試論數(shù)學好課的三種味道

胡晉賓　劉洪璐

1數(shù)學好課三種味道的提出

教師都要上課，也都希望把課上好.什么叫做數(shù)學好課？它有標準嗎？

提及標準，人們常會想起《全國中學青年數(shù)學教師課堂教學評價標準》.在其中，教學活動被劃分為教學目標、教學內(nèi)容、教學過程、教學資源、教學效果、專業(yè)素養(yǎng)等6個條目，并配有具體描述.文[1]列舉了評價數(shù)學課的相關(guān)性、聯(lián)系性、平衡性等12個重要方面.然而，最后評價時，還是人們（評委）根據(jù)標準的描述進行價值判斷和量化打分.具體的教學時，教師不可能如同西醫(yī)化驗一樣參照指標對號入座.雖然數(shù)學的內(nèi)容和知識是相對確定的、客觀的，但是數(shù)學教學卻是帶有很強主觀性的交互活動.因此，上述標準與其說是一個標準，不如說是一個參照.

如果說上述標準是一個微觀分析式的量化考察的話，那么我們不妨換個思路來進行宏觀概略式的質(zhì)性審視.

人們常說，讀經(jīng)味如稻粱，讀史味如肴饌，讀諸子百家味如醯醢（音希海，即醋和肉醬）.也就是說，讀書有三種味道：讀四書五經(jīng)之類味如吃米面，是食之本；讀史記味如喝美酒吃佳肴；讀諸子百家之類的書，味如醬醋（好比烹調(diào)中的佐料一樣）.類似的，我們認為，上出好課如同燒制一道好菜，數(shù)學好課是同行品評之際的一種良好感覺，是師生教學活動飄散開來的一種美妙味道.數(shù)學好課應該至少體現(xiàn)數(shù)學味、教學味或者文化味中的一種味道.

2數(shù)學好課三種味道的涵義

2.1數(shù)學好課的數(shù)學味

所謂數(shù)學味，就是數(shù)學好課應該體現(xiàn)數(shù)學學科的抽象化、形式化、模式化和公理化等特點，反對“去數(shù)學化”.許多學者對數(shù)學教學的“數(shù)學味”都很重視.1952年，陳建功提出支配數(shù)學教育的目標、材料和方法的有實用、心理和論理三大原則，并指出要將它們統(tǒng)一起來[2].也就是說，數(shù)學教學應該注意數(shù)學的實際價值、契合數(shù)學的教學心理，以及強調(diào)數(shù)學的邏輯推理.張奠宙等認為一般教學原則不能體現(xiàn)數(shù)學學科的實際，于是提出學習數(shù)學化、適度形式化、問題驅(qū)動、滲透數(shù)學思想等4條數(shù)學教學原則[3].我們不難看出，陳建功所提的論理原則和張奠宙的4條原則，都是對“數(shù)學味”的一種強調(diào).在數(shù)學課上，尤其是高年級的數(shù)學課上，數(shù)學味是數(shù)學課的關(guān)鍵.提倡教學要注意數(shù)學味，除了要力避差錯、硬傷以外，還要注意以下幾點.

第一，反對“去數(shù)學化”，要注意揭示數(shù)學本質(zhì)，防范非本質(zhì)屬性泛化.比如，一個關(guān)于集合學習的案例，就是“去數(shù)學化”的典型.在其中，教師教學時分別叫男生、女生、白人、黑人起立，指出這些人都可以構(gòu)成集合；然而學生并沒有真正理解集合的本質(zhì)（是一類具有確定性、互異性和無序性的元素的聚合），卻誤以為只有能站立的元素才能構(gòu)成集合.又如，在利用分豆子進行除法教學時，不能老是讓學生停留在分豆子階段，以為除法就是分東西，而應該適時抽去“腳手架”，讓學生在頭腦中進行抽象思考.

第二，反對“去數(shù)學化”，就要防范數(shù)學異化.比如，時下新課改中一些教師為了體現(xiàn)三維目標尤其是情感、態(tài)度與價值觀目標，在教學中增加趣味性、情境性過多的內(nèi)容，有些花里胡哨的做法沖淡了數(shù)學學習與教學的本質(zhì).又如，在利用信息技術(shù)輔助數(shù)學教學時，教師沒有進行很好的調(diào)控，從而學生將注意力偏移到技術(shù)的熱鬧、動畫的形象之中，沒有聚焦到數(shù)學思考和數(shù)學理解之中.再如，把數(shù)學教學窄化為習題講解和機械訓練，讓學生掙扎在無邊的題海之中，以致使學生形成錯誤的數(shù)學觀念，以為數(shù)學學習就是沒完沒了的解題.與之相反的是，數(shù)學教學應該時刻關(guān)注數(shù)學學科本質(zhì)，圍繞“數(shù)學味”做文章.例如，我們在借助“怎樣燒開水最省煤氣”開展數(shù)學建模教學時，考慮到不可能在諸如收集和處理數(shù)據(jù)等枝節(jié)問題上花費更多時間，而要在函數(shù)建模這一主旨下，把精力對準問題的提出、模型的篩選、結(jié)論的反思、過程的體悟和數(shù)學課堂文化的構(gòu)建上，讓學生經(jīng)歷從實際問題抽象到數(shù)學問題的數(shù)學化過程，體會到數(shù)學應用的廣泛性.經(jīng)過這樣教學設(shè)計的再創(chuàng)造，效果較好[4].

第三，反對“去數(shù)學化”，要注意適度“數(shù)學化”.“數(shù)學化”是學生的“數(shù)學化”，而不是數(shù)學家的“數(shù)學化”.課改中我們不能以數(shù)學家的高標準來要求普通學生，從而避免重蹈新數(shù)運動的覆轍.世紀之交發(fā)生在美國的“數(shù)學戰(zhàn)爭”[5]和中國的數(shù)學課程改革爭議，從某種意義上來說也是不同群體之間的“數(shù)學教育戰(zhàn)爭”.當下，人們非常擔心以大眾數(shù)學為口號的改革會喪失中國的好不容易形成的雙基教學優(yōu)勢，擔心對傳統(tǒng)的歐氏幾何內(nèi)容的削減和數(shù)學結(jié)構(gòu)的淡化會降低學生的修養(yǎng).實際上，數(shù)學化要適度，要循序漸進和與時俱進——如若學完實數(shù)就向?qū)崝?shù)理論進軍，學生肯定吃不消；但若在信息時代還將對數(shù)運算當做重點，無疑有些保守.可能將數(shù)學教學中的數(shù)學化，定位于“數(shù)學教育意義下的數(shù)學化”更好一些.而且，我們也不可能真正還原到數(shù)學發(fā)生發(fā)展時的數(shù)學化，只是一種加工過后的數(shù)學教育意義上的數(shù)學化.不僅如此，一千個人有一千個哈姆雷特，不同的人就有不同的數(shù)學化.

第四，不應該簡單地把“去數(shù)學化”和設(shè)置現(xiàn)實情境、自主探究、分組活動和使用多媒體劃上等號.教學手段與方法要立足實事求是，要追求合乎自然，不要華而失實，不要喧賓奪主.

2.2數(shù)學好課的教學味

所謂數(shù)學好課應該有教學味，就是數(shù)學好課應該體現(xiàn)教師的主導作用，倡導基于教學實際進行教學法加工，實現(xiàn)從學術(shù)形態(tài)到教學形態(tài)的轉(zhuǎn)化，展現(xiàn)出數(shù)學的從“冰冷的美麗”到“動人的鮮活”的生動過程.教師在教學時既要有所預設(shè)，也要基于課堂實際情境努力實現(xiàn)建構(gòu)創(chuàng)生.陳建功提出的心理原則，實際上也就是強調(diào)教學要切合學生的心理實際，要體現(xiàn)教學味.提倡數(shù)學課有教學味，要注意以下幾點.

第一，反對不顧教學實際照本宣科，反對把教科書當做圣典頂禮膜拜.古德萊德認為課程有5種形態(tài)，即理想的課程、正式的課程、領(lǐng)悟或理解的課程、運作的課程、經(jīng)驗的課程.那么，教師主要的任務是從理想的課程到經(jīng)驗的課程之間架起橋梁.“教材不是供傳授的經(jīng)典，不是供掌握的目的，不是供記憶的知識倉庫，而是供教學使用的材料.面對新課程標準，教師和學生不是‘材料員而是‘建筑師，他們是材料的主人，更是新材料和新教學智慧創(chuàng)生的主體”.[6]這就要求教師既要備課，也要備人；既要預設(shè)，更要生成.教師要對教材有整體的把握和駕馭，既要對教材進行深入細致的解構(gòu)，也要針對教學實際進行整合重組.（相關(guān)案例參見文[7]）

第二，反對教學墨守陳規(guī)，或者簡單照搬、拷貝他人教案，提倡根據(jù)實際情況進行改造和再創(chuàng)造，鼓勵反思超越和大膽原創(chuàng).比如，我們在對分類計數(shù)與分步計數(shù)原理的公開課教學時，考慮到教學班級是文科重點班，學生熱愛寫作，思維活躍，數(shù)學基本功比較扎實，也有小組合作學習的經(jīng)歷，因此我們嘗試著借鑒文學創(chuàng)作的一些手法進行教學設(shè)計.經(jīng)過這樣處理后，更好地調(diào)動了學生的智力參與，使得學生對數(shù)學學習產(chǎn)生親近感，從而產(chǎn)生良好的情感體驗，起到意想不到的效果[8].

第三，反對教師不顧課堂變化而過度忠實，不敢創(chuàng)生.教師要有所預設(shè)，更應注意生成.課堂教學是瞬息萬變的，計劃趕不上變化，過度忠實于教材或者教案只會凝固思維的交鋒，窒息創(chuàng)造的生成.數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的教學，這種思維活動的實現(xiàn)是通過學習共同體中的師生、生生對話得以實現(xiàn)的.我們在進行高三基本不等式一輪復習教學時，一方面，很多同學在回答的時候不很完善，教師通過對話和追問使得粗糙的解答完善起來；另一方面，上課前教師已經(jīng)在其他班級進行了2次預講，對所授內(nèi)容和學生的各種可能反應有所準備，形成了大致的教學預設(shè)，但是實際生成時還是有很大的差異，教師及時捕捉了課堂上的變化，并積極促成了交互生成，從而取得了較好效果[9].

2.3數(shù)學好課的文化（人文）味

所謂數(shù)學好課應該有文化（人文）味，就是教師要認識到數(shù)學蘊含的理性精神和文化價值，認識到數(shù)學教學是基于證明與反駁的一種社會建構(gòu)和文化再生.按照鄭毓信的觀點，數(shù)學應被看成一個由理論、方法、問題和符號語言等多種成分所組成的復合體，它是模式的科學，數(shù)學是形式與非形式、科學性和藝術(shù)性、知識成分與關(guān)聯(lián)成分的辯證統(tǒng)一，等等，現(xiàn)代數(shù)學是一個相對獨立的文化系統(tǒng)[10].數(shù)學教學的目標除了數(shù)學知識的獲取、數(shù)學能力的提高以外，還有數(shù)學思維的養(yǎng)成、數(shù)學文化的熏陶，它們共同構(gòu)成了學習主體的數(shù)學發(fā)展.提倡數(shù)學課有文化味，要注意以下幾點.

第一，在教學過程中，應該體現(xiàn)數(shù)學的人文性.要揭示出數(shù)學家在發(fā)明和發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識時的痛苦、迷茫、超越等喜怒哀樂的人文性，讓學生體會到數(shù)學不是絕對客觀的，數(shù)學知識的發(fā)展不是一蹴而就的，而是由歷代數(shù)學家不斷累積且永遠處于動態(tài)發(fā)展中的，反對“目中無人”，從而展現(xiàn)數(shù)學知識作為一種社會建構(gòu)的人文側(cè)面.比如，數(shù)系的不斷擴充和復數(shù)的艱難引入就具有相當?shù)娜宋慕逃齼r值.再如，在學習對數(shù)時，我們可以這樣引導學生進行探究[11]：人們通常會通過辨識“標準對數(shù)視力表”來檢測視力，既然叫做“對數(shù)視力表”，難道和對數(shù)有關(guān)系？如果和對數(shù)有關(guān)系，那么它的背后又有多少“數(shù)學內(nèi)核”？仔細觀察視力表就會發(fā)現(xiàn)，上面有14行每行不等個數(shù)的“E”形圖標等距離自上而下排列，旁邊標有兩列數(shù)據(jù)，其中五分記錄分別為規(guī)則的等差數(shù)列40，41，…，52，53，對應的小數(shù)記錄卻為不規(guī)則的數(shù)列01，012，015，02，025，03，04，05，06，08，10，12，15，20.為什么會有這樣的設(shè)計？我國專門頒布了視力表的國家標準，它的意義究竟何在？……實際上，研讀視力表的發(fā)展歷史可知，從“標準對數(shù)視力表”的發(fā)明，到國際上許多國家紛紛仿制對數(shù)視力表，再到1989年國家頒布相關(guān)標準，直至今天它在日常體檢、視力防治等方面發(fā)揮著的廣泛作用，其間經(jīng)歷了無數(shù)風霜雪雨.當年納皮爾等先賢為了簡化計算而發(fā)明了對數(shù)，現(xiàn)如今人們把它運用到了視力檢測和視力表研制上來.很難想象，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)學關(guān)系的慧眼和運用數(shù)學知識的匠心，“標準對數(shù)視力表”就不會被中國溫州醫(yī)學院繆天榮教授發(fā)明并走這么遠.

第二，在教學過程中，應該倡導一種積極的、平等的、建構(gòu)的、對話的數(shù)學課堂文化.數(shù)學教學是數(shù)學共同體的建構(gòu)、反思、證明、批判的互動過程，是經(jīng)驗和擬經(jīng)驗的統(tǒng)一.數(shù)學學習不僅是一個知識經(jīng)驗的累積過程，而且也是一個文化觀念的繼承過程.數(shù)學教學只有以人為本，師生才能在教學之中體驗到思維的樂趣和創(chuàng)新的幸福.

第三，在數(shù)學教學中，從數(shù)學文化的視角來進行立意.要在教學中讓學生認識到，數(shù)學本來就是人類的一種文化現(xiàn)象，沒有人就沒有數(shù)學.作為一種文化來體現(xiàn)出數(shù)學的價值，一方面數(shù)學可以運用于實際并解決實際問題，另一方面數(shù)學具有內(nèi)在思維價值.數(shù)學是一種文化，體現(xiàn)在模式、思想和理性精神等方面；西方現(xiàn)代文明從某種意義上來說，是一種源自古希臘的科學理性文明.正因為數(shù)學是一種文化，而文化的主體和境域是多元的，所以數(shù)學文化是多元的，數(shù)學教學應該體現(xiàn)對不同的數(shù)學傳統(tǒng)文化的尊重和理解.比如，具有以歐幾里得《原本》為代表的公理化演繹體系特色的西方數(shù)學，和具有以《九章算術(shù)》為代表的機械化算法體系特色的東方數(shù)學，以及不同族裔的民俗數(shù)學，和不同個體的數(shù)學現(xiàn)實，都應該平等對待，同等珍視.

3數(shù)學好課三種味道的關(guān)系

數(shù)學好課是一種追求，實際教學中也不可能堂堂精彩、句句華章.對于具體的一節(jié)數(shù)學好課來說，數(shù)學好課三種味道要是能夠體現(xiàn)至少一種就算不錯.數(shù)學味、教學味、文化味（人文味）之間的關(guān)系，可以用如下的示意圖來表示.

首先，數(shù)學好課必須具有數(shù)學味道，具有明顯差錯、硬傷，沒有數(shù)學味道的課，肯定不是數(shù)學好課.數(shù)學好課的“數(shù)學味”，實際上反映了教師的數(shù)學觀，體現(xiàn)了教師的數(shù)學修養(yǎng)（功底）.這是基本要求，對應于文[12]中的經(jīng)驗水平，指向教學的“是什么”樣態(tài)，是必須的、基本的.

其次，數(shù)學好課的“教學味”是指教師應該根據(jù)不同的教學情境、對象、內(nèi)容和時空進行教學法加工，促進數(shù)學教學的協(xié)商生成.這實際上反映了教師的教學觀，體現(xiàn)了教師的教學修養(yǎng)（功底）.這個味道對應于文[12]中的科學技術(shù)與藝術(shù)水平，達到教學的“為什么”樣態(tài).

再次，數(shù)學好課的“文化味”（人文味）是指教師應該揭示數(shù)學知識的人文特質(zhì)，構(gòu)建體現(xiàn)猜想與證明、批判與反思的課堂文化，并從數(shù)學文化的高度來進行教學立意.這實際上反映了教師的文化觀，體現(xiàn)了教師的文化修養(yǎng)（功底）.這個味道對應于文[12]中的文化水平，是一種側(cè)重關(guān)注師生主體體驗的樣態(tài).

總之，數(shù)學教學需要在數(shù)學味、教學味和文化味（人文味）之間尋求一種動態(tài)平衡.數(shù)學好課宛如具有數(shù)學修養(yǎng)、教學修養(yǎng)、文化修養(yǎng)的數(shù)學教師烹制出來的一道好菜，應該至少蘊含數(shù)學味、教學味或文化味（人文味）中的一種味道.

參考文獻

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作者介紹胡晉賓，男，1975年生，博士生，副編審，主要從事數(shù)學教育研究等.劉洪璐，女，1979年生，碩士，中教高級，主要從事高中數(shù)學教學及研究.