一道2014年上海高考題的探究

王懷明

2014年上海高考理科第13題：某游戲的得分為1，2，3，4，5，隨機變量ξ表示小白玩該游戲的得分.若E（ξ）=4.2，則小白得5分的概率至少為.

1 解法探究

解設小白得i分的概率為pi（i=1，2，3，4，5），因為E（ξ）=4.2，所以p1+2p2+3p3+4p4+5p5=4.2，又p1+p2+p3+p4+p5=1，代人得p2+2p3+3p4+4p5=3.2.因為p2+p3+p4+p5≤1，所以p3+2p4+3p5≥2.2.因為p3+p4+p5≤1，所以p4+2p5≥1.2.因為p4+p5≤1，所以p5≥0.2.當且僅當p4=0.8，p3=p1=p2=0時，p5取最小值0.2.

2試題推廣

若把問題推廣為一般情形，會有怎樣的結論呢？

結論1某游戲的得分為1，2，3，…， n，隨機變量ξ表示玩該游戲的得分. 設得i分的概率為pi（i=1，2，…，n），則當n-1≤E（ξ）≤n時， （pn）min=E（ξ）+1-n；當1≤E（ξ）

證明設得i分的概率為pi（i=1，2，…，n），則p1+2p2+3p3+…+npn=E（ξ），又p1+p2+p3+…+pn=1，代人得p2+2p3+3p4+…+（n-1）pn=E（ξ）-1.因為p2+p3+…+pn≤1，所以p3+2p4+…+（n-2）pn≥E（ξ）-2.因為p3+p4+…pn≤1，所以p4+2p5+…（n-3）pn≥E（ξ）-3，依次類推，得pn-1+2pn≥E（ξ）-（n-2），

pn-1+pn≤1，所以pn≥E（ξ）-（n-1）.當且僅當pn-1=n-E（ξ），p1=p2=…=pn-2=0時，pn取最小值E（ξ）-（n-1），即E（ξ）+1-n.

結論2 某游戲的得分為1，2，3，…， n，隨機變量ξ表示玩該游戲的得分. 設得i分的概率為pi（i=1，2，…，n），則（pn）max=E（ξ）n.

結論3 某游戲的得分為1，2，3，…，n，隨機變量ξ表示玩該游戲的得分. 設得i分的概率為pi（i=1，2，…，n）， 則（pk）min=0，（pk）max=n-E（ξ）n-k（k=1，2，…，n-1）.