理解教材用好教材

祝要輝

數(shù)學(xué)的邏輯嚴謹性主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)性上，后繼概念大多是在前概念基礎(chǔ)上的邏輯建構(gòu).因此，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中教師要把教材提供的知識內(nèi)容進行有效激活，并結(jié)合學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展水平，立足于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，立足于構(gòu)建“前后一致邏輯連貫性”的學(xué)習(xí)過程，創(chuàng)設(shè)出恰當?shù)臄?shù)學(xué)課堂探究情境和數(shù)學(xué)思維探究過程，使數(shù)學(xué)課堂探究活動適合學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律.下面結(jié)合筆者的教學(xué)實踐，談?wù)劷滩脑诰幣拧皟山遣畹挠嘞夜健睍r的課前鋪墊與課后拓展，不妥之處懇請指正.

1鋪墊

教學(xué)片斷1（文[1]第104頁）：我們證明運算律（3）a+b·c=a·c+b·c.

圖1證明如圖1，任取一點O，作OA=a，AB=b，OC=c，因為a+b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影的和，即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2，所以|c|·|a+b|cosθ=|c|·|a|cosθ1+|c|·|b|cosθ2，所以c·a+b=c·a+c·b，所以a+b·c=a·c+b·c.

鋪墊1在兩角差的余弦公式的探究過程中，構(gòu)造圖形2有一定難度，從表面看與數(shù)量積似乎沒有多大聯(lián)系，其實不然，對比圖2與圖1可以發(fā)現(xiàn)，圖形2構(gòu)造過程中線段OM就是線段OA與AP分別在OM上的投影之和，它的主要依據(jù)就是向量數(shù)量積的幾何意義，從中可以看出這與向量數(shù)量積分配律的證明思路是一致的；進一步研究發(fā)現(xiàn)，兩角差的余弦公式的推導(dǎo)利用了向量數(shù)量積的定義及其它的坐標表示，其中向量數(shù)量積的坐標表示“a·b=x1x2+y1y2”起到了關(guān)鍵作用.也就是說兩角差的余弦公式的證明過程或直接或間接地應(yīng)用了向量數(shù)量積，二者應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法也是完全吻合的.

圖2圖3教學(xué)片斷2：（文[1]第108頁，習(xí)題2.4B組）如圖3，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），試用A、B兩點的坐標表示∠AOB的余弦值.（借助向量OA=（cosα，sinα），OB=（cosβ，sinβ）的數(shù)量積就能解決問題.）

鋪墊2知識之間原本就是互相聯(lián)系的整體.對于單一問題來說學(xué)生容易掌握，但不容易發(fā)現(xiàn)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，因此學(xué)習(xí)一段時間后有必要引導(dǎo)學(xué)生回歸教材、從整體角度來審視這些問題，并將它們串起來、形成問題鏈，進而達到融會貫通的效果.在教學(xué)片斷2的情境下推證兩角差的余弦公式就能順利地將新舊知識有效連結(jié)起來、找到問題間的內(nèi)在聯(lián)系，使向量數(shù)量積的定義及其坐標表示的引入不那么突然.

2拓展

教學(xué)片斷3（文[1]第121頁，復(fù)習(xí)參考題B組）點P0（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離公式如何推導(dǎo)？設(shè)P（x，y）是直線Ax+By+C=0上任一點，記點P0到直線l的距離為d，l的法向量n=（A，B），P0P與n的夾角為θ，則P0P=（x-x0，y-y0），于是A（x-x0）+B（y-y0）=|n|·|P0P|cosθ，即-Ax0+By0+C=|n|·|P0P|cosθ，又d=||P0P|cosθ|，所以d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

拓展3這樣，點到直線的距離公式也可以用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出來.那么asinx+bcosx=a2+b2cos（x-φ）能否利用點到直線的距離公式導(dǎo)出呢？設(shè)asinθ+bcosθ=c，令X=sinθ，Y=cosθ，則單位圓的圓心O到直線aX+bY=c的距離d=|c|a2+b2，又因為d=|cos（θ-φ）|（其中tanφ=ba），所以|c|a2+b2=|cos（θ-φ）|，即asinx+bcosx=a2+b2cos（x-φ）.既然兩角差的余弦公式以向量數(shù)量積為主要推證方法，就可以用向量數(shù)量積的坐標表示來解決（文[1]第144頁）：6.（1）略.（2）你能用a，b表示函數(shù)y=asinx+bcosx的最大值與最小值嗎？設(shè)OA=（b，a），OB=（cosx，sinx），則OA·OB=asinx+bcosx=a2+b2cos（x-φ）.

從中可以看出，設(shè)計課堂教學(xué)時首先要考慮的就是學(xué)生的經(jīng)驗和已有的知識，即學(xué)生知道了什么，怎么知道的，以什么方式知道的，這其實包含了認知的廣度、認知的方式和認知的結(jié)構(gòu)三方面的含義，在學(xué)生已有的知識范圍內(nèi)選擇合適的教學(xué)情境作為切入點，用合適的方式激活學(xué)生的認知，實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的有效對接，為學(xué)生的思維發(fā)展提供平臺.其次要考慮的是教材的結(jié)構(gòu)特征與編寫者的意圖，現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材“模塊整合，螺旋上升”導(dǎo)致同一知識模塊分布在不同的章節(jié)中，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境時要理清各個模塊之間的邏輯關(guān)系，用思想方法來統(tǒng)領(lǐng)模塊知識；作為教師也只有領(lǐng)會到教材的結(jié)構(gòu)特征與教材編寫者的意圖才能從宏觀上把握教材、理清知識脈絡(luò)，設(shè)計出合乎情理的教學(xué)情境.

參考文獻

[1]劉紹學(xué).普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)必修4[M].北京：人民教育出版社，2007.