數(shù)列試題的精彩交匯

近幾年高考與各省市模擬考試中一些富有時代氣息的數(shù)列交匯性問題，有同一模塊知識點的“小交匯”，如等差數(shù)列與等比數(shù)列相交匯在同一題中呈現(xiàn)，也有以數(shù)列為主體，橫向聯(lián)系其他知識模塊、跨度較大的“大交匯”，如數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與三角函數(shù)、數(shù)列與方程、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率、數(shù)列與解析幾何、數(shù)列與程序框圖、數(shù)列與應(yīng)用問題等知識相交匯的問題.此類問題大膽創(chuàng)新、構(gòu)思新穎，難度中等，此時會涉及求數(shù)列的通項公式、數(shù)列的前n項和、數(shù)列的最值等問題.主要考查我們的理解能力和處理交匯性問題的能力.

1數(shù)列與函數(shù)的交匯

例1（2014·廣元市模擬）已知數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，a4，a6是函數(shù)f（x）=x2-7x+12的兩個零點.

（1）求{an}的通項公式；

（2）求數(shù)列{an2n}的前n項和Sn.

分析（1）先求出函數(shù)f（x）=x2-7x+12的兩個零點，由數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，可求出a4，a6的值，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出首項與公差，從而寫出數(shù)列{an}的通項公式；（2）利用錯位相減法求數(shù)列{an2n}的前n項和.

解析（1）因為函數(shù)f（x）=x2-7x+12的兩個零點分別為3，4，由題意得a4=3，a6=4.所以數(shù)列{an}的通項公式為an=12n+1.

（2）由（1），知an2n=n+22n+1，則Sn=322+423+…+n+12n+n+22n+1，所以12Sn=323+424+…+n+12n+1+n+22n+2，所以兩式相減得Sn=2-n+42n+1.

方法點津求解這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，將條件進行準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化；對于函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，主要利用函數(shù)的單調(diào)性或有界性來求解數(shù)列中的最值.但由于數(shù)列的通項是一類特殊的函數(shù)，所以借助函數(shù)的性質(zhì)研究數(shù)列問題，一定要注意數(shù)列中的自變量只能取正整數(shù)這一特點.

此類交匯性問題的易錯點有三處：一是不注意“題眼”而造成增解，如本題“數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列”中的“遞增”兩字未注意，導(dǎo)致求出的a4，a6的解有兩種情形，從而產(chǎn)生增解；二是不注意“符號”而失分，如本題，用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，兩和式相減時，一定要注意作差后最后一項的符號，我們常在此處出錯，一定要小心；三是忽視“項數(shù)”而失分，對兩式相減后的式子，常需用等比數(shù)列的前n項和公式求和，如本題中，12Sn=34+（123+124…+12n+1）-n+22n+2，用等比數(shù)列的前n項和公式求123+124…+12n+1時，應(yīng)注意其項數(shù)是“n-1”，不要誤以為項數(shù)是“n-2”或“n+1”.

變式1（2014·資陽市模擬）

已知函數(shù)y=log12nx（n∈N*）.

（1）當(dāng)n=1，2，3，…時，把已知函數(shù)的圖像和直線y=1的交點橫坐標(biāo)依次記為a1，a2，a3，…，an，….求證：a1+a2+a3+…+an<1；

（2）對于每一個n值，設(shè)An，Bn為已知函數(shù)圖像上與x軸距離為1的兩點，求證n取任意一個正整數(shù)時，以AnBn為直徑的圓都與一條定直線相切，求出這條定直線的方程和切點坐標(biāo).

解析（1）原函數(shù)可化為y=-1nlog2x，得an=（12）n.所以a1+a2+a3+…+an=1-（12）n<1.

（2）因為An，Bn為已知函數(shù)圖像上與x軸距離為1的兩點，所以得An（2n，-1），Bn（2-n，1），所以|AnBn|=2n+12n.所以這條定直線為x=0，又圓心C（2n+2-n2，0）在x軸上，所以切點為（0，0）.

2數(shù)列與三角函數(shù)的交匯

例2（2014·攀枝花市模擬）已知函數(shù)f（n）=n2sinnπ2，且an=f（n）+f（n+1），求數(shù)列{an}的前2014項的和S2014.

分析分析sinnπ2的取值規(guī)律是1，0，-1，0，1，0，-1，0，…，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=a1+a3=12-32，同理可得后面連續(xù)四項的取值規(guī)律，這樣可以求得a1+a3++…+a2013，同理可以求得a2+a4+…+a2014.

解析a1+a3+a5+…+a2013=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）+f（2014），

a2+a4+a6+…+a2014=f（2）+f（3）+…+f（2014）+f（2015），

所以S2014=a1+a2+a3+a4+…+a2014=-4032.

方法點津分組求和是把數(shù)列之和分為幾組，每組中的各項是可以利用公式（或其他方法）求和的，求出各組之和即得整體之和，這類試題一般有如下幾種情況：（1）數(shù)列是周期數(shù)列，先求出每個周期內(nèi)的各項之和，然后把整體之和按照周期進行劃分，再得出整體之和；（2）奇偶項分別有相同的特征的數(shù)列（如奇數(shù)項組成等差數(shù)列、偶數(shù)項組成等比數(shù)列），按照奇數(shù)項和偶數(shù)項分組求和；（3）通項中含有（-1）n的數(shù)列，按照奇數(shù)項、偶數(shù)項分組，或者按照項為奇數(shù)、偶數(shù)分類求和.

變式2（2014·廣漢市質(zhì)檢）已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，角B所對的邊b=3，且函數(shù)f（x）=23sin2x+2sinxcosx-3在x=A處取得最大值.求△ABC的面積.

解析因為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B=π3，A+C=2π3.

因為f（x）=23sin2x+2sinxcosx-3=2sin（2x-π3），

又函數(shù)f（x）在x=A處取得最大值，所以2sin（2A-π3）=2，

所以A=5π12，則C=π4.得c=2.又因為sin5π12=2+64，所以S△ABC=12bcsinA=3+34.

3數(shù)列與不等式的交匯

例3（2014·南充市模擬）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an+Sn=4.

（1）求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；

（2）是否存在正整數(shù)k，使Sk+1-2Sk-2>2成立，若存在，求出k的值；若不存在，說明理由.

解析（1）由題意，知an+Sn=4，an+1+Sn+1=4，兩式相減，得an+1=12an.

所以數(shù)列{an}是首項為a1=2，公比為12的等比數(shù)列.

（2）由（1）得an=2·（12）n-1，則Sn=4-22-n.

假設(shè)存在正整數(shù)k，使Sk+1-2Sk-2>2成立，即4-21-k-24-22-k-2>2，整理得1<2k-1<32，

因為k∈N*，這與2k-1∈（1，32）相矛盾，故不存在這樣的正整數(shù)k.使已知不等式成立.

方法點津?qū)τ跀?shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答此類問題的一般策略是：先假設(shè)所探求對象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進行運算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得滿足條件的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.

變式3（2014·廣安市模擬）已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=an（an+2）4（n∈N*）.

分析由題意可得事件S8=2表示反復(fù)投擲硬幣，其中出現(xiàn)正面的次數(shù)是5次，事件“S2≠0，S8=2”表示前兩次全正或全負.

解析事件S8=2表示反復(fù)投擲硬幣，其中出現(xiàn)正面的次數(shù)是5次，其概率為P=732，事件“S2≠0，S8=2”表示前兩次全正或全負，則概率為P=13128，故選答案B.

方法點津此題以數(shù)列{an}及其前n項和考查了獨立性重復(fù)試驗事件的概率，解決本題的關(guān)鍵是正確理解事件Sn所表示的意義.

變式5（2014·佛山市模擬）A，B，C三人進行乒乓球比賽，優(yōu)勝者按以下規(guī)則決出：（Ⅰ）三人中兩人進行比賽，勝出者與剩下的一人進行比賽，直到出現(xiàn)兩連勝者，則此兩連勝者被判定為優(yōu)勝者，比賽結(jié)束；（Ⅱ）在每次比賽中，無平局，必須決出勝負.

已知A勝B的概率是23，C勝A的概率是12，C勝B的概率是13，第一場比賽在A與C中進行，

（1）分別求出第二場、第三場、第四場比賽后C為優(yōu)勝者的概率；

（2）記第3n-1場比賽后C為優(yōu)勝者的概率為pn，第3n場比賽后C為優(yōu)勝者的概率為qn，第3n+1場比賽后C為優(yōu)勝者的概率為rn，n∈N*，試求pn，qn，rn.

解析（1）由題意知第二場比賽后C為優(yōu)勝者的情況為（C勝A）→（C勝B）→C，故其概率為16；

由題意可知第三場比賽后C不可能為優(yōu)勝者，故其概率為O；

由題意可知第四場比賽后C為優(yōu)勝者的情況為（C負A）→（B勝A）→（C勝B）→（C勝A）→C，故其概率為136.

（2）第一場A與C的比賽結(jié)果分兩種情況：

①A與C的比賽中C勝出，C如果要成為優(yōu)勝者，接下來的比賽按如下進行：

（C勝A）→（C負B）→（B負A）→（A負C）循環(huán)n-1次→（C勝B）→C，（n∈N*，共3n-1場），

對n∈N*，以上比賽進行的概率為16·（29）n-1，此時C在第3n-1場比賽后成為優(yōu)勝者；

②A與C的比賽中A勝出，C如果要成為優(yōu)勝者，接下來的比賽按如下進行：

（C負A）→（A負B）→（B負C）→（C負A）→（A負B）循環(huán)n-1次→（B負C）→（C勝A）→C，（n∈N*，共3n+1場），

對n∈N*，以上進行的概率為12·（118）n，此時C在第3n+1場比賽后成為優(yōu)勝者.

綜上所述，C在第3n-1場或者第3n+1場比賽后能成為優(yōu)勝者，在第3n場比賽后不能成為優(yōu)勝者，所以pn=16·（29）n-1，qn=0，rn=12·（118）n，n∈N*.

6數(shù)列與解析幾何的交匯

例6（2014·西昌市模擬）已知數(shù)列{an}中，a1=2，且點Pn（an，an+1）（n∈N*）在直線x-2y+1=0上，求數(shù)列{an}的通項公式.

分析由題意可得an和an+1的遞推關(guān)系，再由此遞推關(guān)系得到數(shù)列{an}的通項公式.

解析因為點Pn（an，an+1）（n∈N*）在直線x-2y+1=0上，所以an+1=12an+12.

設(shè)存在實數(shù)λ（λ≠0）使得an+1+λ=12（an+λ）成立，整理比較得λ=-1.

則an+1-1=12（an-1），所以數(shù)列{an-1}是以1為首項，12為公比的等比數(shù)列.故an=（12）n-1+1.

方法點津數(shù)列與圓錐曲線的交匯是近年高考命題的熱點，引起交匯的主要是“點列”，“點”是解析幾何的基本元素，而“列”是數(shù)列的基本特征.把兩者結(jié)合起來，就會使數(shù)列有機會與解析幾何問題形成交匯.解決“點列”問題的關(guān)鍵是充分利用解析幾何的有關(guān)性質(zhì)、公式，建立數(shù)列的遞推關(guān)系或通項之間的關(guān)系，然后借助數(shù)列知識進行解決.

當(dāng)然“點列”不僅僅是數(shù)列的相鄰的兩項可以作為點的坐標(biāo)，和自然數(shù)有關(guān)的式子均可以作為“點列”，如（n，Sn），（n，an），（an，Sn），（an，an+1）等均可以作為“點列”，它們均可以為研究通項公式提供遞推關(guān)系.但求解與曲線的切線相關(guān)的問題時，注意充分利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

變式6（2014·綿陽市模擬）在平面直角坐標(biāo)系上有一點列P1（a1，b1），P2（a2，b2）.P3（a3，b3），…，Pn（an，bn），…，對每一個自然數(shù)n，點Pn（an，bn）在函數(shù)y=x2的圖像上，且點Pn（an，bn），點A（n，0），點B（n+1，0）構(gòu)成一個以點Pn（an，bn）為頂點的等腰三角形.

（1）求對每一個自然數(shù)n，以點Pn的縱坐標(biāo)構(gòu)成的數(shù)列{bn}的通項公式；

（2）令Cn=12bn-an+n，求C1+C2+C3+…+Cn的值.

解析（1）因為點Pn（an，bn）為等腰三角形的頂點，所以由|PnA|=|PnB|，可得an=n+12.

因為點Pn（an，bn）在函數(shù)y=x2的圖像上，所以bn=n2+n+14.

（2）因為Cn=12bn-an+n=12n2+2n=12（1n-1n+1），所以C1+C2+C3+…+Cn=12（1-12+12-13+…+1n-1n+1）=n2n+2.

7數(shù)列與應(yīng)用問題的交匯

例7（2014·成都市模擬）某旅游景點2013年利潤為205萬元，因市場競爭，若不開發(fā)新的項目，預(yù)測從2014年起每年利潤比上一年減少10萬元.2014年初，該景點一次性投入150萬元開發(fā)新項目，預(yù)測在未扣除開發(fā)所投入資金的情況下，第n年（n為正整數(shù)，2014年為第1年）的利潤為200（1+13n）萬元.

（1）設(shè)從2014年起的前n年，該景點不開發(fā)新項目的累計利潤為An萬元，開發(fā)新項目的累計利潤為Bn萬元（需扣除開發(fā)所投入資金），求An，Bn的表達式；

（2）依上述預(yù)測，該景點從第幾年開始，開發(fā)新項目的累計利潤超過不開發(fā)新項目的累計利潤？

分析（1）依題意可得An是等差數(shù)列的前n項和，Bn可由等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解；（2）利用數(shù)列的單調(diào)性來解答.

解析（1）依題意，An是首項為195，公差為-10的等差數(shù)列的前n項和，

所以An=n（195+205-10n）2=200n-5n2.

因為數(shù)列{200（1+13n）}的前n項和為200n+100[1-（13）n]，所以Bn=200n-50-1003n.

（2）由（1）得Bn-An=5n2-50-1003n，易知{Bn-An}是遞增數(shù)列.觀察并計算知B3-A3<0，B4-A4=30-10081>0，

所以從第4年開始，開發(fā)新項目的累計利潤超過不開發(fā)新項目的累計利潤.

方法點津（1）此類問題的解題思路：仔細閱讀所給材料，認真理解題意，將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)語言并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，分清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，是求通項問題還是求項數(shù)問題，或是求和問題等，并建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型求解.（2）一般涉及遞增率，要用等比數(shù)列，涉及依次增加或者減少，要用等差數(shù)列，有的問題是通過轉(zhuǎn)化得到等差或等比數(shù)列，在解決問題時要向這些方面思考.

常見數(shù)列應(yīng)用題模型的求解方法

（1）產(chǎn)值模型：原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，對于時間n的總產(chǎn)值y=N（1+p）n.

（2）銀行儲蓄復(fù)利公式：按復(fù)利計算利息的一種儲蓄，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和y=a（1+r）n.

（3）銀行儲蓄單利公式：利息按單利計算，本金為a元，每期的利率為r，存期為n，則本利和y=a（1+nr）.

（4）分期付款模型：a為貸款總額，r為年利率，b為等額還款數(shù)，則b=r（1+r）na（1+r）n-1.

變式7（2014·內(nèi)江市模擬）小李2014年底花100萬元買了一套住房，其中首付30萬元，70萬元采用貸款.貸款的月利率為0.5%，按復(fù)利計算，從貸款后的次月開始還貸，且每月等額還貸，10年還清.試求每月應(yīng)還貸約為多少元？（參考數(shù)據(jù)：（1+0.005）120≈1.8）

解析設(shè)每月應(yīng)還貸x元，共付款12×10=120（次），則有

x[1+（1+0.005）+（1+0.005）2+…+（1+0.005）119]=700000×（1+0.005）120，所以x≈7875.

所以每月應(yīng)還貸約為7875元.

上述是其他的知識點與數(shù)列知識進行綜合運用.命制出這樣的知識點交叉的數(shù)學(xué)試題，不僅考查我們的數(shù)列相關(guān)知識的掌握情況，同時也考查了與之綜合運用的其他數(shù)學(xué)知識，還能夠考查一些在解決問題過程中靈活運用的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的所謂“融會貫通”就是指將數(shù)學(xué)中不同的知識進行相互融合的能力，也是培養(yǎng)我們數(shù)學(xué)能力的一種重要手段.

作者簡介毛仕理，男，1963年生，四川省特級教師，主持并參與國家，省、市級6個課題研究，其中兩項教學(xué)成果獲省市政府獎，出版教學(xué)專著五部，在《數(shù)學(xué)通報》、《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》等三十多學(xué)術(shù)期刊發(fā)表論文.