追蹤南通中考命題特點，解析一道習題延伸演變

花永平

[摘 ?要] 中考是考查初中生數(shù)學知識與技能掌握情況的最終測試棒，也是目前高一級學習選拔學生的唯一標準. 在很大程度上，最新中考試題的命題特點，引導著教師的教學方向和策略. 作為一線教師，應深入研究中考命題特點，從本質上明確我們教學的方向性，體現(xiàn)我們的價值性.

[關鍵詞] 直接衍生;借助結論;超出局部;注重運動;舉一反三

隨著中考改革的不斷深入，中考命題趨向從課本題、練習題、歷年陳題中將問題進行演變和提升，這一命題的原則符合課標的基本要求：培養(yǎng)學生基本的數(shù)學素養(yǎng).

比如，2014年南通市中考數(shù)學試卷一直延續(xù)南通市中考試題的基本特點：基礎全面，試題穩(wěn)定. 試題1至26題，立足基礎，覆蓋全面，學生普遍易上手，得分較高，但也存在陷阱題，如第18題：已知 m-n2=1 求m2+2n2+2m-1 的最小值. 很多同學想到用常規(guī)解題方法—配方去完成，但這樣做忽視了一個重要條件：n2≥0 ，即將m-n2=1變形為n2=m-1，得m-1≥0，m≥1 的條件下求代數(shù)式的取值. 就知識的完備性而言，要求學生不僅要有扎實的功底，而且要有全面考慮問題的能力. 27、28兩題，從題目的設置情況來看，難度有了明顯的提升，這是今年中考的又一大特點：尾巴翹. 以此來體現(xiàn)考試的選拔功能. 但不管題目如何變化，都擺脫不了數(shù)學基本圖形、基本方法的應用. 27題由條件垂直就應把它和一線三角聯(lián)系起來，求長度不外乎兩種基本方法：相似和直角三角形等相關的計算. 28題也是老面孔——直角坐標系中拋物線的相關問題. 學生的審題明顯存在困難，這是今年試題的第三個特點：條件新. 28題的第二、第三問，需要學生讀題、審題后自我生成圖形，這對學生的要求更高，更能體現(xiàn)學生學習的自主性和自覺性.

結合中考試題的命題特點，筆者對人教版八年級“全等三角形”習題中的一道習題進行演變，從而提高復習的針對性和有效性，提升學生的整體分析和解題能力，減輕學生的課業(yè)負擔，切實提升復習效率，幫助學生觸類旁通，從而達到舉一反三.

原題 ? 如圖1所示，在等邊三角形ABC 中，D，E 分別是邊AC，AB 上的點，且AD=BE，BD，CE 相交于點O，求∠DOC的度數(shù).

解答 ?易證明△BDA≌CEB（SAS），

所以∠ABD=∠BCE.

又∠DOC=∠DBC+∠BCE （三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內角度數(shù)之和），

∠ABD=∠BCE，

所以∠DOC=∠DBC+∠ABD=∠ABC.

因為△ABC是等邊三角形，

所以∠ABC=60°，

所以∠DOC=60°.

直接衍生，以靜置動

如圖1所示，若D，E 分別是邊AC，AB 上的動點，BD，CE 相交于點O，當AD，BE 滿足怎樣的數(shù)量關系時，∠DOC的度數(shù)恒為60°？

解析 同上，當AD，BE滿足AD=BE時，∠DOC的度數(shù)恒為60°.

點評 從兩個方面去說明問題：一方面滲透從特殊到一般的解題方法;另一方面，提醒學生從執(zhí)果索因的角度去分析和解決問題. 而無論是哪個方面，在常態(tài)課的教學過程中，這樣基礎性地直接衍生，能有效地鞏固學生已學或者已做過的題目，為后面的延伸拓展打下基礎，并從基礎環(huán)節(jié)提升學生多元化分析、考查問題的能力.

借助結論，逐級攀升

（接原題）如圖2所示，過點C作CG⊥BD于點G，求證：OC=2OG.

解析 由上例和已知，在直角三角形OGC中，∠DOC=60°，

∠CGO=90°，則∠GCO=30°.

所以OG=OC，即OC=2OG.

點評 ?學生發(fā)現(xiàn)結論后，往往從基本問題、基本圖形下手，需要解決的問題就迎刃而解了.

以上兩問屬于直接變式，是試題改編的常用手法，不改變原題的任何條件，對問題進行必要的添加和商榷，從而訓練學生對不同問題的分析和不同知識體系的斟酌，進一步提升學生思維的強度和效度.

超出局部，關注變化

由原題變式1：如圖3所示，△ABC是等邊三角形，當D，E分別在邊CA，AB的延長線上，且AD=BE，DB 的延長線與CE交于點O，求∠DOC的度數(shù).

解析 ?易證△BDA≌CEB（SAS），

所以∠ABD=∠BCE.

又∠DOC=∠EBO+∠BEC（三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內角度數(shù)之和），

∠ABD=∠EBO=∠BCE，

所以∠DOC=∠BEC+∠BCE=∠ABC.

因為△ABC是等邊三角形，

所以∠ABC=60°.

所以∠DOC=60°.

點評 ?在求解過程中，進一步滲透利用邊角關系進行合理轉化的思想.

該問的變式已打破學生思維的束縛，將“形內”問題轉化到“形外”，對學生的考查不僅僅是數(shù)據(jù)上的變化，更關注的是用“數(shù)形結合”思想解決問題，把不同知識與技能進行合理有效地整合，并進行考查和訓練，有效地提升了學生對知識的應用能力，提升了學生的基本數(shù)學素養(yǎng).

注重運動，關注軌跡

由原題繼續(xù)變式2：如圖4所示，等邊三角形ABC的邊長為2，D，E分別是邊AC，AB上的點，且AD=BE，BD，CE相交于點O，當點D由點A開始運動到點C的過程中，點O運動的路程是多少？

解析 ?該題首先要讓學生明白點O隨著點D由點A開始運動到點C的過程中，形成的軌跡是什么. 其次，求長度. 通過以上解題過程，我們已經(jīng)明確只要AD=BE，∠DOC的度數(shù)恒為60°，即∠BOC=120°. 由固定角度我們聯(lián)想到圓：同弧所對的圓周角相等，則構建以BC為弦，∠BOC為120°的圓周角，解題步驟清晰明了.

作△OBC的外接圓，如圖4可知，當∠BIH=60°時，∠BOC始終為120°，所以，點O的運動路徑是以點I為圓心，2為半徑的劣弧BC，圓心角為120°. 所以，點O運動的路程是π.

點評 ?本題的變化直接訓練了初中數(shù)學中的難點環(huán)節(jié)，但是這些難點建立在了學生已經(jīng)熟悉基礎環(huán)節(jié)的基礎之上，讓學生在知識構建的環(huán)節(jié)中形成一個循序漸進、由淺入深的思維方式，能有效引導學生解決難題.

舉一反三，關注拓展

將原題的背景作變式3：如圖5所示，在Rt△ABC中，AC=BC且∠ACB=90°，E，F(xiàn)分別在邊BC及AC 延長線上，且CE=CF，BF交AE的延長線于點P.

（1）試判定BF，AE的位置關系，說出你的理由.

（2）點E在BC上運動的過程中，點P運動的路徑長是多少？

（分析、解法與上例相當）

（3）拓展：若點Q是AE上的一個動點，已知AC=BC=2且CQ=1，射線AE和射線AF的夾角為α，隨著α的變化，點P的運動路徑是多少？

解析 ?（3）在整個運動過程中，角α存在最大值，當CQ⊥AE時，角α有最大值30°;所以點P的運動路徑是以AB中點為圓心，AB為直徑，60°的圓心角的一段弧. 路徑長為π.

點評 ?這樣的拓展和變式能最大限度地提升學生的思維深度和寬度，訓練學生的思維敏捷性和分析問題的全面性，無論是基礎鞏固還是拓展延伸，都能有效地提升學生的智力水平和對知識與技能的應用能力.

與原題相比，變式題已經(jīng)面目全非了，但是從解題手法、思考路徑、形成過程中不難發(fā)現(xiàn)，所有的策略和方法是一致的. 通過以上一個習題的演變，筆者認為，中考試題中復雜題、新穎題都是由一些簡單的數(shù)學小問題疊加變式而成的，而解決問題的方法則大致相通，關鍵是尋找基本圖形，基本數(shù)量即線段、角度的關系，從特殊的實例中去發(fā)現(xiàn)一般的結論，這正是把握中考命題趨向的關鍵所在.