例談數(shù)學活動設計的價值取向

數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學.關于數(shù)學活動，至今還沒有一個準確的定義，我們認為：數(shù)學活動是指學生有目的地、積極主動地學習數(shù)學的活動.包括嘗試錯誤、收集和整理資料、觀察、操作和實驗等活動.但不包含單純教師講授和機械運算的學習活動.數(shù)學活動可分為三類：一是發(fā)現(xiàn)數(shù)學的活動，二是應用數(shù)學的活動，三是數(shù)學交流的活動.學生通過這樣的數(shù)學活動，獲得數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗，從中體味數(shù)學學習的樂趣，增強學習數(shù)學的興趣，加深對數(shù)學本質(zhì)的理解，進而提高思考力、判斷力和表達力.隨著數(shù)學新課程的深入實施，廣大的數(shù)學教師在課程理念方面已有一定的認識，比較重視改善學生的數(shù)學學習方式，重視數(shù)學交流、合作學習等數(shù)學活動的教學，并積累了較豐富的數(shù)學新課程實施經(jīng)驗.但是，當前數(shù)學活動教學在很大程度上仍然停留在“為活動而活動”的表層上，數(shù)學活動展開不夠充分，數(shù)學的本質(zhì)凸顯不夠，數(shù)學教學缺乏創(chuàng)造性和數(shù)學性，學生內(nèi)在的情感和思維沒有被真正激活，這極大地影響了主體的主動建構.究其原因，不少教師對數(shù)學活動教學的理解和把握不夠，缺乏對數(shù)學活動的形式及其作用的理性認識，不能準確地了解學生的真實思維活動，較多的只是憑自己的經(jīng)驗、直覺，甚至是主觀臆斷選擇教學方法，不知道數(shù)學教學應該在何處活動、何時活動、怎樣活動、活動應該達到什么目的，因而在實施數(shù)學活動教學時無所適從，不能科學地把握教學的進程與節(jié)奏.在設計有效的數(shù)學活動時，涉及到2個重要環(huán)節(jié)，即一個是恰當?shù)膯栴}情境和可供學生進行有效活動的序列問題.問題情境的創(chuàng)設應該力求把握3個要素：一是來源于學生熟悉的生活；二是情境簡明扼要；三是能自然引向數(shù)學的本質(zhì).教師在設計數(shù)學活動的過程中，要篩選那些可能會引發(fā)富有成效的研究活動的數(shù)學問題，這與提出的好問題同等重要.

下面例談數(shù)學活動設計的價值取向.

1明確目標，彰顯活動的主旨價值

學習活動是學生理解、掌握學科知識，形成和發(fā)展思維能力的重要平臺，是溝通現(xiàn)實生活與理論學習、具體問題與抽象概念之間的橋梁.但學習活動只是課堂教學的一種形式，實現(xiàn)學習目標才是內(nèi)容，形式必須為內(nèi)容服務，我們追求的是在形式與內(nèi)容的辯證統(tǒng)一中構建靈動、和諧、高效的課堂.因此，學習活動的設計必須為學習目標服務，目標的內(nèi)容要能體現(xiàn)學習的重點、難點，能反映課程標準和教材對教學的基本要求，目標的結果要指向?qū)W生的發(fā)展，凸顯活動的主旨價值.主旨明確是開展學習活動的先決條件，任何學習活動都必須基于學習目標而設計，圍繞學習目標而展開.有些活動表面上很熱鬧，但收到的效果不明顯，很大程度上是因為活動的目標不明確.

這樣的活動過程，至少具有以下優(yōu)點，有效復習向量的加法運算；強化剛剛學習的“向量減法”的“幾何作圖法”；更為重要的是，使學生經(jīng)歷計算、觀察、歸納、概括、證明的過程.

在課堂教學中，也有部分教師為了體現(xiàn)課程的“活動性”，一節(jié)課中安排了大量的活動，活動一個接一個，形式力求新穎，可是對活動的目的性、必要性以及內(nèi)在邏輯關聯(lián)等問題缺乏思考和研究.有不少活動是為了活動而活動，對達成教學目標沒有多大的意義，出現(xiàn)了活動表面化、形式化的傾向.比如，有的教師為了激發(fā)學生的學習興趣，常常采用游戲活動導入教學，有時一個游戲活動就要花十分鐘的時間，而其作用僅僅是導入教學，對實現(xiàn)這節(jié)課的教學目標并沒有多大的意義.這樣的活動，實際教學效率很低.

有的老師認為，只要在課堂教學中安排了活動就體現(xiàn)了課程的活動性，體現(xiàn)了活動教學.這是對課程性質(zhì)的曲解和誤讀.在實際教學中，應避免活動設計偏離教學目標、為了活動而活動、只有活動的形式而缺乏活動的教育價值的做法.在設計每個活動時，教師應該思考和明確設計這個活動的目的和意圖是什么，落腳點以及活動的價值在何處，活動是否能、或在多大程度上能有效揭示數(shù)學本質(zhì)、達成教學目標，活動與教學主題、教學目標的相關性如何，活動是否是必需的，活動是否能真正發(fā)揮教育價值，等等.

案例2“古典概型（數(shù)學3內(nèi)容）”的教學片斷.

一位教師在講古典概型時，首先通過問題情境，引導學生歸納得出什么是基本事件、什么是古典概型，進而給出古典概型概率計算公式，然后教師又通過兩道基礎練習和兩道例題，訓練學生計算古典概型的概率問題.整個教學過程環(huán)節(jié)安排非常緊湊，教師能夠讓學生多思、多做、多說，師生互動也非常默契.按理說這樣的課堂不會有什么問題，但由于教師對學生學習的難點（求解計數(shù)問題）不夠了解，對突破難點的本質(zhì)性方法（弄清“有序”和“無序”，“有序”問題要分類討論）沒有揭示，導致學生對計算“基本事件”個數(shù)問題沒有真正掌握，出現(xiàn)了在后續(xù)練習時，很多學生計數(shù)出錯的問題.針對學生存在的普遍性問題，教師意識到自己教學中的“缺陷”，重新對例題進行講解、回顧.

學生在學習古典概型（數(shù)學3內(nèi)容）時，還沒有學習“兩個基本計數(shù)原理”和“排列、組合”的內(nèi)容，因此求解復雜一點的計數(shù)問題是學生學習的難點，而解決這一難點問題的關鍵是要揭示求解計數(shù)問題的本質(zhì)方法——弄清“有序”和“無序”，對“有序”問題，要分類計數(shù).從本案例中看，教學內(nèi)容雖然很充實，學生也都“動”起來了，但是教師沒有引導學生揭示數(shù)學本質(zhì)，導致“計數(shù)”成為學生難以逾越的障礙.盡管教師后來通過學生的練習及時發(fā)現(xiàn)了教學中的問題，并采取了有效的補救措施，但課堂教學時間的隱性流失已經(jīng)不可避免，這樣的課堂顯然是低效的.

數(shù)學教學不僅要注重活動形式，更要注重活動內(nèi)容，活動要圍繞學習目標、揭示數(shù)學本質(zhì)而展開.只有形式上的熱熱鬧鬧，沒有內(nèi)容上的本質(zhì)揭示，其活動必然要偏離教學目標，導致大量的教學時間隱性流失，使得課堂教學華而不實，從而出現(xiàn)低效的課或無效的“廢”課.

2節(jié)約成本，注重活動的實用價值

學習活動形式是豐富多彩的，但教師需要針對不同的學習內(nèi)容和不同年齡階段的學生精心選擇.尤其要注意活動的可操作性，否則就失去了活動的意義.在有限的45分鐘之內(nèi)，要盡量減少不必要的環(huán)節(jié)，減少學生不必要的精力投入，節(jié)約成本，注重活動的實用價值.首先，要充分考慮活動操作的客觀性和現(xiàn)實的可能性.其次，要盡量降低活動的成本.活動效益應該用學生的學習效益來衡量，其具體指標為學生的有效學習量與精力投入之比.高效課堂的基本追求就在于促使學生用相對較少的精力投入去獲取相對較多的學習收獲，因此，節(jié)約精力投入量和增加學習收獲量，是高效課堂的主要旨歸.選擇活動方式最重要的原則是“不可替代性”和“成本最低化”.設計數(shù)學活動是為教學服務的，首先是有效，其次是經(jīng)濟，而不是比新奇，出花樣.

案例3“集合概念”的教學片斷.

有位老師講集合的概念時，恰到好處地運用“起立與坐下”展開教學，先是學生喊“起立”，一般地由教師喊“坐下”.可是，那位老師卻先后發(fā)出了“男同學請坐下”、“女同學請坐下”的指令.正當聽課者一愣的時候，老師又讓同學們起立，然后發(fā)出了“請高個子的同學坐下”、“請矮個子的同學坐下”的指令.這更是給聽課者以“又驚又喜”的感覺，從內(nèi)心里敬佩執(zhí)教者的匠心獨運：從平常每堂課都要完成的日常動作中一下子就抓住了本節(jié)課的重點，化抽象為形象，化難懂為易懂.讓人真切地感受到什么叫良好的開端是成功的一半.

案例4“正弦曲線的作圖”的教學片斷.

在教學“正弦曲線的作圖”時，現(xiàn)在較為流行的做法是用電腦顯示作圖過程，這盡管有省時、圖美等優(yōu)點，但缺陷是不利于學生作圖能力的提高，特別是用正弦線作圖的思路的發(fā)現(xiàn)過程也被掩蓋了.我的教學實踐是：要求學生作函數(shù)y=sinx（x∈[0，2π]）內(nèi)的圖像，學生紛紛用描點法作圖，并將學生的“作品”進行展覽.那些歪歪扭扭、奇形怪狀的“圖”引起學生的哄堂大笑.問題來了：為什么畫的不準？大家都感到32，22等無理點描不準；那么，我們是否學過某種方法使長為32，22的線段準確的表達出來呢？思維展開了.在一番緊張的探究之后，用“正弦線”的方法終于得到了.這樣，簡單、經(jīng)濟、實用.

3有效參與，發(fā)揮學生的主體價值

學生參與學習活動的行為可以分為有效參與和無效參與兩類，有效參與是指學生有明確的學習動機，參與的活動具有交際性，通過活動收到明顯的學習效果；無效參與是指在教學活動中，學生參與的動機不明確，參與方式機械被動，或有明顯的表演色彩，盡管參與人次多、課堂活躍，但學生的知識和能力無明顯發(fā)展，思維能力沒有提高.我們在進行學習活動設計時，要著眼于學習者的主體地位，讓學生對活動享有絕對的參與權、選擇權，以激發(fā)其學習動機和責任感，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，促進學生對知識意義的主動建構.同時，要依據(jù)學習目標和不同學段學生的思維特點，不僅要注意學生淺層次的感性參與，即通過簡單的思維和簡單的活動方式參與的課堂教學活動，如教師設疑學生答問，圍繞設問展開小組討論等.更要關注學生較高層次的理性參與，即學生在活動中獨立質(zhì)疑，歸納總結，運用已知解答或推論出新知，運用相關知識提出新設想，提出有理有據(jù)的質(zhì)疑或不同見解，等等，這樣的活動體現(xiàn)的是學生的主體地位，注重的是學生的思維過程和能力的開發(fā)，活動指向的是學生的持續(xù)發(fā)展和終身發(fā)展.

案例5“曲線的極坐標方程的意義”的教學片斷.

1.問題驅(qū)動，促進學生學會思考

問題1：建立直角坐標系可以描述點的位置，建立極坐標系怎樣描述點的位置呢？

問題2：建立直角坐標系，可以求曲線的方程，建立極坐標系是否可以求曲線方程？

問題3：求曲線的極坐標方程的步驟是什么？

問題4：曲線的直角坐標方程和極坐標方程互化的方法.

以這4個問題為主問題，每個問題又衍生出系列的子問題，這樣，在解決問題過程中，學生既學習了知識，又掌握了方法，同時促進了他們參與的主動性，學習到了相應的學習方法.

2.引導活動，促進學生學會探索

活動1：嘗試與探索：直角坐標M（x，y）與極坐標M（ρ，θ）之間的關系

活動2：思考與討論：以極點O為圓心，1為半徑的圓的點滿足的方程.反過來，這個圓上的點都滿足這個方程嗎？

活動3：嘗試給曲線的極坐標方程下個定義.

活動4：應用與練習

例1：求經(jīng)過點A（4，3）且與極軸垂直的直線l的極坐標方程.

練習1：已知一點P的極坐標為（1，π），求過點P且垂直于極軸的直線的極坐標方程.

例2：求圓心在A（r，0）且過極點的圓的極坐標方程.

練習2：求圓心在C（r，π2），半徑為r的圓的極坐標方程.

例3：（1）化直角坐標方程x2+y2-8y=0為極坐標方程.

（2）化極坐標方程ρ=6cos（θ-π3）為直角坐標方程.

練習3：將下列極坐標方程化為直角坐標方程

（1）ρcosθ=4，（2）ρ=5，（3）ρ=2rcosθ.

活動5：總結求曲線極坐標方程的基本思路.

這里5個活動，又引出系列活動，每個活動都促進學生進行思維，課堂教學現(xiàn)場表明，學生在每個活動中都表現(xiàn)了很高的熱情，他們不僅“想學”，而且，在活動過程中，逐步地感悟到“會學”.

3.引導反思，促進學生學會升華

（1）回顧一下，直角坐標系中點的位置如何確定？

（2）觀察一下，“單位圓上的點有什么特征？”

（3）嘗試一下，解決圓心在極軸的圓的極坐標方程.

（4）思考一下，求曲線的極坐標方程的步驟.

（5）猜想一下，下列方程表示的曲線是什么？

等等.

有些問題，學生開始解決時，無法下手，我就提醒學生注意條件和結論，注意和已解決的問題進行聯(lián)系，回憶過去解決問題的方法等；在解決問題過程中，學生解決很順利時，就提醒學生進行檢查、甄別，學生不順利，提醒學生怎樣往前進行；解決問題之后，提醒學生進行回顧總結.這樣，通過問題驅(qū)動、引導活動、引導反思等措施，促進學生積極參與學習活動.

4忙而有序，體現(xiàn)教師的主導價值

高效課堂是一種基于求知，引導學生主動學習、獨立思考、學用結合、總結反思的教學方案.在活動中，教師不再是“說教者”“支配者”，而是領導者、組織者、引領者、參與者、商談者，活動的開展體現(xiàn)了教師的主導價值.教師不僅僅是好的的方案的制定者和開發(fā)者，還是學習活動的組織者和引領者，不但要對學習活動的形式進行規(guī)劃和預設，監(jiān)控活動的有序開展，還要針對活動過程中出現(xiàn)的新情況、新問題，采用靈活機動的措施積極應對，確保學習活動健康、順利、有序地開展.首先，學生的結論和觀點需要教師不失時機地引導和點撥.其次，學習活動的結果和目標的達成需要教師恰當?shù)赜枰栽u價.

案例6“函數(shù)概念”的教學片斷.

南京師范大學附屬中學陶維林老師在教學“函數(shù)概念”一課時，先讓學生舉幾個函數(shù)的例子（因初中已學過“函數(shù)”），學生每舉出一個例子，他就追問舉例的學生：“你憑什么說自己舉的例子表示一個函數(shù)？其他學生也思考一下，他所舉的是函數(shù)的例子嗎？為什么？”然后根據(jù)學生所舉例子，引導他們明確分別用解析式、圖象、表格表示對應關系的函數(shù).由于學生所舉例子都是用解析式表示的，于是他接著問：“函數(shù)關系都是可以用解析式表示的嗎？”引導學生開闊思路，再舉一些用圖象、表格表示對應關系的函數(shù).陶老師自己也參與舉例，并讓學生來判斷他舉出的例子是否能夠表示一個函數(shù)，說明理由.

在這些問題的引導下，學生思維參與度高，不同數(shù)學思維層次的學生都能參與舉例，使自己保持一種持久、亢奮的學習狀態(tài)，無疑，教學取得了很好的效果.這樣的設問與追問所取得的成效，遠大于教師“精講多練”所取得的成效.

案例7“函數(shù)y=ax+bx（ab≠0）圖象（示意圖）的繪制”的教學片斷.

函數(shù)y=ax+bx（ab≠0）是高中階段一個非常重要的函數(shù)，熟練掌握其圖象有助于解決許多相關的問題.由于學生此前未曾見過此類函數(shù)圖象，教材上亦沒有現(xiàn)成的圖象，自然是“逼”著學生去嘗試自己畫圖.由于題中含有參數(shù)a、b，因此問題較為復雜.教師便引導學生嘗試從最簡單的情形：a=b=1開始，即畫出函數(shù)y=x+1x的圖象.

有學生嘗試將y=x和y=1x的圖象“疊加”，發(fā)現(xiàn)操作起來并非想象的那么方便.更多的學生利用描點法作圖.描點過少，圖形不準確；描點過多，費時費力.此時，教師進一步提示：能否從函數(shù)式分析其蘊含的性質(zhì)，借助性質(zhì)畫圖呢？學生們研究發(fā)現(xiàn)：函數(shù)定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，因此只需研究x∈（0，+∞）上的圖象既可.注意到x∈（0，+∞）時，x+1x>x，因此函數(shù)y=x+1x的圖象必在y=x圖象的上方.當x→+∞時x+1x→x，因此y=x是函數(shù)y=x+1x的一條漸近線，同理，y軸也是函數(shù)y=x+1x的漸近線.再利用x∈（0，+∞）時，x+1x≥2，知x=1時，（x+1x）min=2.借助上述性質(zhì)，學生畫出了函數(shù)的示意圖（圖2）.首戰(zhàn)告捷！接著，筆者引導學生研究函數(shù)y=x-1x的圖象繪制（圖3）.筆者進一步引導學生，推廣到函數(shù)y=ax+bx（ab≠0），從哪些方面研究性質(zhì)將有助于圖象繪制？學生們類比發(fā)現(xiàn)：①該函數(shù)為奇函數(shù)；②有兩條漸近線：y軸和直線y=ax；③ab>0時，由|ax+bx|=|ax|+|bx|≥2ab可以找到函數(shù)的極值點；ab<0時，由ax+bx=0得x=±-ba，知函數(shù)y=ax+bx（ab<0）與x軸有交點（±-ba，0），從而畫出圖象（ab>0時，類似圖2；ab<0時，類似圖3.圖略）.

圖2y=x+1x圖3y=x-1x案例中，教師通過適時地引導，為學生搭設思維跳板，幫助其開拓思路，突破難點，活躍思維，并在更高層次上繼續(xù)思考.教師追尋學生的思維軌跡，不斷地緊追不舍，不斷地由此及彼，由淺入深，思路就越探越清，問題就越探越明，知識就越探越多.看似簡單、平常的一引一問卻蘊含著智慧，孕育著深刻，學生通過自我探究和互動合作，不僅親身體驗到研究的艱辛和樂趣，享受到成功的喜悅，更重要的是，他們從中學到了開展科學研究的一般方法.

總之，以活動引領和串聯(lián)學習內(nèi)容的形式是新課程理念的體現(xiàn)，切合學生的認知規(guī)律.面對新教材中給教師留下的廣闊的再創(chuàng)造空間，如何設計、組織好活動，注重挖掘活動的內(nèi)涵，發(fā)揮活動應有的功效，有許多東西值得我們?nèi)ニ伎?我們只有不斷研究和探索，提高自身的理念和駕馭活動的能力，才能打造高效課堂，促進學生的發(fā)展.

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作者簡介趙緒昌，男，1963年生，主任，四川宣漢人，中學特級教師，四川省學術和技術帶頭人，蘇步青數(shù)學教育獎和國務院政府特殊津貼獲得者，主要從事中學數(shù)學教學研究和中小學教育科學研究.