數(shù)形結(jié)合，美不勝收

孫賽峰

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)是一門蘊(yùn)涵美的學(xué)科，數(shù)學(xué)的美體現(xiàn)在我們生活的各個(gè)方面，本文通過初中數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，論述了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美、創(chuàng)新美、對(duì)稱美、辯證美.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;美

數(shù)學(xué)因?yàn)槠浜?jiǎn)單性、對(duì)稱性、統(tǒng)一性而具有美感.數(shù)學(xué)的美無處不在，例如城市雕塑，按照幾何構(gòu)造進(jìn)行設(shè)計(jì)，比例勻稱和諧，給人以美感.數(shù)學(xué)與美相關(guān)，完美的圓，流暢的弧線，穩(wěn)定的三角，對(duì)稱的圖案……無一不體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的美. 數(shù)學(xué)評(píng)論家普洛克拉斯曾經(jīng)說過“數(shù)學(xué)的美無處不在，有數(shù)的地方就會(huì)有美”. 從這個(gè)意義上來說，數(shù)學(xué)可以稱之為一種藝術(shù).

在我們的教學(xué)中，每個(gè)數(shù)學(xué)教師過多地關(guān)注了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)而忽略了數(shù)學(xué)的美感，甚至一些教師令學(xué)生只看到了數(shù)學(xué)的枯燥，而使學(xué)生錯(cuò)過了數(shù)學(xué)上美的風(fēng)景，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的抵觸.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該為學(xué)生打開數(shù)學(xué)花園的大門，讓學(xué)生看到美麗的數(shù)學(xué)符號(hào)，美麗的數(shù)學(xué)曲線，美麗的數(shù)學(xué)證明，美麗而神奇的數(shù)學(xué)方法，美麗的數(shù)學(xué)理論. 作為數(shù)學(xué)上重要的數(shù)學(xué)思想之一——數(shù)形結(jié)合，正是數(shù)學(xué)美的體現(xiàn)，教師應(yīng)該通過數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生看見、體味數(shù)學(xué)的美.

數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美

數(shù)學(xué)以其簡(jiǎn)單、明快構(gòu)成了數(shù)學(xué)上和諧的簡(jiǎn)單美. 簡(jiǎn)單性作為數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)美的基本內(nèi)容之一，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的方方面面.

首先，解答數(shù)學(xué)問題方法的直觀性，使數(shù)學(xué)具有簡(jiǎn)單美. 例如，講解數(shù)軸（蘇教版七年級(jí)上2.2）時(shí)，數(shù)軸是學(xué)生最早接觸數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)知識(shí)，在數(shù)軸教學(xué)中，教師要逐步滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)中的兩個(gè)重要方面——“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合. 學(xué)生在小學(xué)已初步學(xué)習(xí)了數(shù)軸的有關(guān)知識(shí)，但是僅僅在于正數(shù)的表示，因此在初中數(shù)學(xué)本節(jié)教學(xué)中，教師只需要把數(shù)擴(kuò)展到有理數(shù)范圍就行了. 數(shù)軸具有直觀形象性，在比較有理數(shù)的大小時(shí)，能簡(jiǎn)單明了地就可以看出，“在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的大”.同時(shí)，也能讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)上的對(duì)應(yīng)美.

其次，數(shù)形結(jié)合的利用，也使學(xué)生對(duì)于問題的理解具有簡(jiǎn)單美. 在初中數(shù)學(xué)中，“數(shù)與式”一直是教師很頭疼的一節(jié)，因?yàn)閷W(xué)生往往還停留在針對(duì)數(shù)不斷計(jì)算的階段，不能把數(shù)和形很好地融合在一起. 針對(duì)這種情況，教師更應(yīng)該在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的簡(jiǎn)單. 例如，講解一元一次不等式組（蘇教版第七章7.6）時(shí)，教師先讓學(xué)生建立不等式和數(shù)軸的聯(lián)結(jié)，出示例題：（1）在數(shù)軸上表示不等式：-1≤x≤4;（如圖2所示）

（2）不等式組x<3，x≥1的解集在數(shù)軸上表示為（？搖 ? ?）

通過這些練習(xí)，學(xué)生初步明白了不等式組的解集可以通過數(shù)軸直接表示出來，未知數(shù)的取值范圍便一目了然了，這樣，學(xué)生對(duì)于不等式的解集理解和記憶，會(huì)更加深刻.

數(shù)形結(jié)合——數(shù)學(xué)的創(chuàng)新美

數(shù)學(xué)的創(chuàng)新美不但體現(xiàn)在數(shù)學(xué)理論的不斷發(fā)展上，對(duì)于初中生來說也應(yīng)該體現(xiàn)在解題思路的創(chuàng)新上. 作為教師，在教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生大膽創(chuàng)新，培養(yǎng)學(xué)生的求異思維.學(xué)習(xí)三角形時(shí)，教師可以提問學(xué)生“三角形的內(nèi)角和是多少？”學(xué)生一般都知道三角形的內(nèi)角和為180°，這時(shí)，教師可以為學(xué)生打開更為寬廣的數(shù)學(xué)思維，告訴學(xué)生在非歐幾何中，三角形的內(nèi)角和可以大于180°，也可以小于180°，這在天文學(xué)中應(yīng)用廣泛，從而激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新欲望，也讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的創(chuàng)新之美.

函數(shù)是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)，一個(gè)函數(shù)解析式對(duì)應(yīng)一個(gè)函數(shù)圖象，圖象隨著函數(shù)解析式的變化而變化.在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生通過函數(shù)圖象體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用. 例如：某公司推銷一種產(chǎn)品，設(shè)x（件）是推銷產(chǎn)品的數(shù)量，y（元）是推銷費(fèi)，圖3已表示了公司每月付給推銷員推銷費(fèi)的兩種方案，看圖解答下列問題：

（1）求y與y的函數(shù)解析式;

（2）解釋圖中表示的兩種方案是如何付推銷費(fèi)的;

（3）如果你是推銷員，應(yīng)如何選擇付費(fèi)方案？

在這道一次函數(shù)應(yīng)用題中，學(xué)生按照慣性思維每一問都通過計(jì)算得出答案. 但是，函數(shù)圖象蘊(yùn)涵著很多信息，教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生通過觀察圖象，分析獲得這些解題信息. 這道題通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)推銷的產(chǎn)品為30件時(shí)，兩種付費(fèi)情況一樣，并且y付費(fèi)方式有保底推銷費(fèi)300元. 繼續(xù)觀察可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)推銷產(chǎn)品的數(shù)量大于30件后，y付費(fèi)方式中的推銷費(fèi)就小于y中的付費(fèi)方式.也就是說，在這道題中，除了第一問需要計(jì)算外，其他兩問通過觀察函數(shù)圖象就可以解決.

在函數(shù)中，通過構(gòu)建函數(shù)圖象可以使函數(shù)問題得到很好的解決. 例如2013年山西省中考題：圖4是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內(nèi)，與水平橋面相交于A，B兩點(diǎn)，拱橋最高點(diǎn)C到AB的距離為9 m，AB=36 m，D，E為拱橋底部的兩點(diǎn)，且DE∥AB，點(diǎn)E到直線AB的距離為7 m，則DE的長為______m. 在這道題中，學(xué)生只有把題目中的已知條件轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象才能使這個(gè)問題變得簡(jiǎn)單明朗.如圖4所示，建立平面直角坐標(biāo)系，這樣通過求得拋物線的解析式為y=-x2+16，可得出DE的長為48 m.

數(shù)形結(jié)合——數(shù)學(xué)的對(duì)稱美

在數(shù)學(xué)中，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），二次函數(shù)y= ax2+bx+c都可以通過圖象產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)中的某些公式也可以通過圖象得以證明，例如證明勾股定理就可以通過圖5證明.再如2010年四川達(dá)州的中考題：如圖6所示，在邊長為a的正方形中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形（a>b），將余下部分拼成一個(gè)梯形，根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以得到一個(gè)關(guān)于a，b的恒等式為（ ? ?？搖？搖）

A. （a-b）2=a2-2ab+b2

B. （a+b）2=a2+2ab+b2

C. a2-b2=（a+b）（a-b）

D. a2+ab=a（a+b）

這些都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合之美. 突出體現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)稱美的就是對(duì)稱圖形了，在數(shù)學(xué)上，有些數(shù)字呈對(duì)稱關(guān)系，如數(shù)字8，11，22等;等腰三角形、圓、矩形、菱形、等腰梯形等都是對(duì)稱圖形，對(duì)這些圖形對(duì)稱性的掌握，可以幫助學(xué)生解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題. 例如，如圖7所示，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，AD=AE，AB=AC，證明：BD=EC.

在這道題中，大部分學(xué)生會(huì)根據(jù)全等三角形來證明這個(gè)結(jié)論，但是利用圖形的對(duì)稱性也可以很好地解決.因?yàn)锳B=AC，所以三角形ABC為等腰三角形，等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為底邊上的中線（高線），因此可以作等腰三角形ABC底邊上的高AH. 又因?yàn)锳D=AE，因此三角形ADE也是等腰三角形，也同樣具有對(duì)稱性，AH也是等腰三角形ADE底邊上的中線，由此可知BH=CH，DH=EH，因此，BD=CE.

在對(duì)稱圖形這一階段的學(xué)習(xí)中，教師經(jīng)常設(shè)計(jì)一些讓學(xué)生利用對(duì)稱圖形動(dòng)手設(shè)計(jì)符合條件的圖案的試題. 例如，學(xué)校要建一個(gè)圓形花壇，現(xiàn)向全校征集設(shè)計(jì)稿，要求設(shè)計(jì)圖案由圓和三角形構(gòu)成（個(gè)數(shù)不限），設(shè)計(jì)方案使整個(gè)花壇呈軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)你畫出自己的設(shè)計(jì)方案. 這種開放性試題，不僅讓學(xué)生體會(huì)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美，也讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)的美無處不在，數(shù)學(xué)的美體現(xiàn)在生活的每個(gè)角落，學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)，也就掌握了數(shù)學(xué)美的秘密.

數(shù)形結(jié)合，看見數(shù)學(xué)的辯證美

數(shù)學(xué)有自己獨(dú)特的美，那就是辯證美，這是其他學(xué)科所不能比擬的. 各種數(shù)學(xué)運(yùn)算，以及數(shù)學(xué)各部分之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)通過將這些關(guān)聯(lián)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)霓q證思維，體現(xiàn)了證明過程嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)密的邏輯美感. 教師在教學(xué)過程中，要通過自己的課堂設(shè)計(jì)，發(fā)掘?qū)W生的辯證思維，讓學(xué)生通過觀察、分析，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，感受數(shù)學(xué)的辯證美. 數(shù)學(xué)問題不能像語文一樣“眼見為實(shí)”，數(shù)學(xué)相信的是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過程.例如，如圖8所示，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)P是直徑AB上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作AB的垂線交BC于點(diǎn)Q.

（1）在線段PQ上取一點(diǎn)D，使DQ=DC，連結(jié)DC，試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由;

（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的長.

在這道數(shù)學(xué)題目中，學(xué)生通過觀察大部分都能得出CD與⊙O的位置關(guān)系為相切，但是僅僅通過觀察得出結(jié)論是不夠的，還要學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明.

CD與⊙O相切，理由如下：連結(jié)OC，如圖9所示，因?yàn)镺C=OB，所以∠2=∠B. 因?yàn)镈Q=DC，所以∠1=∠Q. 因?yàn)镼P⊥PB，所以∠BPQ=90°. 所以∠Q+∠B=90°. 所以∠1+∠2=90°. 所以∠DCO=180°-∠1-∠2=90°. 所以O(shè)C⊥CD. 而OC為⊙O的半徑，所以CD為⊙O的切線.

數(shù)學(xué)的證明過程就是享受美的過程，當(dāng)通過自己的努力，終于把一個(gè)結(jié)論證明出來，那種愜意就如春天在有著微香的田野慢慢行走，這就是數(shù)學(xué)辯證美帶給人們的美的體驗(yàn).

數(shù)學(xué)的美是有內(nèi)涵的，它不同于花朵的美麗那么直觀，也不同于朝霞的美麗那么熱烈;數(shù)學(xué)的美是獨(dú)特的，就像一個(gè)矜持的少女，你只有愛上它才能看見它那美麗的光輝;數(shù)學(xué)的美是嚴(yán)謹(jǐn)而和諧的，也是千姿百態(tài)的，教師要通過數(shù)學(xué)教學(xué)，給學(xué)生一雙發(fā)現(xiàn)美的眼睛，讓學(xué)生愛上數(shù)學(xué).