jié)論仍然成立.①OE=OG的證明方法：2命題過程

2.1圖形的產(chǎn)生過程

作為本次初三統(tǒng)測的壓軸題，在知識層面上希望能關(guān)注初三數(shù)學(xué)核心知識的考查，在能力層面上希望能讓學(xué)生經(jīng)歷問題的初步理解、深入探究、解決與應(yīng)用的過程，并且在解決問題的過程中體驗從特殊到一般、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.

選擇怎樣的載體才能達到以上的立意？首先確定考查的知識內(nèi)容，哪些是初中數(shù)學(xué)的核心知識？三角形、四邊形的性質(zhì)及其判定、三角形的全等以及相似、函數(shù)的性質(zhì)都是初中數(shù)學(xué)的核心知識.縱觀各地的中考數(shù)學(xué)壓軸題和本區(qū)模擬考試題，大部分是以二次函數(shù)為背景的壓軸題，本次考試希望能有所創(chuàng)新，于是先否定以二次函數(shù)作為基本背景進行命題，自然地想到了三角形、四邊形等幾何圖形為基本背景進行命題，而四邊形問題可以轉(zhuǎn)化為三角形來解決，考查了四邊形也就基本達到考查三角形的目的，因此四邊形是比較好的考查載體.搜索全國各地的中考試題，可以發(fā)現(xiàn)，常見的圖形動態(tài)問題特征為：以一個圖形上點（單點、雙點、多點）的運動（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱）引起的動態(tài)問題，于是再一次否定以單一圖形進行圖形變換來編制試題，腦子中出現(xiàn)了多圖組合的設(shè)想.那么，怎樣的圖形可以組合在一起呢？于是想到了矩形和菱形，當矩形和菱形有一條邊長相等的時候，可以組合在一起，便按以下步驟在幾何畫板中構(gòu)造了下如圖13：（1）畫線段AB；（2）過點A畫線段AB的垂線，在垂線上取點D，連結(jié)AD；（3）分別過點D、B畫AD、AB的垂線，兩垂線相交于點C，連結(jié)BC、DC；（4）以點D為圓心，線段AD長為半徑畫圓，在圓上取點E，連結(jié)DE；（5）分別過點A、E畫DE、AD的平行線，相交于點F，連結(jié)AF、EF；（6）以點C為圓心，DE長為半徑畫圓，以點B為圓心，AE長為半徑畫圓，兩圓相交于點G；（7）分別過點B、G畫CG、BC的平行線，相交于點H，連結(jié)BH、GH.以上構(gòu)圖中，也可以用幾何畫板的便捷工具作矩形和菱形，但這樣作圖中的步驟6、7保證了兩個菱形全等，使得菱形BCGH隨著菱形ADEF的變化而變化.此時，一個具有簡潔美、對稱美的圖形就出現(xiàn)了.當我們在幾何畫板中拖動點B、D時，可以改變矩形ABCD的邊長，拖動點E時，四邊形ADEF的形狀會發(fā)生改變，四邊形BCGH的形狀也隨著改變，但始終保持和四邊形ADEF全等，但圖13太簡單提不出一個合適的綜合性問題.

怎么辦呢？所以想到再增加一些線段，由于圖13本身是一個軸對稱圖形，于是繼續(xù)構(gòu)造軸對稱圖形，取線段AB的中點O，連結(jié)OE、OG得到圖14，出現(xiàn)了一些三角形.

2.2圖形的研究過程

在圖14中拖動點B、D可以改變矩形ABCD的邊長大小，拖動點E可同時改變菱形ADEF、BCGH的內(nèi)角大小，從而改變菱形的形狀.在改變菱形內(nèi)角的過程中，發(fā)現(xiàn)線段EG始終與AB平行，且它的長度隨菱形內(nèi)角的改變而改變.這樣就找到了動態(tài)問題中的一對變量：線段EG的長度隨著菱形的一個內(nèi)角（不妨設(shè)∠FAD=α）的變化而變化，那么線段EG的長度關(guān)于α有怎樣的函數(shù)關(guān)系？設(shè)長方形ABCD的邊長分別為AB=a，AD=b，則EG=a+2bsinα，如果給定a，b的值，則EG的長是關(guān)于角度α的函數(shù).也就是說，給定α，便可求得線段EG的長.由于初中階段只研究銳角三角函數(shù)，何況當α為鈍角時會出現(xiàn)如圖15這樣的復(fù)雜圖形，這樣就有了題目中關(guān)于α的角度限制.接下來，先來研究動態(tài)圖形的特殊位置：如圖16，當α=90°時，即四邊形ADEF和四邊形BCGH都是菱形時，顯然有OE=OG，AB∥EG，繼續(xù)拖動點E，也可以得到另一種特殊位置（如圖17）：點O、D、E在同一條直線上，圖17考查的知識點很豐富：DC為什么和EG平行？如何根據(jù)CD的長求得EG的長？等等.

那么更深入地，更一般地，我們還能提出什么問題呢？繼續(xù)觀察圖14，還發(fā)現(xiàn)線段OE、OG與AD、BC的交點很可能正好是△OEG的中位線，于是便有了設(shè)問：“若△OEG的中位線恰好等于線段CD的長，求sinα的值”，顯然，已知CD的長便可知EG的長，很容易求出sina的值.但是，當筆者仔細考慮自己的設(shè)問時，發(fā)現(xiàn)△OEG的中位線未必是平行于EG的這一條，△EOG的中位線應(yīng)該有3條，其中有2條（平行于OE的中位線和平行于OG的中位線）是相等的，那么如果△OEG中平行于OE的中位線長等于CD，能求出sina的值嗎？于是，列出了如下的方程組：（其中a，b分別表示矩形ABCD的邊長，x，y分別表示圖12中EM和DM的長）

若該方程組有解，則sina的值存在.我們知道上述方程組存在實數(shù)解，在平面直角坐標系中就是以原點（0，0）為圓心，b為半徑的圓和以（-12a，-b）為圓心，以（b+bcosα）2+（12a+bsinα）2為半徑的圓有公共點，但是由于未知量太多，這兩個圓的位置關(guān)系難以確定.現(xiàn)在的問題是：如何給出一個合適的數(shù)值，使得角度α的值存在？不妨先取定角α的三角函數(shù)值，再給a，b賦值，通過多次的嘗試，終于發(fā)現(xiàn)當AD=4，AB=6時，既可以保證OD是一個整數(shù)，也可使得方程組有解，這樣倒過來“湊出數(shù)據(jù)”，問題便迎刃而解.至此，關(guān)于本圖的研究可以暫告一段落.

2.3試題的組織和設(shè)問

以上是命題者對圖形的研究過程，那么哪些可以用來考查學(xué)生，又該以怎樣的形式來表述試題，又如何考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平？本題作為模擬考試的壓軸題，定位于考查學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力.在以上探究過程中，筆者發(fā)現(xiàn)在所有問題的解決中，都需要說明AB∥EG，這個結(jié)論有一定的難度，是先進行一些鋪墊讓學(xué)生自行進行證明？還是提出問題，讓學(xué)生在解決問題的過程中先證明再運用？很顯然，如果不提出讓學(xué)生證明AB∥EG，考試時有許多學(xué)生很可能會默認兩線平行，而直接運用兩線平行去解決問題，造成不必要的失分，達不到考查目的.因此，證明平行成為必考的一步.但是把“證明平行”作為試題的“入口”對學(xué)生又比較困難，怎樣在考場中進行適當?shù)匿亯|啟發(fā)學(xué)生思考？引導(dǎo)學(xué)生“表示兩個內(nèi)錯角角的度數(shù)”作為鋪墊？，顯然思維含量比較低，學(xué)生成為一種任務(wù)的操作者，而不是思考者，更何況限制了證明的方式.于是想到了利用特殊位置探究規(guī)律并向?qū)W生展示“從特殊到一般”研究問題的方法，便有了該題如上的設(shè)問.本題第1問以特殊位置存在的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生探究一般位置時線段的數(shù)量和位置關(guān)系，起點低，證明方法多樣，同時又為后續(xù)的問題作了思維上的鋪墊.第2問讓學(xué)生運用探究到的結(jié)論來計算、求解問題，綜合考查了初中數(shù)學(xué)相似三角形、等腰三角形等初中數(shù)學(xué)核心知識.第3問根據(jù)三角形中位線的位置不同設(shè)置問題，考查了三角形中位線的概念，分類討論思想，運用方程等工具解決問題的能力.全題以“從特殊到一般探究結(jié)論→應(yīng)用結(jié)論解決問題”的方式展開，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題研究和解決的過程，考查了學(xué)生的知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度等諸多方面，有良好的評價導(dǎo)向功能.

3命題思考

本題以矩形、菱形為基本圖形構(gòu)造動態(tài)探究題，試題呈現(xiàn)方式新穎，內(nèi)涵豐富.巧妙地將矩形、菱形、等腰三角形、直角三角形、相似三角形等初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容融合起來，同時設(shè)計的探究內(nèi)容遵循“由特殊到一般”的規(guī)律，是一道具有較好的區(qū)分度和效度的動態(tài)型試題，得到了一線教師的廣泛好評.回顧本題的命題過程，從最初的立意到后續(xù)的試題成型的過程，有許多感悟值得筆者在今后的命題中鞭策自己，整理分享如下：

3.1命制動態(tài)型試題要體現(xiàn)函數(shù)思想

筆者認為，動態(tài)型試題關(guān)注了在某種條件下幾何圖形或幾何圖形中的某些元素的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化，因此，命制動態(tài)型試題要體現(xiàn)函數(shù)思想，在研究圖形動態(tài)變化過程中尋找合適的變量，從而找到問題探究的主線，讓學(xué)生像平時學(xué)習(xí)一樣來探究問題，同時促進教師在平時的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思考、探究，發(fā)揮試題良好的導(dǎo)向作用.如本題中就是找到了“線段EG的長度和位置隨著菱形內(nèi)角的變化而變化”這樣一條探究的主線.因此，在試題命制的過程中，我們可以通過“控制變量”來尋求規(guī)律，如本題中先保證了矩形和菱形的邊長不變，讓菱形的內(nèi)角發(fā)生改變.幾何圖形中，常見的變量是圖形的邊長、內(nèi)角，或以數(shù)量關(guān)系來刻畫位置關(guān)系等.

3.2組合構(gòu)圖能讓動態(tài)型試題煥發(fā)新意

有了試題的立意之后，選擇合適的載體尤為重要，它是命題者實現(xiàn)立意的保障.縱觀近幾年全國各地的中考試題，也出現(xiàn)了不少讓人眼前一亮的構(gòu)圖形式，但仍有許多試題存在“異地搬遷”現(xiàn)象，究其原因主要是原創(chuàng)試題著實困難.筆者近年來嘗試“多圖組合”原創(chuàng)試題，就是將有關(guān)聯(lián)的圖形進行組合構(gòu)造出新圖形，通過研究新圖形的性質(zhì)規(guī)律進行設(shè)問.如本題中，將矩形和菱形進行組合構(gòu)造出新圖形，設(shè)置新圖形的變量，從而命制一道新穎的原創(chuàng)試題，公平公正地考查了學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，遏制題海戰(zhàn)術(shù).

3.3要關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的考查

統(tǒng)測的目的之一是檢測學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，調(diào)研教師在教學(xué)方面存在的問題，但更應(yīng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的考查.學(xué)生在解本題時，要經(jīng)歷設(shè)問從特殊情形的直觀感知，觀察發(fā)現(xiàn)、歸納概括等合情推理積累經(jīng)驗，捕獲可能的解題思路，再經(jīng)歷演繹推理證明得到結(jié)論，最后遷移探索到的結(jié)論解決后續(xù)問題，這個問題解決的過程充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程與方法，真正達到通過考試來檢測學(xué)習(xí)能力和過程的目的.

作者簡介潘小梅，女，中學(xué)高級教師，浙江省優(yōu)秀教研員，主要研究數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和考試命題，在各級各類雜志發(fā)表文章50余篇.