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    以函數(shù)f(x)=lnxx為背景的高考題賞析

    2015-03-10 18:25:34張立建
    關(guān)鍵詞:增函數(shù)切點(diǎn)交點(diǎn)

    張立建

    1試題

    例1(2013年江蘇卷20)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax,其中a為實(shí)數(shù).

    (1)若f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),且g(x)在(1,+∞)上有最小值,求a的取值范圍;

    (2)若g(x)在(-1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),試求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.

    例2(2014年湖北卷22)π為圓周率,e=2.71828……為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

    (1)求函數(shù)f(x)=lnxx的單調(diào)區(qū)間;

    (2)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù);

    (3)將e3,3e,eπ,πe,3π,π3這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列,并證明你的結(jié)論.

    例3(2013年北京卷18)設(shè)l為曲線C:y=lnxx在點(diǎn)(1,0)處的切線.

    (Ⅰ)求l的方程;(Ⅱ)證明:除切點(diǎn)(1,0)之外,曲線C在直線l的下方.

    以上3道試題都是考查函數(shù)的性質(zhì)和圖象,或以此為背景綜合考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

    2函數(shù)f(x)=lnxx的性質(zhì)和圖象

    函數(shù)f(x)=lnxx在(0,e)上是增函數(shù),在(e,+∞)上是減函數(shù).f(x)max=f(e)=e-1,無(wú)最小值,有唯一零點(diǎn)x=1.

    圖1證明f(x)=lnxx定義域(0,+∞),則f′(x)=1-lnxx2,解f′(x)>0得0e,所以f(x)在(e,+∞)上是減函數(shù).又f(x)max=f(e)=e-1,f(1)=0,且當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),恒有f(x)=lnxx>0,由此可得函數(shù)f(x)的圖象如圖1所示.

    3問(wèn)題的解決

    例1分析函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題是高考熱點(diǎn)問(wèn)題,分離參數(shù)法是常用解法之一,將函數(shù)f(x)=lnx-ax的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)y=a與y=lnxx的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,考查函數(shù)y=lnxx的圖象,數(shù)形結(jié)合法求解,但做函數(shù)f(x)=lnxx的圖象時(shí)要特別注意函數(shù)在(e,+∞)上時(shí)有漸近線(x軸).

    解析(2)g′(x)=ex-a≥0在(-1,+∞)上恒成立,則a≤(ex)min,故a≤1e.函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是方程a=lnxx(x>0)的根,也是函數(shù)y=a與函數(shù)y=lnxx圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo),故本題也可轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)y=lnxx的圖象.令m(x)=lnxx,則由函數(shù)y=lnxx的圖象得當(dāng)a=1e或a≤0時(shí),函數(shù)m(x)與函數(shù)y=a的圖象有且只有1個(gè)交點(diǎn),所以f(x)有1個(gè)零點(diǎn);當(dāng)0

    例2分析利用函數(shù)f(x)=lnxx的單調(diào)性比較大小,可有如下結(jié)論:

    (1)當(dāng)0

    (2)當(dāng)elnbb,即ab>ba.

    (3)方程ab=ba(0

    解析(1)f(x)在(0,e)上是增函數(shù);f(x)在(e,+∞)上是減函數(shù).(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=ex,y=3x,y=πx在定義域上單調(diào)遞增,故e3

    (3)由(2)易得3e<πe<π3<3π,3e2-eπ.兩邊同乘e得,elnπ>e(2-eπ)>2.7×(2-2.723.1)>2.7×(2-0.88)=3.024>3,即elnπ>3,故lnπe>lne3,所以e3<πe.又由lnπ>2-eπ得3lnπ>3(2-eπ)>6-3eπ>6-e>π,即3lnπ>π,所以eπ<π3.綜上,3e

    例3分析第(1)問(wèn)考查函數(shù)f(x)=lnxx在某點(diǎn)處的切線;第(2)問(wèn)考查函數(shù)f(x)=lnxx與其它函數(shù)圖象的關(guān)系.

    解析(1)切線l的方程為y=x-1;(2)除切點(diǎn)1,0之外,曲線C在直線l的下方等價(jià)于lnxx0,x≠1恒成立.只需證x-1-lnxx>0,x>0,x≠1恒成立.令g(x)=x-1-lnxx,x>0,x≠1,只需證g(x)min>0.下求g(x)min.g′(x)=x2-1+lnxx2,又h(x)=x2-1+lnx在(0,+∞)上是增函數(shù),且h(1)=0,故g′(x)=x2-1+lnxx2=0有且只有一個(gè)根x=1.因此,x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增;x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0,函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.故g(x)min>g(1)=0.即除切點(diǎn)1,0之外,曲線C在直線l的下方.

    4相關(guān)應(yīng)用

    兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立來(lái)處理;反之,不等式恒成立問(wèn)題,有時(shí)我們可以從函數(shù)圖象入手,找到解題的切入點(diǎn).

    例4當(dāng)x∈(0,e]時(shí),證明:x2-12x>(1+x)lnx.

    證明因?yàn)閤∈(0,e],所以不等式可以變形為x-lnx-12>lnxx.令f(x)=x-lnx-12,g(x)=lnxx,又f′(x)=x-1x,故f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,e)上單調(diào)遞增,因此f(x)min=f(1)=12.又g(x)max=g(e)=1e,因此f(x)min>g(x)max,故當(dāng)x∈(0,e]時(shí),x2-12x>(1+x)lnx.

    點(diǎn)評(píng)(1)對(duì)于由對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)組合而成的函數(shù),一般是構(gòu)造函數(shù)y=lnxx進(jìn)行證明.(2)不等式f(x)>g(x)恒成立通常是利用構(gòu)造新函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)轉(zhuǎn)化為函數(shù)h(x)的最值,當(dāng)此法不易解決時(shí),我們一般考慮求出函數(shù)f(x)的最小值a和函數(shù)g(x)的最大值b,若a>b,則問(wèn)題得證.但需注意f(x)min>g(x)max是f(x)>g(x)恒成立的充分不必要條件,不具有一般性.

    (3)我們可借助函數(shù)圖象,找到證明思路,如圖2.

    圖2圖3例5已知f(x)=ex-2-lnxx,證明:f(x)>0.

    分析f′(x)=ex-2-1-lnxx2,f′(x)=0的解不易求得.如果作出函數(shù)y=ex-2和y=lnxx的圖象,則容易看出這兩個(gè)函數(shù)的圖象都與直線y=x-1相切(如圖3),從而可以轉(zhuǎn)化為證明不等式ex-2≥x-1及x-1≥lnxx.

    證明定義域(0,+∞),設(shè)g(x)=ex-2-x+1,則g′(x)=ex-2-1,所以在(2,+∞)上,g′(x)>0,g(x)單調(diào)增,在(0,2)上,g′(x)<0,g(x)單調(diào)減,故g(x)≥g(2)=0.即ex-2≥x-1(當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)).又由例3知x-1≥lnxx(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)),因此ex-2≥x-1≥lnxx(等號(hào)不能同時(shí)取到),所以ex-2>lnxx,即f(x)>0,得證.

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