從《解三角形》看教材與高考

張小琴

必修五第一章《解三角形》是在初中學(xué)習(xí)了直角三角形邊角關(guān)系和高中必修四學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究斜三角形中邊與角的關(guān)系——正弦定理、余弦定理.這章以這兩個(gè)定理為主體，進(jìn)行解三角形的訓(xùn)練.在對本章進(jìn)行教學(xué)與反思后，筆者發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)定理只是在研究三角形邊角關(guān)系的基礎(chǔ)上開出的鮮艷的“花朵”，而給這鮮艷花朵提供豐富營養(yǎng)的就是探究新問題時(shí)最常用的數(shù)學(xué)思想——化歸思想，即將一般轉(zhuǎn)化為特殊，將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，具體做法是做三角形的高，從而構(gòu)造有一條公共高的兩個(gè)直角三角形，而后在這兩個(gè)直角三角形中，得到邊與角的關(guān)系，再通過這條高銜接，從而得到原來的斜三角形中邊角關(guān)系，即得到正余弦定理.再順著這個(gè)思路縱深去考慮，為了得到一個(gè)斜三角形中邊與角的關(guān)系，這條公共邊不一定是高，還可以是其他的邊，如：中線、角平分線等.再由特殊到一般去考慮，這條公共邊也可以不是特殊的邊，而是任意的邊.因此，筆者將以上問題歸結(jié)為一類問題，即“有一條公共邊的兩個(gè)三角形”，而且總結(jié)出解決這類問題的通法.下面一一作解.

1“公共邊”為高的兩個(gè)直角三角形

1.1正余弦定理的推導(dǎo)

在一個(gè)直角三角形中觀察出邊與角A，B，C滿足asinA=bsinB=csinC之后，猜想該結(jié)論是否在斜三角形中成立（B版教材，以下提到的課本都是B版教材）.證明的方法是過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作高，將銳角三角形和鈍角三角形轉(zhuǎn)化為有一條公共邊的兩個(gè)直角三角形，再分別在兩個(gè)直角三角形中尋找邊與角的關(guān)系，并通過公共邊去銜接，即證得正弦定理.同樣，余弦定理的證明過程也是如此.體現(xiàn)出將一般的斜三角形轉(zhuǎn)化為特殊的直角三角形、將未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想.

1.2實(shí)際測量的運(yùn)用

在實(shí)際測量中常需要構(gòu)造有一條公共邊的兩個(gè)直角三角形，比如測量一個(gè)底部不能到達(dá)的建筑物的高度，如：在故宮護(hù)城河外測故宮一個(gè)角樓的高（B版1·2應(yīng)用舉例問題一），或者通過山頂?shù)难鼋菧y量山的高度，或者測量河堤的背水坡的傾斜角的大小（B版習(xí)題1-2A的第2、第3題）.在這些問題中涉及到被測量物的高度，所以需要構(gòu)造直角三角形，而構(gòu)造一個(gè)直角三角形往往條件不夠，所以需要構(gòu)造以高為公共邊的兩個(gè)三角形.

1.3高考題中的頻現(xiàn)

基于理論的推導(dǎo)和現(xiàn)實(shí)中實(shí)際測量的需要，“公共邊為高的兩個(gè)直角三角形”也是近年高考中解三角形的高頻考點(diǎn).如2014年四川理科卷的13題，也就是以B版教材P15練習(xí)A：2為原型出的一道題：

圖1如圖1，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B、C的俯角分別為67°、30°，此時(shí)氣球的高度是46m，則河流的寬度BC約等于m.（用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73）

顯然，可以在直角三角形ADB中利用直角三角形中邊角的關(guān)系求出AB的值，同理，再在三角形ACD中求出AC的值，然后在△ABC中利用余弦定理求BC.或者以AB為公共邊，找到∠ABD與∠ABC互補(bǔ)的關(guān)系，根據(jù)內(nèi)錯角互補(bǔ)求∠ABD的正弦值，進(jìn)而求出∠ABC的正弦值，再在△ABC中應(yīng)用正弦定理求解.

圖2再如：2014年課標(biāo)Ⅰ高考文科卷的一道題：如圖2，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點(diǎn).從A點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角∠MAN=60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；從C點(diǎn)測得∠MCA=60°.已知山高BC=100m，則山高M(jìn)N=m.

解本題時(shí)，先在Rt△AMN中利用邊角關(guān)系表達(dá)出邊AM，同理在Rt△ABC中求出邊AC，再在△AMC中利用正弦定理就求出邊AM的值.

以上兩道考題都屬考試中的基礎(chǔ)題，都是將直角三角形的邊角關(guān)系與正余弦定理初步結(jié)合起來，進(jìn)行簡單的應(yīng)用.

顯然通過作高將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，并通過高為銜接，進(jìn)而解斜三角形中的邊與角的關(guān)系，這是課本中體現(xiàn)的解決問題的方法，也是高考中要考查的對基礎(chǔ)知識的運(yùn)用能力.因此，需要引起師生們的關(guān)注.

再縱深去考慮的話，不僅可以用高去銜接兩個(gè)三角形，也可以通過中線和角平分線這樣的特殊邊去銜接兩個(gè)三角形，去解三角形.

2“公共邊”為中線和角平分線的兩個(gè)斜三角形

2.1教材中的體現(xiàn)

課本在得出正弦定理，并進(jìn)行簡單的邊角運(yùn)算之后就給出一個(gè)以角平分線為公共邊的解三角形的問題.

課本P5例2：如圖3，在△ABC中，∠A的角平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，求證：BDDC=ABAC.

證明令∠BAD=∠CAD=β，令∠BDA=α，則∠CDA=180°-α.在△ABD和△CAD中，由正弦定理得BDsinβ=ABsinα①，DCsinβ=ACsin（180°-α）=ACsinα②，

由①BDAB=sinβsinα，由②DCAC=sinβsinα，等量代換得BDAB=DCAC，再變形得BDDC=ABAC.

顯然在本題中，公共邊AD與邊BC構(gòu)成的兩個(gè)角互補(bǔ)是銜接兩個(gè)三角形△ABD與△ACD的關(guān)鍵.因?yàn)榇藭r(shí)互補(bǔ)的兩個(gè)角∠ADB與∠ADC的正弦值恰好相等.再分別在兩個(gè)三角形△ABD與△ACD中用兩次正弦定理，成功地將兩個(gè)三角形的邊銜接起來.

圖3圖4下面再看以中線為“公共邊”的題型：課本P10習(xí)題1-1B：4.如圖4，已知△ABC中，AB=43，AC=23，AD為BC邊上的中線，且∠BAD=30°，求BC的長.

解△BDA中，BDsin30°=ABsin∠BDA，

△ACD中，DCsin∠DAC=ACsin∠ADC，

又因?yàn)锽D=DC，sin∠BDA=sin∠ADC，

所以AB·sin30°=AC·sin∠DAC.所以43×12=23·sin∠DAC，所以sin∠DAC=1，所以∠DAC=90°.△ABC中，∠BAC=120°，AB=43，AC=23，由余弦定理得BC=221.

本題的解法與上一題的解法類似，只需要注意CD=BD這個(gè)銜接條件.以上兩題都是課本上的例題或習(xí)題，解法如出一轍，都是通過公共邊去銜接兩個(gè)三角形.顯然這樣的題型學(xué)生不能很快駕輕就熟，需要進(jìn)一步的訓(xùn)練，因此，教材給出了課本P20自測與評估第5題：已知AD是△ABC的角平分線，且AC=2，AB=3，∠A=60°，求AD的長；以及課本P20自測與評估第2題：在△ABC中b=4，c=3，BC邊上的中線m=272，求∠A，a以及面積S；以及課本P20自測與評估第4題：在△ABC中，D是BC中點(diǎn)，已知∠BAD+∠C=90°，試判斷△ABC的形狀.以上三道題，都圍繞公共邊展開，但解法各異，這里不再贅述.

圖52.2高考中的考查

（2013年浙江高考理科16題）如圖5，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點(diǎn).若sin∠BAM=13，則sin∠BAC=.

解設(shè)BC=2a，AC=b，則Rt△AMC中AM=a2+b2，Rt△ABC中AB=4a2+b2，

sin∠ABM=sin∠ABC=ACAB=b4a2+b2，

法一在△ABM中，由正弦定理BMsin∠BAM=AMsin∠ABM，即a13=a2+b2b4a2+b2，解得2a2=b2，于是sin∠BAC=BCAB=2a4a2+b2=63.

法二△ABM中，由正弦定理BMsin∠BAM=ABsin∠AMB，又因?yàn)椤螦MB=180°-∠AMC，所以sin∠AMB=sin∠AMC.所以BMsin∠BAM=ABsin∠AMC，而sin∠AMC=bAM=ba2+b2，所以a13=4a2+b2ba2+b2.解得2a2=b2，于是sin∠BAC=BCAB=2a4a2+b2=63.

對比以上兩種解法，顯然解法一根據(jù)高為公共邊銜接兩個(gè)三角形，而解法二根據(jù)中線為公共邊銜接兩個(gè)三角形.由該題的解法可以看到“有一條公共邊的兩個(gè)三角形”的問題即一分為二，又合二為一.而且不管是解法一還是解法二，都不僅要用到直角三角形中的邊角關(guān)系，還要用到斜三角形中的邊角關(guān)系.因此這道題是一道別具匠心的好題.

顯然以上我們都在圍繞“特殊”展開，公共邊為高，中線，角平分線.那么我們下面再由特殊推廣到一般，看看“公共邊”并不是“特殊邊”的情況.

3“公共邊”并不是特殊邊的兩個(gè)斜三角形

3.1教材中的體現(xiàn)

在實(shí)際測量中根據(jù)實(shí)際條件，公共邊并不一定是特殊的邊，如課本在12應(yīng)用舉例問題2中，測量地面上兩個(gè)不能到達(dá)的地方之間的距離——兩海島之間的距離.銜接兩個(gè)斜三角形的公共邊就是任意的一條邊.這在高考試題中也有體現(xiàn)，圖6如2009年寧夏海南理科試卷17題：為了測量兩山頂M、N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測量，A、B、M、N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)（如示意圖6），飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B間的距離，請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；②用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟.

本題的模型完全來源于課本例題模型，仍是一道應(yīng)用題，因?yàn)榻馊切巫罱K的歸宿就是實(shí)際應(yīng)用.該題對學(xué)生的要求較高，需要學(xué)生自主設(shè)計(jì)測量的方案，這也是對學(xué)生實(shí)際應(yīng)用能力的考查，因此，看似簡單學(xué)生不一定能駕馭.

3.2高考中的考查

（2010年陜西文數(shù)17題）如圖7，在△ABC中，已知∠B=45°，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的長.

圖7解在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC=AD2+DC2-AC22AD·DC=100+36-1962×10×6=-12，所以∠ADC=120°，∠ADB=60°.在△ABD中，AD=10，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得ABsin∠ADB=ADsinB，AB=AD·sin∠ADBsinB=10sin60°sin45°=10×3222=56.

該題的解法與以中線、角平分線為公共邊的各題的解法類似，仍是以∠ADB與∠ADC互補(bǔ)，去銜接兩個(gè)三角形.該類考題頻繁出現(xiàn)，下面一一陳述

如：（2011年福建理14）如圖8，△ABC中，AB=AC=2，BC=23，點(diǎn)D在BC邊上，∠ADC=45°，則AD的長度等于；

（2011年天津理6）如圖9，在△ABC中，D是邊AC上的點(diǎn)，且AB=CD，2AB=3BD，BC=2BD，則sinC的值為；

圖8圖9圖10（2010年全國卷2理數(shù)17）△ABC中，D為邊BC上的一點(diǎn)，BD=33，sinB=513，cos∠ADC=35，求AD.

（2014年北京理數(shù)16）如圖10，在△ABC中，∠B=π3，AB=8，點(diǎn)D在邊BC上，且CD=2，cos∠ADC=17.（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的長.

為什么高考圍繞該知識點(diǎn)頻繁出題？數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活，它最終的落腳點(diǎn)還是實(shí)際應(yīng)用，下面請看以“有一條公共邊的兩個(gè)三角形”為載體的一道實(shí)際應(yīng)用題：

某觀測點(diǎn)C在目標(biāo)A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C處測得與C相距31km的某人在B點(diǎn)處正沿此公路向A走去，走20km到達(dá)D，此時(shí)測得CD=21km，求此人在D處距A還有多少千米.

解如圖11，在△BDC中，CD=21，BD=20，BC=31，由余弦定理得，cos∠BDC=-17，在△ADC中，cos∠ADC=cos（π-∠BDC）=17，sin∠ACD=sin（∠CAD+∠ADC）=sin（60°+∠ADC）=5314，由正弦定理：ADsin∠ACD=CDsin∠CAD，得AD=15.

顯然，以上問題，都是一些特殊情況，讓我們把眼界放的更寬一些，我們可以看到更一般的實(shí)際應(yīng)用：

圖11圖12如圖12，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A為（3-1）nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°方向，距A為2nmile的C處的緝私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船，此時(shí)走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向行駛才能最快追上走私船？并求出所需要的時(shí)間.

圖13解如圖13，連接CB，CD.設(shè)緝私船在D處追趕上走私船，所用時(shí)間為t小時(shí)，則有CD=103t，BD=10t，在△ABC中，AB=3-1，AC=2，∠BAC=120°.由余弦定理得：BC=6.又由正弦定理得∠ABC=45°.所以BC為東西方向，所以∠CBD=90°+30°=120°.在△BCD中，由正弦定理，可得sin∠BCD=BD·sin∠CBDCD=10t·sin120°103t=12.

所以∠BCD=30°=∠BDC，所以BD=BC=6.所以10t=6，所以t=610≈0.245（小時(shí)）=147（分鐘）.

所以緝私船沿北偏東60°方向，約需147分鐘才能追上走私船.

這是常見的追擊問題，仍然是BC邊銜接了兩個(gè)三角形△ABC和△BCD，較上一例題問題更加一般化.

以上這些就是筆者在對《解三角形》（B版）進(jìn)行教學(xué)與反思，同時(shí)結(jié)合高考考點(diǎn)與實(shí)際應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.我們可以看到，高考要考查的考點(diǎn)與課本所要傳達(dá)的知識點(diǎn)是一脈相承的，課本上著重要傳達(dá)的思想、解決問題的方法及對應(yīng)的知識點(diǎn)就是高考中的考點(diǎn)，而不論是課本的知識點(diǎn)還是高考的考點(diǎn)，這些內(nèi)容正是實(shí)際生活中解決問題所需要的知識點(diǎn).

因此教師在教學(xué)中不但要做到高屋建瓴，更要做到回歸基礎(chǔ)、返璞歸真.從教材中最基本的解決問題的方法入手，研究本章的主旨，并總結(jié)出通性通法，從而對本章的內(nèi)容提綱挈領(lǐng)，把握要點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)的效率.