數(shù)學(xué)“四基”教學(xué)之一：基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)實(shí)踐

沈金興+張穎

1背景

東北師范大學(xué)史寧中教授提出了在我國(guó)中學(xué)要進(jìn)行“四基”教學(xué)，即在原來的“雙基”：基本知識(shí)與基本技能基礎(chǔ)上，又增加了兩個(gè)：基本數(shù)學(xué)思想與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).筆者完全贊同，尤其是對(duì)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)這一提法，覺得非常好.因?yàn)樵S多中學(xué)教師對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想是比較重視的，但往往忽略學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).史教授在文[1]中說的很清楚：“講基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)主要是兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)，一個(gè)是孩子們思維的經(jīng)驗(yàn)，就是會(huì)思考問題；還有一個(gè)就是孩子們的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn).通過數(shù)學(xué)的實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，這是很重要的，任何一門學(xué)科都應(yīng)該把培養(yǎng)學(xué)生的直覺（或者叫做直觀）作為一個(gè)根本的教育任務(wù).數(shù)學(xué)要培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀，數(shù)學(xué)的結(jié)論是看出來的，不是證出來的.因此培養(yǎng)數(shù)學(xué)直觀是很重要的，而直觀的培養(yǎng)是學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的積累，而不是老師說教的結(jié)果.所以要幫助學(xué)生培養(yǎng)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).”

下面筆者以立體幾何的教學(xué)為例，通過應(yīng)用直觀性原則，幫助學(xué)生積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2新課標(biāo)對(duì)立體幾何的要求

立體幾何是一門高中階段重要的基礎(chǔ)課，是文、理科的必修課.以人教版為例，該內(nèi)容放在《必修2》內(nèi).立體幾何的學(xué)習(xí)是建立在代數(shù)（主要是《必修1》的函數(shù)）與初中平面幾何的基礎(chǔ)上，但又有很大差別，其想象力和邏輯性遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過平面幾何.由于新課程采用“直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證、度量計(jì)算”的理念來認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及性質(zhì)，因此在編排順序上與老教材正好相反，而在內(nèi)容上也大量刪減了許多嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明和書寫要求，這樣就導(dǎo)致學(xué)生對(duì)立體幾何的認(rèn)識(shí)價(jià)值領(lǐng)悟不到，更看不到它的理論背景，使高中生對(duì)它望而卻步，不易入門，學(xué)起來很頭痛.其實(shí)，新課標(biāo)的理念并沒有錯(cuò)，它更符合人們認(rèn)識(shí)空間物體的過程，這就要求教師改變以往教立體幾何的方法，要更突出立體幾何的直觀性，在直觀的“形”上進(jìn)行“思辨論證”和“度量計(jì)算”，適當(dāng)?shù)瘒?yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.

著名數(shù)學(xué)家M.克萊因曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)這門學(xué)科是在直觀的和經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上起始的.嚴(yán)密性在希臘時(shí)代就變成了一個(gè)目標(biāo)……但是，過分追求嚴(yán)密性，將引入絕境而失去它的真正意義.數(shù)學(xué)仍然是活躍而富有生命力的，但是它只能建立在實(shí)用的基礎(chǔ)上.”由于高中生的腦中已習(xí)慣了初中的平面幾何圖形，對(duì)三維空間的立體圖形不適應(yīng)，沒有空間想象力.所以怎樣積累學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐漸培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力，提高學(xué)習(xí)效率，是教師在上立體幾何課時(shí)所面臨的任務(wù)和必須解決的問題之一.

3基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用原則與特點(diǎn)

3.1立體幾何教學(xué)中的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需應(yīng)用直觀性原則

因立體幾何對(duì)空間想象力要求較高，讓學(xué)生積累這方面的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，必須應(yīng)用直觀性原則.所謂直觀性原則，就是指在實(shí)際教學(xué)過程中，教師在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，或經(jīng)過語言生動(dòng)形象地描述，或讓學(xué)生直接觀察事物，從而使學(xué)生對(duì)所學(xué)事物有一個(gè)全局的清晰表象，進(jìn)而為學(xué)生對(duì)書本知識(shí)的正確理解奠定基礎(chǔ)，同時(shí)還發(fā)展了其認(rèn)知能力.在教育史上，捷克教育家夸美紐斯是第一個(gè)明確提出直觀性原則的人，他認(rèn)為“知識(shí)的開端永遠(yuǎn)必須來自感官”，“在可能的范圍內(nèi)，一切事物都應(yīng)該盡量地放在感覺跟前”.如果沒有具體實(shí)物，就要用圖象或相關(guān)模型等直觀教具替代，他覺得這是一位教師在教學(xué)中必須遵循的“金科玉律”.所以直觀性原則就是根據(jù)學(xué)生認(rèn)知活動(dòng)的特點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)過程中的認(rèn)識(shí)規(guī)律提出來的.而根據(jù)直觀性原則，讓學(xué)生積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，有助于提高學(xué)生對(duì)立體幾何的學(xué)習(xí)興趣和積極性，也有利于學(xué)生正確理解書本知識(shí)，從而發(fā)展其空間想象力.由此可見，在立體幾何中培養(yǎng)學(xué)生基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的重要性.當(dāng)然，在具體授課過程中，要根據(jù)所講的立體知識(shí)，選擇不同的活動(dòng)形式，盡可能地引導(dǎo)學(xué)生，讓他們有多種感官的參與，這樣就可以把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單直觀化、形象化后傳授給學(xué)生.這是一個(gè)復(fù)雜的過程，需要教師花費(fèi)大量的心血.

3.2立體幾何教學(xué)過程中基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的特點(diǎn)

作為一門重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的立體幾何，必然有其自身的學(xué)科特點(diǎn).立體幾何課程要求有很強(qiáng)的空間想象力，且介紹的理論框架不是很系統(tǒng)，學(xué)生學(xué)了感覺又無多大的實(shí)際用處，普遍存在厭學(xué)情緒.而現(xiàn)行的教材一般采用“感知、抽象、定義、定理、例題”五步方式進(jìn)行講授，而學(xué)生的任務(wù)就是掌握內(nèi)容，理解抽象概括出來的定理，學(xué)會(huì)計(jì)算.教材上安排的少量例題，也是以邏輯推理為主，要么文字不多但數(shù)學(xué)符號(hào)一大堆，要么文字很多但又太啰嗦.使學(xué)生往往難以理解概念、定理本身所蘊(yùn)含的客觀事實(shí)和數(shù)學(xué)思想，而面對(duì)立體圖形，有些學(xué)生無論他怎么看都象平面圖形，正是這些困惑使學(xué)生感覺立體幾何很抽象又很枯燥難懂.所以學(xué)生迫切需要抽象的空間問題能夠有簡(jiǎn)單直觀的解釋和理解，以增加學(xué)習(xí)立體幾何的信心.在立體幾何教學(xué)中，面對(duì)抽象的、空間化的幾何圖形，如何引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地進(jìn)行思維活動(dòng)就成了教師面對(duì)的現(xiàn)實(shí)問題.眾所周知，數(shù)學(xué)的抽象來自于某些直觀和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為背景，立體幾何的理論與概念也不例外.從多年的立體幾何教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，要想使學(xué)生盡快地進(jìn)入角色，應(yīng)該把立體幾何教學(xué)中的枯燥抽象概念和定理，以活動(dòng)的形式比較直觀地講授給學(xué)生.當(dāng)然，這個(gè)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)要體現(xiàn)出生活化、直觀化，易動(dòng)手操作的特點(diǎn)來設(shè)計(jì)，并沿著立體幾何教學(xué)中相關(guān)概念的產(chǎn)生過程和生活背景來直觀講解.

4立體幾何教學(xué)中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形式

立體幾何是需要空間想象力的，但在學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)中還不具備這樣的想象力，尤其是一些女生，面對(duì)立體幾何更是頭痛.正因?yàn)榱Ⅲw幾何很抽象，而抽象是需要模式的，所以在授課時(shí)，要會(huì)運(yùn)用不同的活動(dòng)形式，如實(shí)物模型、動(dòng)手演示與生活原型等.

4.1實(shí)物模型的活動(dòng)形式

當(dāng)教師所講授的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)生一時(shí)之間不能想象或難以理解時(shí)，經(jīng)常要用具體的實(shí)物模型展示給學(xué)生看，這樣就降低了抽象難度，也可加深學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解，尤其在立體幾何教學(xué)中，更是需要借助實(shí)物模型.因?yàn)榱Ⅲw幾何是以培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力為主要任務(wù)，而學(xué)生由于習(xí)慣了二維的平面圖形，故對(duì)于三維的立體圖形，想象不出來或較難理解，這時(shí)教師就要準(zhǔn)備許多立體的實(shí)物模型來幫助理解，以提高學(xué)生對(duì)立體圖象的思維活動(dòng).

圖1如人教版《必修2》一開始就介紹多面體與旋轉(zhuǎn)體，這時(shí)教師要多拿一些實(shí)物模型進(jìn)教室.尤其是講棱柱概念時(shí)，更要輔以實(shí)物.因?yàn)閷W(xué)生總認(rèn)為棱柱就是“有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體”，其實(shí)是錯(cuò)誤的，但它的反例是很難想到的，這時(shí)就要用實(shí)物模型（如圖1）展示給學(xué)生看.這樣學(xué)生就會(huì)加深教材上所說的概念：“有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形公共邊都互相平行”.

在做立體幾何題時(shí)，特別是用一個(gè)平面去截幾何體時(shí)，學(xué)生常常也想象不出來，這時(shí)就需要教師做好實(shí)物給學(xué)生以直觀.除教師自己動(dòng)手做實(shí)物外，還需要學(xué)生自己動(dòng)手做.所以筆者在教立體幾何時(shí)，都要求每個(gè)學(xué)生回家用鉛絲去做一個(gè)正方體或長(zhǎng)方體模型，這樣在后面講空間點(diǎn)、線、面關(guān)系時(shí)，可讓學(xué)生自己不斷觀察模型，久而久之，空間想象力就增強(qiáng)了.

4.2動(dòng)手演示的活動(dòng)形式

除了立體模型外，有時(shí)也需要教師當(dāng)場(chǎng)演示，操作給學(xué)生看，方能讓學(xué)生修正錯(cuò)誤，正確認(rèn)識(shí).比如，直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，那么斜棱柱的側(cè)面展開圖是什么？學(xué)生一般會(huì)猜想其側(cè)面展開圖為平行四邊形，可事實(shí)究竟是什么呢？學(xué)生往往想象不出來，這時(shí)就要用實(shí)物模型演示給學(xué)生看.教師將一個(gè)斜棱柱模型側(cè)面展開，就會(huì)發(fā)現(xiàn)雖然斜棱柱的每一個(gè)側(cè)面均為平行四邊形，但展開圖中若干個(gè)小平行四邊形并未組成一個(gè)大的平行四邊形用實(shí)物模型來動(dòng)手演示，可讓學(xué)生覺得既直觀又具體，問題的結(jié)論也就一目了然.既降低了空間想象的難度，又可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)也大大積累了學(xué)生的實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

4.3生活原型的活動(dòng)形式

數(shù)學(xué)來自生活，然后又進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，最后按照數(shù)學(xué)內(nèi)部的規(guī)律及內(nèi)在邏輯聯(lián)系，由問題驅(qū)動(dòng)產(chǎn)生一系列數(shù)學(xué)知識(shí)體系，故而學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也要遵循數(shù)學(xué)發(fā)展這一準(zhǔn)則.而當(dāng)學(xué)生積累了一定的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)后，這些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)又可為進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供原型，特別是抽象性強(qiáng)的一些數(shù)學(xué)法則、規(guī)定和性質(zhì)等，需要尋找學(xué)生熟知的，特別是自己身邊的生活原型來幫助理解.

其實(shí)說到生活原型，在前面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一直在用.比如通過“向南向北”、“存錢欠債”、“溫度零上零下”等來形成“相反意義的量”，繼而來進(jìn)一步理解“正負(fù)數(shù)”和“正負(fù)數(shù)加減法則”；再如向量，就可用學(xué)生手中的“筆”作原型，筆尖表示方向，筆的長(zhǎng)度表示模長(zhǎng)，從而更易理解向量是可以“平移”這個(gè)基本性質(zhì)等等.而作為立體幾何，學(xué)生身邊的生活原型還是有很多的.如學(xué)生的手指及筆，可作為“直線”的原型，桌面、紙可作為“平面”的原型，當(dāng)然還需要學(xué)生想象成無限延伸；再如翻開的書本可看成“二面角”，教室里的墻角是“三個(gè)面兩兩垂直”的原型，當(dāng)然也可把學(xué)生所在的教室當(dāng)作一個(gè)長(zhǎng)方體的模型，里面的點(diǎn)、線、面關(guān)系都可找到.這些學(xué)生自己身邊的物體作為數(shù)學(xué)的生活原型，培養(yǎng)了他們的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生更容易理解了，也就不會(huì)覺得立體幾何太抽象了.

5結(jié)束語

當(dāng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)有了一個(gè)直觀感知后，才能真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)，才能對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論有一個(gè)整體認(rèn)識(shí).筆者在立體幾何教學(xué)中應(yīng)用直觀性原則，總結(jié)出了三種不同的活動(dòng)形式，它包括了學(xué)生的思維活動(dòng)和實(shí)踐活動(dòng)，從而使學(xué)生積累了豐富的立體幾何各種基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，很好地建立起了需要空間想象的一些抽象概念與已有的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生學(xué)下來感覺不是很吃力，應(yīng)該說效果不錯(cuò).當(dāng)然，除這些活動(dòng)形式外，應(yīng)該還有其他的，比如多運(yùn)用多媒體課件，讓教師的演示過程用幾何畫板或Flash來展現(xiàn)，從而間接增加學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)也未嘗不可.

史教授提出的“四基”教學(xué)還是一個(gè)全新的觀點(diǎn)，而培養(yǎng)學(xué)生的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而提高學(xué)生的直覺思維，也是刻不容緩的.筆者在立體幾何教學(xué)中，應(yīng)用直觀性的原則來積累學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的實(shí)踐，也只是拋磚引玉，希望有更多的一線教師投入到“四基”教學(xué)的實(shí)踐中.

參考文獻(xiàn)

[1]史寧中.數(shù)學(xué)教育的未來發(fā)展[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2014（1）：1～3.