求通項(xiàng)公式中的“當(dāng)當(dāng)”

朱秀華

摘 要：根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)an的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列中的一個(gè)重要問題，在解題過程中，學(xué)生容易忽略Sn-1成立的前提條件是n≥

2（n∈N）而導(dǎo)致錯(cuò)誤。本文通過對錯(cuò)解進(jìn)行分析，說明由數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與第n項(xiàng)an的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式是一個(gè)分段函數(shù)。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；通項(xiàng)公式

例：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an+1=Sn-n+3，n∈N，a1=2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

在之前的學(xué)習(xí)中，我們知道，由Sn=a1+a2+…+

an-1+an得Sn-1=a1+a2+…+an-1，于是，當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1，而當(dāng)n=1時(shí)，an=S1，因此an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2

但是學(xué)生們對于這個(gè)分段的關(guān)系式掌握不好，經(jīng)常忽略n=1和n≥2時(shí)這個(gè)關(guān)系式具有完全不同的表現(xiàn)形式，所以講課時(shí)我特別強(qiáng)調(diào)在利用這個(gè)關(guān)系式時(shí)要注意“定義域”，過程中應(yīng)該出現(xiàn)“當(dāng)當(dāng)”。下面是學(xué)生們經(jīng)常犯的錯(cuò)誤。

錯(cuò)解一：由Sn=an+1+n-3

得Sn-1=an+（n-1）-3 ①

∴an=an+1-an+1

即an+1=2an-1

∴an+1-1=2（an-1）

故{an-1}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。

∴an=2n-1+1

在這個(gè)解題過程中，完全忽略了①式中Sn-1有意義的前提是當(dāng)n≥2時(shí)，想當(dāng)然地認(rèn)為n從1開始取。

錯(cuò)解二：由Sn=an+1+n-3

得，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=an+（n-1）-3

∴an=an+1-an+1

即an+1=2an-1

∴an+1-1=2（an-1） ②

故{an-1}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。

∴an=2n-1+1

當(dāng)n=1時(shí)，a1=2，符合。

∴an=2n-1+1

這里只是注意了“當(dāng)當(dāng)”的形式，而非實(shí)質(zhì)。雖然在式中，注意到Sn-1有意義的前提是當(dāng)n≥2時(shí)，但當(dāng)n≥2時(shí)，n的最小取值為2，所以②式要從a3-1=2（a2-1）開始，沒有a2-1=2（a1-1）。那么a2-1=2（a1-1）是否成立需要我們驗(yàn)證。若這個(gè)式子成立，則數(shù)列{an-1}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，否則，數(shù)列{an-1}是從第二項(xiàng)起的等比數(shù)列，即：

an-1=a1-1，n=1（a2-1）qn-2，n≥2

正解：Sn=an+1+n-3

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn-1=an+（n-1）-3

∴an=an+1-an+1

即an+1=2an-1

∴an+1-1=2（an-1）

又a2=2-1+3=4，∴a2-1≠2（a1-1）

故{an-1}是從第二項(xiàng)起以2為公比的等比數(shù)列。

∴an=2，n=13·2n-2，n≥2

變式：已知數(shù)列{an}中，a1=1，前n項(xiàng)的和為Sn，對任意的自然數(shù)n≥2，an是3Sn-4與2-Sn-1的等差中項(xiàng)。則通項(xiàng)an=____________。

解：由已知當(dāng)n≥2時(shí)，2an=3Sn-4+2-Sn-1，

故有當(dāng)n≥3時(shí)，2an-1=3Sn-1-4+2-Sn-2，

兩式相減得：an=-an-1，

當(dāng)n=2時(shí)，2a2=3S2-2-S1，解得a2=，

即a2≠-a1，所以，數(shù)列{an}是從第二項(xiàng)起的等比數(shù)列，

所以an=1，n=1--？搖n-1，n≥2

（作者單位：河北省石家莊二中實(shí)驗(yàn)學(xué)校）