關(guān)于高中三角函數(shù)的難題解析

許憑翼

摘要：三角函數(shù)問題一直是高中數(shù)學(xué)考察的熱點(diǎn)問題。觀察近些年的各種考題，不難發(fā)現(xiàn)解答題中加大了對(duì)三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的考察力度。通過分析已知函數(shù)的圖像或者運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)已知函數(shù)，從而得出問題中三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)以有關(guān)圖像的變化。這樣的考察方式越來越受到命題者的青睞。三角函數(shù)和性質(zhì)這部分知識(shí)點(diǎn)，已經(jīng)成為高中數(shù)學(xué)?？疾凰サ臒狳c(diǎn)題型，也是高考的重點(diǎn)知識(shí)。本文試圖總結(jié)三角函數(shù)圖像的各種類型和解題方法，摸索出高中三角函數(shù)的解題規(guī)范。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；三角函數(shù)性質(zhì)；三角函數(shù)圖像；高考數(shù)學(xué)

一 基本知識(shí)點(diǎn)

1、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù) 和余弦函數(shù) 圖象的作圖方法：五點(diǎn)法：先取橫坐標(biāo)分別為0， 的五個(gè)點(diǎn)，再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象。

2、正弦函數(shù) 、余弦函數(shù) 的性質(zhì)：

（1）定義域：都是R。

（2）值域：都是 ，對(duì) ，當(dāng) 時(shí)， 取最大值1；當(dāng) 時(shí)， 取最小值-1；對(duì) ，當(dāng) 時(shí)， 取最大值1，當(dāng) 時(shí)， 取最小值-1。

特別提醒：在解含有正余弦函數(shù)的問題時(shí)，你深入挖掘正余弦函數(shù)的有界性了嗎？

3、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)列表如下：

定義域 R R

值域

R

周期性

奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù)

單調(diào)性 上為增函數(shù)； 上為減函數(shù)（ ）

；上為增函數(shù)

上為減函數(shù)

（ ）

上為增函數(shù)（ ）

4、周期性：① ， 的最小正周期都是2 ；

② 和 的最小正周期都是 。

5、奇偶性與對(duì)稱性：

（1）正弦函數(shù) 是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是 ，對(duì)稱軸是直線 ；

（2）余弦函數(shù) 是偶函數(shù)，對(duì)稱中心是 ，對(duì)稱軸是直線 。

注意：垂直于x軸，過最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)的直線為正弦或余弦函數(shù)的對(duì)稱軸。

6、單調(diào)性：

上單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減； 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增。

特別提醒，別忘了 ！

7、三角形中的有關(guān)公式：

（1）內(nèi)角和定理：在解題過程中，我們要尤其注意到三角形內(nèi)角和為 ，這一點(diǎn)要切記！

任意兩角和與第三個(gè)角總互補(bǔ)，任意兩半角和與第三個(gè)角的半角總互余.

銳角三角形有以下性質(zhì)：

1：三個(gè)角都是銳角。2：余弦值都是正值。3：兩個(gè)角的和是鈍角。4：任意兩邊的平方和大于第三邊的平方。

（2）正弦定理： （R為三角形外接圓的半徑）.

注意：①正弦定理的一些變式：

；

；

；

（3）余弦定理： 等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.

（4）面積公式： （其中 為三角形內(nèi)切圓半徑）.如 中，若 ，判斷 的形狀（答：直角三角形）。

特別提醒：

（1） 求解三角形中的問題時(shí)，一定要注意 這個(gè)特殊性。

注意 相互之間的關(guān)系。

（2）一般我們?cè)谟谜?、余弦定理求解題目中含有邊角混合關(guān)系時(shí)，首先要邊角相互轉(zhuǎn)化。

8、求角的方法：

1：先確定角的范圍；

2：求出角的一個(gè)三角函數(shù)

在求角的三角函數(shù)時(shí)通常要注意兩點(diǎn)（1）所求角的三角函數(shù)在角的范圍內(nèi)具有單調(diào)性；（2）是根據(jù)條件易求出此三角函數(shù)值。

二 典型例題

三角函數(shù)邊角的相互轉(zhuǎn)化問題

1.（浙江文科5）在 中，角 所對(duì)的邊分 .若 ，則

（A） （B） （C） （D） 1

【答案】D

【解析】∵ ，∴ ，

∴ .

評(píng)注：本小題主要考察三角函數(shù)和對(duì)應(yīng)邊之間的相互轉(zhuǎn)化。在解決此類問題時(shí)，首先要清楚題干中給出的條件，然后通過簡(jiǎn)單的代換和化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果。

2.（10全國(guó)1卷文1）

（A） （B）- （C） （D）

解：

評(píng)注：本小題主要考查誘導(dǎo)公式、特殊三角函數(shù)值等三角函數(shù)知識(shí)。在解決此類問題時(shí)，要熟練的掌握各種誘導(dǎo)公式，然后通過化簡(jiǎn)得出結(jié)果。

3.（10全國(guó)I卷理2）記 ，那么

A. B. - C. D. -

解： ，

。故選B

評(píng)注：本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式，并突出了弦切互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 同時(shí)熟練掌握三角函數(shù)在各象限的符號(hào).

4. （江蘇理科）設(shè) 為銳角，若 ，則 的值為____.

【答案】 .

【解析】∵ 為銳角，即 ，∴ .

∵ ，∴ .

∴ .

∴

評(píng)注：本題的主要考點(diǎn)是：同角三角函數(shù)，倍角三角函數(shù)，和角三角函數(shù).觀察近些年的考題發(fā)現(xiàn)，這幾種關(guān)系每年都會(huì)涉及到，在復(fù)習(xí)的時(shí)候一定要引起重視。

5.（浙江理科6）若 ， ， ， ，則

（A） （B） （C） （D）

【答案】C

【解析】∵ ， ，∴ ，又∵ ， ，∴ ，∴ = = = .

參考文獻(xiàn)

[1] 王峰.近年來高考中分段函數(shù)問題掃描[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2009（01）.

[2] 祖飛.幾類特殊函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（01）.