對《課例：對拋物線一類特殊弦性質(zhì)的探究》的探究

歐陽尚昭 楊西更 李玉霞

讀完《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2013年第4期（上旬）上的文章《課例：對拋物線一類特殊弦性質(zhì)的探究》（以下簡稱《課例》），為毛金海老師的這節(jié)課喝彩.雖說是高三第一輪復(fù)習(xí)課，但能夠在有限時間內(nèi)從解法上的優(yōu)化到一組問題串的解決，對拋物線一類特殊弦性質(zhì)作了比較全面的探究，得出了許多有用的結(jié)論，的確是一個了不起的進(jìn)步，讓人真切地感受到了“溫故而知新”的內(nèi)涵.讀完之后，意猶未盡，至少還可以從以下幾個方面再進(jìn)行一些探究：

1.解法上的探究

《課例》在證明“直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于點A、B，求證：OA⊥OB”時，著重于設(shè)而不求，利用韋達(dá)定理，整體代換，這種證法比較貼近學(xué)生的實際和認(rèn)知水平.如果我們順勢將證明方法進(jìn)行提升：要證OA⊥OB，即證y1x1·y2x2=-1（x1，x2都不為0，否則，單獨討論），能否將y1x1，y2x2看成是某一個一元二次方程的兩個根？這就要求我們改變常規(guī)的消元模式，“消去常數(shù)2”（如果直線方程為y=x-2p，拋物線方程為y2=2px，則消去常數(shù)2p）得：y2+xy-x2=0.又x≠0，故（yx）2+yx-1=0，所以y1x1，y2x2是方程（yx）2+yx-1=0的兩個根，從而y1x1，y2x2=-1，于是問題獲證.

2.變式上的探究

變式1 過拋物線y2=2px上任意一定點P（x0，y0），作相互垂直的拋物線的兩弦PA⊥PB，那么直線AB過定點嗎？

說明 此變式是將《課例》中直角頂點的位置從坐標(biāo)原點（即拋物線的頂點）這一特殊位置變到拋物線上的其它定點時，探究直線AB是否過定點的問題.

解析 設(shè)直線AB方程為x=my+n，設(shè)A，B兩點坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），聯(lián)立拋物線方程y2=2px及線AB方程x=my+n，消去x得y2-2pmy-2pn=0.

由韋達(dá)定理有y1+y2=2pm，y1y2=-2pn.（*）

由PA⊥PBPA·PB=0（x1-x0）（x2-x0）+（y1-y0）（y2-y0）=0，

即

x1x2-x0（x1+x2）+x20+y1y2-y0（y1+y2）+y20=0，

亦即（y1y2）24p2-x0[（y1+y2）+2n]+x20+y1y2-y0（y1+y2）+y20=0.將（*）代入并化簡得[n-（x0+p）]2=（y0m+p）2，從而n=x0+2p+y0m或n=x0-y0m（舍）.

所以AB方程為x=my+n=my+0+2p+my0=m（y+y0）+x0+2p.故直線AB恒過定點（x0+2p，-y0）.（反之成立嗎？讀者完成.）

變式2 若直線l過點P（a，0），與拋物線y2=2px（p>0）相交于點A、B兩點，試確定A，B兩點對頂點的張角∠AOB分別是鈍角、直角和銳角時a所滿足的條件.

解析 設(shè)直線l的方程為x=my+a，點A（y212p，y1），B（y222p，y2），則OA·OB=y21y224p2+y1y2.①

又由y2=2px，

x=my+ay2-2mpy-2ap=0y1y2=-2ap. ②

將②代入①式得OA·OB=a2-2ap=a（a-2p）.

因為a>0，所以當(dāng)a-2p>0a>2p時，OA·OB>0，所以∠AOB是銳角;

當(dāng)a-2p=00=2p時，OA·OB=0，所以∠AOB是直角;

當(dāng)a-2p<0a<2p時，OA·OB<0，所以∠AOB是鈍角.

由以上討論可以看出：點（2p，0）是∠AOB為鈍角、直角、銳角的界點，而且從上述證明可看出，反之亦然.同時還可以得到如下結(jié)論：

當(dāng)0

當(dāng)a=2p時，∠AOB是直角三角形;

當(dāng)a>2p時，∠AOB的形狀不確定.

3.對《課例》上“課后習(xí)題”的探究

《課例》的最后給出了一道課后探討題：“點P是橢圓C：x24+y2=1的左頂點，直線AB與橢圓C交于A、B兩點（異于點P），若PA⊥PB，則直線AB過定點.”

探究1 （條件一般化） 點P是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左頂點，直線AB與橢圓C交于A、B兩點（異于點P），若PA⊥PB，則直線AB過定點.

解析 當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)方程為y=kx+m，設(shè)A，B兩點坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），聯(lián)立x2a2+y2b2=1，消去y得（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0，所以x1+x2=-2kma2b2+a2k2，x1x2=a2m2-a2b2b2+a2k2. （*）

又由PA·PB=0可得

x1x2+a（x1+x2）+a2+y1y2=x1x2+a（x1+x2）+a2+（kx1+m）（kx2+m）=0，

即（1+k2）x1x2+（a+km）（x1+x2）+a2+m2=0.將（*）式代入得m=ka（a2-b2）a2+b2.

所以直線AB的方程為y=k[x+a（a2-b2）a2+b2]，故AB過定點（-a（a2-b2）a2+b2，0）.

當(dāng)直線AB的斜率不存在時，易知AB也過定點（-a（a2-b2）a2+b2，0）.

探究2 已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），過原點O的兩條互相垂直的射線分別交橢圓C于A、B兩點（異于點P），證明：點O到直線AB的距離為定值.

說明 類似探究1，由OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0.將探究1中的（*）式代入并化簡得

m21+k2=a2b2a2+b2.而原點到直線AB的距離為d=

|m|k2+1=m2k2+1=a2b2a2+b2=aba2+b2為定值.

以上的探究，只想說明一個事實：即抓住變化中的不變性進(jìn)行解題，無論探究的結(jié)論怎樣，只要我們能夠比較充分地挖掘出題目的營養(yǎng)價值，就應(yīng)該說是一個大的收獲.