從函數(shù)觀點(diǎn)來看課本一不等式的考查

陳崇榮+楊蒼洲

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書——數(shù)學(xué)選修22》（人教A版）32頁B組第1題中第（4）小題：證明lnx0.因?yàn)閤

1函數(shù)f（x）=ex+bx的圖像與性質(zhì)探究

要研究函數(shù)f（x）=ex+bx的圖像，可以用導(dǎo)數(shù)作為工具.f′（x）=ex+b，令f′（x）=0，解得ex=-b，若該方程有解，記根x=ln（-b）.函數(shù)f（x）=ex+bx的圖像與性質(zhì)見表1：

2變式探究

將不等式x1，于是又可以構(gòu)造函數(shù)f（x）=xex和f（x）=exx，此時(shí)自然而然想到變式f（x）=x·ex，通過求導(dǎo)，可以得出該三個(gè)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，見表2：

表1bb≥0b<0f（x）的

圖像定義域Rf（x）的

值域y∈Ry∈[f（ln（-b）），+∞），當(dāng)x=ln（-b）時(shí)，函數(shù)有最小值f（ln（-b））.f（x）的

單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在（-∞，ln（-b））單調(diào)遞減，在（ln（-b），+∞）單調(diào)遞增.過定點(diǎn)（0，1）

表2f（x）f（x）=xexf（x）=exxf（x）=x·exf（x）的圖像x→+∞時(shí)，圖像無限靠近x軸x→-∞時(shí)，圖像無限靠近x軸，x→0-時(shí)，圖像無限靠近y軸，x→0+時(shí)，圖像無限靠近y軸.x→-∞時(shí)，圖像無限靠近x軸定義域R{x|x≠0}Rf（x）的值域y∈（-∞，1]，當(dāng)x=1時(shí)，最大值為1.y∈（-∞，0）∪[e，+∞），當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)值為e.y∈[-1e，+∞），當(dāng)x=

-1時(shí)，函數(shù)值為-1e.f（x）的單調(diào)性在（-∞，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減.在（-∞，0）和（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增.在（-∞，-1）單調(diào)遞減，在（-1，+∞）單調(diào)遞增.3函數(shù)f（x）=ex+bx的圖像與性質(zhì)的考查

高考中對該函數(shù)的考查在最近幾年中比較頻繁，如2014年的福建卷第20題、2014年山東卷的第20題、2013年的江蘇卷第20題、2012年湖南卷文科第22題、2011年全國新課標(biāo)卷文科第21題等.通?？疾樵摵瘮?shù)的圖像與性質(zhì)，考查恒成立、存在性問題求參數(shù)的范圍，考查零點(diǎn)問題求參數(shù)的范圍等等.

例1（2014年山東理第20題）設(shè)函數(shù)f（x）=exx2-k（2x+lnx）（k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）當(dāng)k≤0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍.

解y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=（x-2）（ex-kx）x3.

（Ⅰ）f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增.（第一問較簡單，不作詳細(xì)解答）

（Ⅱ）由（1）知，當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)不存在極值點(diǎn)；

分析1當(dāng)k>0時(shí)，按照求極值的步驟，需解方程f′（x）=0，即解方程（x-2）（ex-kx）=0，但是ex-kx=0是超越方程，無法解，很明顯很多同學(xué)就此打住了.如何突破呢，可以構(gòu)造函數(shù)g（x）=ex-kx，考察函數(shù)g（x）的單調(diào)性最值.

當(dāng)k>0時(shí)，g（x）的單調(diào)性見下表：

x（0，lnk）lnk（lnk，+∞）g′（x）-0+g（x）極小值所以g（x）極小值=g（lnk）=k（1-lnk）.

分析2g（x）的極小值k（1-lnk）也就是g（x）在定義域上的最小值，可以發(fā)現(xiàn)k（1-lnk）可正可負(fù)，當(dāng)k（1-lnk）為正數(shù)時(shí)，問題就變得簡單多了，在成功的路上又前進(jìn)了一大步.

當(dāng)k0，即g（x）>g（x）極小值=k（1-lnk）>0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，不可能存在兩個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意，舍去.

分析3若g（x）的最小值k（1-lnk）小于0，那又該怎么樣做呢？這是本題最難的一關(guān)，該關(guān)闖過，問題就迎刃而解.要使得f（x）在（0，2）上有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)f（x）在（0，2）上有增有減，圖1即f′（x）在（0，2）上有正有負(fù)，即函數(shù)g（x）在（0，2）上有正有負(fù)，結(jié)合g（x）的簡圖，可以找到滿足題意的條件，從而求出k的范圍.

當(dāng)k>e時(shí)，lnk>1，k（1-lnk）<0，即g（x）極小值<0，注意到g（0）=1，函數(shù)g（x）的簡圖如圖1所示，要使函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，g（x）的圖像須滿足g（0）>0且g（2）>0，即e2-2k>0，即ke，所以e

綜上所述，e

反思至此，本題已順利解答.回過頭來看，本題能否構(gòu)造新函數(shù)g（x）=ex-kx是關(guān)鍵，從而轉(zhuǎn)化為研究該函數(shù)的圖像與性質(zhì)，設(shè)計(jì)巧妙，卻又不難，但又有較好的區(qū)分度，是道好題.

4函數(shù)f（x）=xex的圖像與性質(zhì)的考查

例2（2014年天津卷第20題）已知函數(shù)f（x）=x-aexa∈R，x∈R.已知函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2且x1

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）證明x2x1隨著a的減小而增大；

（Ⅲ）證明x1+x2隨著a的減小而增大.

解析（Ⅰ）f′（x）=1-aex，當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0，所以函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，f（x）=x-aex=-a（ex-1ax），由表1，可知道f（x）的最大值為fln（1a）=f（-lna）=-a（e-lna+1alna）=-lna-1，要使得f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則f（x）max>0，即-lna-1>0，解得0

（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，則方程x-aex=0有兩個(gè)根，即方程a=xex有兩個(gè)根，于是可以轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)y=xex，y=a的圖像交點(diǎn)問題.作出兩個(gè)函數(shù)的圖像如圖2所示.由圖像可得，當(dāng)a變小時(shí)，x1變小，x2變大，x2x1變大，命題得證.

圖2（Ⅲ）略.

5函數(shù)f（x）=exx的圖像與性質(zhì)的考查

例3（北京石景山區(qū)2014屆高三期末）已知函數(shù)f（x）=ex-ax（e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）已知函數(shù)f（x）在x=0處取得極小值，不等式f（x）

解（Ⅰ）切線方程為y=-x+1.

（Ⅱ）f′（x）=ex-a.

當(dāng)a≤0時(shí)，由表1知f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞），無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，lna）.

（Ⅲ）由題意知f′（0）=0得a=1，經(jīng)檢驗(yàn)此時(shí)f（x）在x=0處取得極小值.

因?yàn)镸∩P≠，所以f（x）ex-xx=exx-1成立，所以m>（exx-1）min.令g（x）=exx-1，由表2知，則g（x）min=g（1）=e-1，所以m>e-1.

6函數(shù)f（x）=x·ex的圖像與性質(zhì)的考查

例4（2013年福建（文））已知函數(shù)f（x）=x-1+aex（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；

（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值；

（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，若直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，求k的最大值.

解（Ⅰ）a=e.

（Ⅱ）當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）無極小值；當(dāng)a>0時(shí)，f（x）在x=lna處取得極小值lna，無極大值.

（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-1+1ex.直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于x的方程kx-1=x-1+1ex在R上沒有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于x的方程：k-1x=1ex（*）在R上沒有實(shí)數(shù)解.

①當(dāng)k=1時(shí)，方程（*）可化為1ex=0，在R上沒有實(shí)數(shù)解.

②當(dāng)k≠1時(shí)，方程（*）化為1k-1=xex.

令g（x）=xex，由g（x）=xex的圖像可得g（x）的取值范圍為-1e，+∞.所以當(dāng)1k-1∈-∞，-1e時(shí)，方程（*）無實(shí)數(shù)解，解得k的取值范圍是1-e，1.

綜上，得k的最大值為1.

由此可得，各地高考或質(zhì)檢對課本不等式lnx