柯西不等式在高中階段的應(yīng)用

張釗

摘要：本文主要介紹了在高中階段利用柯西不等式在證明等式，不等式和求函數(shù)最值方面的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：柯西不等式;等式;不等式;最值;技巧;應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2014）22-0222-02

在高中數(shù)學(xué)研究中，我們發(fā)現(xiàn)了一些不僅形式優(yōu)美而且具有重要應(yīng)用價(jià)值的不等式，人們稱它們?yōu)榻?jīng)典不等式，柯西不等式 就是這樣的不等式。2012年湖北省高考的選擇題第6題就考到了利用柯西不等式求值問(wèn)題。

首先我們來(lái)看一下柯西不等式

定理1

3.利用柯西不等式求最值

利用柯西不等式求最值，實(shí)質(zhì)上就是利用柯西不等式進(jìn)行放縮，放縮不當(dāng)則等號(hào)可能不成立，因此不能忘記檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件。

例5 已知M是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)（不含邊界），且，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為x，y，z，記，則f（x，y，z）的最小值是_

分析：

當(dāng)且僅當(dāng)，即a=b=c=13時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)最大值為43

在高中階段的很多問(wèn)題中，如果我們能利用柯西不等式去解決問(wèn)題，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。