淺談數(shù)學(xué)模型解題法

陳鋒林

[摘 ?要] 模型解題法就是針對幾個基本圖形的剖析，在復(fù)雜圖形中找到簡單模型，再利用模型中的結(jié)論，套模型出結(jié)果，其實(shí)質(zhì)是教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累與再現(xiàn)，本文就將這種方法拿來與大家一起探討.

[關(guān)鍵詞] 基本圖形;模型;應(yīng)用

近年來，各地的中考試卷越來越重視對圖形知識綜合應(yīng)用的能力，尤其是當(dāng)幾何圖形與函數(shù)圖象結(jié)合在一起時(shí)，學(xué)生往往會因?yàn)閳D形過于復(fù)雜而產(chǎn)生畏懼心理. 如何消除學(xué)生的圖形恐懼癥，如何讓學(xué)生在中考中見圖就喜，是我這些年一直在思考和努力解決的問題. 經(jīng)過近三年的題海淘金，我總結(jié)了一些小小的經(jīng)驗(yàn)，我們稱之為“初中數(shù)學(xué)模型解題法”.

什么是模型解題法呢？首先，這不同于數(shù)學(xué)建模，因?yàn)閿?shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐，即通過抽象、簡化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過程后，將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)方式方法表達(dá)出來，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解. 但模型解題是指利用幾個直觀、簡潔的純數(shù)學(xué)圖形，記住其中的結(jié)論，并在復(fù)雜圖形中抽取出模型，從而快速理出解題思路的一種解題方法.

那如何建立模型呢？其實(shí)是數(shù)學(xué)教師在作業(yè)和習(xí)題的原型中，找到經(jīng)常會碰到的相同的圖形，將其摘錄下來，整理歸納，用自己的數(shù)學(xué)語言把圖形和結(jié)論展現(xiàn)給學(xué)生，像數(shù)學(xué)定理一樣讓學(xué)生熟記結(jié)論，即見圖就能現(xiàn)思路. 所以說，模型解題法最大的好處是快速得到解題思路，化繁為簡，但其也有局限性，在填空、選擇的題型中可以直接使用，但解答題中還需稍加證明. 以下是部分模型的呈現(xiàn)，拿來與大家一起探討.

模型一：角平分線夾角模型

模型展示？搖 （1）如圖1所示，OA，OC分別是∠BAC，∠BCA的平分線，則∠AOC=90°+∠B.

（2）如圖2所示，BP，CP分別是∠ABC，∠ACD的平分線，則∠P=∠A.

（3）如圖3所示， AD，CD分別是∠EAC，∠FCA的平分線，則∠D=90°-∠B.

應(yīng)用及分析 ?（1）如圖4所示，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC和∠BCA的平分線AE，CF交于點(diǎn)O，求證：OE=OF.

（2）如圖5所示，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC=40°，則∠CAP=____.

分析？搖 （1）若OF，OE能放到兩個全等三角形中，即可得證，所以要構(gòu)造與△AOF，△COE全等的三角形. 利用模型可得出∠AOC=90°+∠B=120°，∠AOF=∠COE=60°，若作∠AOC的平分線OD交AC于點(diǎn)D，則可證△AOD≌△AOF，△COD≌△COE. 于是可得OF=OD=OE.

（2）利用模型中的圖2可知，∠BAC=2∠BPC=80°，而∠CAP是∠BAC的鄰角，如果過點(diǎn)P作CD，AC，BA的垂線段，垂足分別為E，F(xiàn)，H，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得PE=PF=PH，則PA平分∠CAH，所以∠CAP=（180°-80°）÷2=50°.

模型二：角平分線+平行線→等

腰三角形

模型展示？搖 如圖6所示，OP是∠MON的平分線，AB∥ON，則OA=AB.

應(yīng)用及分析？搖 ?（1）如圖7所示，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分線與∠BCD的平分線交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E恰好在線段AB上. 若AD=7 cm，BC=8 cm，則AB=_____ cm.

（2）在△ABC中，∠ABC≠∠ACB，BO，CO分別是△ABC的內(nèi)角或外角平分線，過點(diǎn)O作EF，使EF∥BC，且點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F在直線AC上，你能找出線段EF與BE，CF之間的關(guān)系嗎？

（3）如圖8所示，在△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上（端點(diǎn)除外）的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，連結(jié)AE，AF，那么當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？證明你的結(jié)論.

分析？搖 （1）由模型可知△ADE與△BCE都是等腰三角形，所以AE=AD=7 cm，BE=BC=8 cm. 所以AB=15 cm.

（2）利用模型可得圖9和圖10中，EF=BE+CF;圖11中，EF=BE-CF.

（3）因?yàn)镸N∥BC，MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F，所以很容易得出△COE和△COF是等腰三角形，所以O(shè)E=OC=OF. 所以當(dāng)OA也等于這三邊時(shí)，四邊形AECF是矩形.

模型三：函數(shù)圖象中的三角形

面積模型

在平面直角坐標(biāo)系中，如果有一個三角形的每一邊都不和坐標(biāo)軸平行，則這個三角形的面積可以用水平寬與鉛垂高乘積的一半來求解.

模型展示？搖 如圖12所示，過△ABC的三個頂點(diǎn)分別作與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”（h），我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法——S△ABC=ah，即三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.

應(yīng)用及分析？搖 ?（1）如圖13所示，A （4，a），B （-2，-4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=圖象的交點(diǎn)，點(diǎn)C是直線AB與y軸的交點(diǎn)，求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，并求△AOB的面積.

（2）如圖14所示，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，在直線CB上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.

分析？搖 （1）由題可知，易求出兩個函數(shù)的解析式，則A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)可知. 由模型可得，水平寬=A的橫坐標(biāo)-B的橫坐標(biāo)，鉛垂高=OC，所以利用公式可求得面積.

（2）由題可得拋物線的解析式為y=-x2+2x+3，設(shè)存在這樣的點(diǎn)P. 因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以可設(shè)P（m，-m2+2m+3）. 又因?yàn)橹本€BC的解析式為y=-x+3，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線CB于點(diǎn)M，則M（m，-m+3），于是△PBC的水平寬=B的橫坐標(biāo)-C的橫坐標(biāo)=3，鉛垂高=PM=P的縱坐標(biāo)-M的縱坐標(biāo)=（-m2+2m+3）-（-m+3）=-m2+3m. 所以S=×3×（-m2+3m）=-m2+m，所以當(dāng)m=時(shí)，存在點(diǎn)P，使△PBC的面積最大， 此時(shí)P，.

模型四：四點(diǎn)共圓模型

模型展示？搖 如圖15和圖16所示，∠C，∠D都是直角，AB是公共的斜邊，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓.

應(yīng)用及分析？搖 （2011年浙江紹興中考）拋物線y=-（x-1）2+3與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，對稱軸BC與x軸交于點(diǎn)C.

（1）如圖17所示，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及線段OC的長.

（2）點(diǎn)P在拋物線上，直線PQ∥BC交x軸于點(diǎn)Q，連結(jié)BQ.

①若含45°角的直角三角板如圖18所示放置，其中一個頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一個頂點(diǎn)E在PQ上，求直線BQ的函數(shù)解析式;

②若含30°角的直角三角板一個頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在直線BQ上，另一個頂點(diǎn)E在PQ上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

分析？搖 因?yàn)椋?）中∠CDE=∠CQE=90°，所以由四點(diǎn)共圓模型可知，以CE為直徑畫圓，則D，C，Q，E都在該圓上，又同弧所對的圓周角相等，所以∠CQB=∠E，從而確定了直線BQ的斜率，再利用點(diǎn)斜式，直線解析式迎刃而解.

著名科學(xué)家錢學(xué)森先生說：模型就是通過對問題的現(xiàn)象進(jìn)行分析，利用我們考慮得來的原理吸收一切主要因素，略去一些不主要因素，所創(chuàng)造出來的一幅圖畫……模型其實(shí)就是一種最簡化的圖形，在學(xué)習(xí)中，它由最小的知識模塊和操作方法組成. 模型解題是：用最簡單的模塊對應(yīng)的規(guī)律去解決各種各樣的問題. 其實(shí)，每一個教師都可以創(chuàng)造出“模型”，同樣，每一個學(xué)生也可以. 比如去年我的學(xué)生自己總結(jié)出的模型：當(dāng)題目中出現(xiàn)兩個直角三角形相似時(shí)，可以用相等銳角的同一種三角函數(shù)來列四條線段成比例，這樣就免去了找對應(yīng)線段的麻煩. 再如，相似三角形中被大家所熟悉的基本模型——A型、X型、M型、母子相似圖形，三垂足模型，我們都用得得心應(yīng)手. 綜上所述，只要我們善于思考、勤于發(fā)現(xiàn)，“模型”還會有更多，它是教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的結(jié)晶，能抓住題型的本質(zhì)規(guī)律，提煉出若干個簡單的解題模型. 通過“抓題型、套模型、出結(jié)果”的解題步驟，能實(shí)現(xiàn)利用有型的模塊，解決千變?nèi)f化的試題，讓解題由難變易，化繁為簡.