建模思想：走向數(shù)學自覺的內設橋梁

高娟

【摘 要】為培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力，數(shù)學建模在初中數(shù)學教學中的重要性得到進一步體現(xiàn)。本文從數(shù)學建模的方法、數(shù)學建模的技巧及教師在適當情況下對學生進行數(shù)學建模思想的培養(yǎng)這三個方面探討了初中數(shù)學教學建模的必要性。

【關鍵詞】初中數(shù)學 數(shù)學建模思想 數(shù)學建模技巧 數(shù)學建模方法

數(shù)學模型是一種為了特殊目的而對現(xiàn)實世界所作的一個抽象化數(shù)學結構。建立數(shù)學模型的過程稱為“數(shù)學建?！?，其過程是用數(shù)學語言對實際問題的一種抽象。

一、數(shù)學建模有利于促進對問題的深入理解，發(fā)散學生的思維，提高學生解決問題的能力

1.縱向建模，促進對問題的深入理解。

數(shù)學題目中大多數(shù)剛開始很簡單，但如果追加幾個問就可能會覺得有些困難。其實這些題目大多有規(guī)律性，如果教師能及時地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用一種固定的數(shù)學模型表示出來，不僅可以清晰地表達題目的意思，而且還可以幫助學生快速地解決問題，讓學生有一種征服數(shù)學的成就感。

[案例一]教學“用火柴棒搭圖形”

師：如圖用火柴棒搭成的圖形，搭1個三角形要3根火柴棒，搭2個三角形要5根火柴棒，搭3個三角形要7根火柴棒……問：搭10個三角形要幾根火柴棒？搭100個呢？

生：搭10個要21根，搭100個要201根。

師：你是怎么算的？

生：可以假設，搭1個是1+2，搭2個為1+2×2，搭3個為1+2×3，…，那搭10個就是1+2×10，100個就是1+2×100。

師：那在這個過程中同學們發(fā)現(xiàn)三角形的個數(shù)與火柴棒的根數(shù)具有什么樣的關系呢？你能用一個等式將它們的數(shù)量關系表示出來嗎？

生：設火柴棒根數(shù)為y，三角形個數(shù)為n，則有y=2n+1。

學生建構出y=2n+1這個模型，無論搭幾個三角形，只要將三角形的個數(shù)n的值代入上式中，便很快可以得出答案。這樣既加快了學生的解題速度，又加深了學生對問題的理解。

2.橫向建模，促進思維發(fā)散。

在平常的教學中，教師可以通過對某一問題的舉一反三、不斷追問將某一題型總結為一個數(shù)學模型，在建模過程中對學生進行思維訓練，從而促進學生思維的發(fā)散。

[案例二]教學“用火柴棒搭圖形”

師：接著“案例一”思考，如圖，如果搭1個正方形需要火柴棒4根，搭2個正方形需要火柴棒7根，搭3個正方形需要火柴棒10根……搭10個，100個分別需要火柴棒多少根？

生：搭10個要31根，100個要301根。

師：你們用的什么方法？

生：仿照上一個例題，可以設火柴棒根數(shù)為y，正方形個數(shù)為n，于是得到y(tǒng)=3n+1。

師：很好，同學們已經(jīng)學會了對于同類型題目的求解，這里只要建立數(shù)學模型，將具體數(shù)值往里代入即可。再請你們思考一下，搭三角形需要的火柴棒的根數(shù)與搭正方形所需要的火柴棒的根數(shù)這兩個模型在形式上有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？

生：區(qū)別在于一個是搭三角形，一個是搭正方形，聯(lián)系在于搭建方式一樣，得到的模型一個是y=2n+1，另一個是y=3n+1。n表示個數(shù)，y表示火柴棒根數(shù)，n的系數(shù)決定不同的圖形。

師：那如果按照此種方式搭正五邊形呢？搭10個、100個正五邊形分別需要多少根火柴棒？

生：設需要火柴棒的根數(shù)為y，個數(shù)為n，得到y(tǒng)=4n+1，則10個要41根，100個要401根。

師：很好，通過y=2n+1、y=3n+1、y=4n+1這三個等式的建立，同學們知道圖形的邊數(shù)與n的系數(shù)存在什么關系？

生：n的系數(shù)是圖形的邊數(shù)減1。

師：如果是m邊形，同學們能用一個數(shù)學模型將它表示出來嗎？

生：設火柴棒根數(shù)為y，多邊形邊數(shù)為m，搭建的個數(shù)為n，則有y=（m-1）n+1。

這樣的建模過程不僅教會學生多向地思考問題，更能讓學生進一步加深對此種題型的理解。

二、數(shù)學建模的技巧多樣化，根據(jù)不同的數(shù)學問題，教師采用適當?shù)姆绞竭M行建模

1.方程模型，恰當選擇。

方程建模是初中數(shù)學教學中最常見的建模思想之一，方程是將我們生活中常見的等量關系轉化為一個數(shù)學等式來表示。不同的數(shù)學問題，應用不同的方程模型。選用恰當?shù)臄?shù)學模型解決問題，讓學生在愉快、輕松、簡單的環(huán)境下學習，可以達到事半功倍的效果。

[案例三]教學“雞兔同籠”問題

師：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾只？

生：設雞有x只，則兔有（35-x）只，由題意得2x+4（35-x）=94。

師：很好，還有其他模型嗎？

生：設雞有x只，兔有y只，由題意得2x+4y=94，x+y=35。

“雞兔同籠”問題是一道老題，通過算式也可以找到答案，但方程模型更能直觀地反映此道題目的意思，對于學過二元一次方程和一元一次方程的學生，他們更愿意用二元一次方程組去解決這個問題，此種模型思想簡單，列式容易。

2.函數(shù)模型，符合實際。

數(shù)學實際生活問題常常用復雜的語言來進行表述，文字和數(shù)字越多，越會給學生造成一種混亂感。函數(shù)建模即是對日常生活中普遍存在的實際問題的歸納加工，運用函數(shù)的辦法進行求解，可以將問題簡單化。當然這種模型的建立必須要求學生要針對確實存在的模型才可以，初中階段常見的函數(shù)模型有：（1）正比例函數(shù)模型y=kx（k≠0）；（2）反比例函數(shù)模型y=（k≠0）；（3）一次函數(shù)模型y=kx+b（k≠0）；（4）二次函數(shù)模型y=ax2+bx+c（a≠0）。運用這些基本的函數(shù)模型可以巧妙地解決數(shù)學教學中的一些難題，同時也避免了繁瑣的文字描述。

[案例四]教學“環(huán)境保護”問題

師：某地區(qū)1995年底沙漠面積為95萬公頃，為了解決該地區(qū)沙漠面積的變化情況，進行了連續(xù)5年的觀測，并將每年年底的觀測結果記錄如下表。根據(jù)此表所給的信息進行預測：如果不采取任何措施，那么到2010年底，該地區(qū)的沙漠面積將大約變?yōu)槎嗌偃f公頃？

生：設沙漠面積增加數(shù)y與年份x之間的關系圖象近似地為一次函數(shù)的圖象，設y=kx+b。

將x=0.1y=0.2x=2y=0.4代入y=kx+b，解得k=0.2，b=0，即y=0.2x（x∈N）。

生：95+0.2×（2010-1995）=98（萬公頃）。

首先建立起y=0.2x這個基本模型后，問題可以快速地解決。

3.圖形模型，形象具體。

數(shù)形結合思想是初中數(shù)學學習中解決問題的一種有效方法，它用圖形本身的特點給人一種視覺上的感知，讓學生通過自己的視覺和聽覺整體感知來消化知識，從而達到對所學知識的完整性和實質性的認識。

[案例五]教學“多項式乘以多項式”

師：請計算下圖的面積，你有哪些不同的方法？并把你的算法與同學交流。

生：（1）a（c+d）+b（c+d） （2）ac+ad+bc+bd

（3）c（a+b）+d（a+b） （4）（a+b）（c+d）

師：我們知道以上4個代數(shù)式的值是一樣的，同學們可以得到什么樣的數(shù)量關系呢？

生：（a+b）（c+d）=a（c+d）+b（c+d）=c（a+b）+d（a+b）=ac+ad+bc+bd。

師：于是我們選出（a+b）（c+d）=a（c+d）+b（c+d）。

請學生觀察其中的規(guī)律。

通過圖形的解釋讓學生更加容易接受多項式乘以多項式的法則，理解起來更形象，讓學生在圖形中體驗數(shù)學的知識，同時也教會了學生可以借助圖形來分析問題。

三、數(shù)學建模是教師必備的一種技能，也是檢驗教師基本功的最好手段

在新課改的形勢下，對教師專業(yè)素養(yǎng)的要求越來越高。在教學過程中，面對著不同的教學內容和不同的課型，我們要能夠采取不同的方式進行教學才能適應新課改，從而讓學生的學習更加輕松，能夠快樂地應對各種挑戰(zhàn)。所以教師應抓住適當?shù)臅r機向學生滲透建模思想，通過數(shù)學建模，讓數(shù)學課堂變得直觀、簡單。

1.數(shù)學建模，概念教學更簡潔。

數(shù)學概念較為抽象，通常使用一段長長的文字把某個新名詞解釋一下，而學生對于文字的記憶和理解較為困難。模型可以讓學生的思維條理化，將較為抽象的形容性的文字語言變?yōu)檩^為直觀的數(shù)學模型，讓學生對概念有著直觀的印象和深刻的理解，加深學生對概念的記憶。

[案例六]教學“反比例函數(shù)”

初中數(shù)學課本中函數(shù)的定義：在某一過程中有兩個變量x，y，當x在某一個范圍內取一個值時，y都有唯一的值和它對應，這時，我們說x是自變量，y是x的函數(shù)（或因變量），而反比例函數(shù)是建立在函數(shù)基礎上加上自變量和因變量的乘積為一個定值。如果就這樣跟學生解釋，有絕大部分學生不能深刻理解反比例函數(shù)的意義。但如果用數(shù)學模型抽象出反比例函數(shù)的定義，例如：一般地，形如y=（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)叫反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)。對于y=這種數(shù)學模型，能夠既簡潔又形象地將反比例函數(shù)中的數(shù)量關系表示出來，學生就更容易接受。

2.數(shù)學建模，解決實際問題更簡單。

學習數(shù)學的目的就是將數(shù)學更好地應用于實際問題的解決中，應用題教學一直是初中數(shù)學教學中的一個難點。數(shù)學模型的建立不僅可以給教師的教學打開一扇方便之門，同時又能提升學生解決問題的能力，增強學生學習數(shù)學的信心和樂趣。

[案例七]教學“相遇類追及類”應用題

師：問（1）甲、乙兩人練習跑步，如果乙先跑10米，則甲跑5秒可以追上乙；如果乙先跑2秒，則甲跑4秒就可以追上乙，問甲、乙的速度各為多少？

生：設甲的速度為x米每秒，乙的速度為y米每秒，由題意得5x-5y=104x-4y=2y，解得x=6y=4。

師：問（2）A、B兩地相距490千米，甲、乙兩車從兩地出發(fā)，相向而行，若同時出發(fā)，則7小時相遇；若甲先開7小時乙再出發(fā)，結果乙出發(fā)2小時后兩車相遇，求兩車速度。

生：設甲的速度為x千米每小時，乙的速度為y千米每小時，由題意得7x+7y=4907x+2x+2y=490，解得x=50y=20。

對于像這樣的應用題，學生可以借助數(shù)學模型進一步理解題意，讓實際問題變得更簡單。

現(xiàn)代教學要求教師不能死教書，學生不能死學習，將數(shù)學建模思想融入到數(shù)學課堂教學中，恰好能夠做到讓教師掌握好的思想方法，培養(yǎng)學生整體處理和創(chuàng)造性解決問題的能力，讓學生在不知不覺中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題，這是數(shù)學教學的最終目標。作為新時代的教師，我們一定要能夠清醒地認識到數(shù)學課堂教學中建模思想的重要性，以及它給學生學習帶來的方便性，讓建模思想成為數(shù)學自覺內設的橋梁。

（作者單位：江蘇省淮安工業(yè)園區(qū)實驗學校）