課例“垂徑定理”教案賞析

徐建華

[摘 ?要] 圓是初中數(shù)學(xué)幾何部分非常重要的知識(shí)，它是軸對(duì)稱圖形，垂徑定理是圓對(duì)稱性衍生出的一個(gè)重要性質(zhì)，在圓的很多問(wèn)題中都需要用到垂徑定理及其推論. 上好這節(jié)課事關(guān)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)，值得仔細(xì)探究與學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 垂徑定理;激疑引趣

垂徑定理是蘇教九年級(jí)上冊(cè)圓的對(duì)稱性這一節(jié)的重要內(nèi)容，它是圓對(duì)稱的具化反映，是圓對(duì)稱性的延伸與拓展，揭示了圓的弦與直徑、弧與弧之間的幾何關(guān)系和代數(shù)關(guān)系. 通過(guò)垂徑定理的探究與運(yùn)用，會(huì)向?qū)W生滲透“特殊—一般—特殊”的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、歸納概括的能力.

聯(lián)系語(yǔ)文，激疑引趣

1. 語(yǔ)文課例：在初中語(yǔ)文八年級(jí)上冊(cè)中，同學(xué)們都學(xué)過(guò)“中國(guó)石拱橋”這一課文. 課文向同學(xué)們?cè)敿?xì)介紹了位于河北境內(nèi)現(xiàn)存最早的石拱橋——趙州橋. 大家還記得課文插圖中趙州橋的樣子嗎？現(xiàn)在為了對(duì)這座古老的橋梁進(jìn)行進(jìn)一步研究，需要對(duì)其進(jìn)行測(cè)算.

2. 問(wèn)題引入：如圖1所示，趙州橋是一座圓弧形拱橋，它橋拱的跨度為37.4 m，拱高7.2 m，問(wèn)：橋拱的半徑是多少？（注：跨度即為橋拱所對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)，拱高即弧的中點(diǎn)到弦的長(zhǎng)度）

賞析？搖 以學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)的語(yǔ)文課文為引子，有兩點(diǎn)好處：其一，這是學(xué)生們熟悉的內(nèi)容，根據(jù)心理學(xué)研究，學(xué)生在遇到自己熟悉的內(nèi)容時(shí)往往會(huì)高度注意;其二，將語(yǔ)文與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來(lái)，會(huì)引起學(xué)生的好奇心，更易投入到本課的學(xué)習(xí)中.

循序漸進(jìn)，猜想定理

數(shù)學(xué)是一門(mén)猜想的學(xué)科，許多偉大的數(shù)學(xué)定理都是由數(shù)學(xué)猜想開(kāi)始的. 為了使學(xué)生們能夠通過(guò)自我探究得到垂徑定理，本課學(xué)習(xí)由猜想開(kāi)始.

1. 舊知回顧，承上啟下

觀察圖2和圖3，并通過(guò)模型實(shí)驗(yàn)回答下列問(wèn)題.

（1）在圖2中，弦AB將⊙O分成了兩部分，說(shuō)出每部分的名稱.

（2）移動(dòng)圖2中的AB，使之過(guò)圓點(diǎn)（圖3），此時(shí)⊙O被分成的兩部分各叫什么？它們存在什么樣的關(guān)系？若將⊙O沿著AB對(duì)折（圖3），兩者能重合嗎？

賞析？搖 為了保證學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的自我探究，教師可讓學(xué)生事先準(zhǔn)備好幾張圓形紙片，并讓學(xué)生在回答問(wèn)題前先動(dòng)手實(shí)驗(yàn)——將圓形紙片沿任意一條直徑對(duì)折，觀察能否重合. （有些老師喜歡再用電腦去演示，筆者認(rèn)為這是多此一舉，因?yàn)閷W(xué)生通過(guò)親身體驗(yàn)已經(jīng)得到了最直觀的感受，況且電腦演示的直觀程度比實(shí)物的直觀程度低）通過(guò)學(xué)生的驗(yàn)證，我們得到了有關(guān)圓的最基本性質(zhì)——圓的對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，任意一條直徑所在的直線均是它的對(duì)稱軸.

2. 運(yùn)動(dòng)變換，猜想結(jié)論

（1）變動(dòng)中尋找規(guī)律

觀察圖4、圖5和圖6中弦AB的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，分析圖形并回答下列問(wèn)題.

①圖4中，AB和CD為⊙O的兩條直徑，找出圓中相等的線段與弧.

②圖5中，直徑AB與CD相互垂直，圖中相等的線段與弧有哪些？

③圖6中，保持AB與CD的垂直關(guān)系，上下平移弦AB，圓中存在哪些相等的線段與?。?/p>

④通過(guò)上面三幅圖的變換過(guò)程，你能否從中找到什么規(guī)律？

（2）猜想中歸納結(jié)論

根據(jù)上述三幅圖形的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程及探究得出的結(jié)論，我們可以大膽地做出如下猜測(cè)：

觀察圖6，AB為⊙O上任意一條弦，CD為⊙O的一條直徑，AB和CD的關(guān)系是相互垂直，發(fā)現(xiàn)在上下平移AB的過(guò)程中，無(wú)論AB處于何位置，都存在這樣的關(guān)系：AE=BE，=，=，因此，我們可以大膽地猜測(cè)這樣的結(jié)論：在⊙O中，AB為圓的任意一條弦，CD為⊙O的一條直徑，且AB⊥CD，垂足為點(diǎn)E，則AE=BE，=，=.

賞析？搖 在教學(xué)過(guò)程中，直接拋出垂徑定理的命題讓學(xué)生運(yùn)用已有知識(shí)去證明，這是以往大多數(shù)教師采用的方法——講授法，但這樣就缺失了學(xué)生們的自我探究過(guò)程. 教學(xué)設(shè)計(jì)中通過(guò)兩條直徑相交，到兩直徑垂直，再到直徑與非直徑的弦垂直，給予了學(xué)生探究的空間，讓學(xué)生有了足夠的思維時(shí)間，體現(xiàn)了學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的動(dòng)態(tài)性和發(fā)現(xiàn)性，契合了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

逐步探究，證明定理

1. 引導(dǎo)證明，歸納定理

理論的猜想需要嚴(yán)格的說(shuō)理論證才能被運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)，為了證明我們的猜想，可對(duì)上述猜想進(jìn)行更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撜f(shuō)明. 上述猜想可以轉(zhuǎn)化成如下題設(shè)：

如圖7所示，AB是⊙O的任意一條弦，CD為⊙O的一條直徑，AB⊥CD，垂足為E，求證：AE=BE，=，=.

分析？搖 要證明AE=BE，題設(shè)中已知AB⊥CD，自然想到利用等腰三角形三線合一定理，因此需要構(gòu)造三角形. 而弧相等可以考慮用圓心角所對(duì)應(yīng)的弧相等或者用對(duì)稱性來(lái)完成.

證明？搖 ①連結(jié)AO，BO，則AO=BO.

AO=BOAB⊥CD？圯E為AB中點(diǎn)？圯AE=BE.

②由①知OC為∠AOB的平分線？圯∠AOC=∠BOC？圯=.

∠AOC=∠BOC∠COD=∠DOC？圯∠AOD=∠BOD？圯=.

通過(guò)上述證明過(guò)程，我們可以清晰地歸納出垂徑定理：

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧. 數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：CD⊥AB，垂足為ECD是圓O的直徑，AB為圓O的弦？圯=AE=BE=

2. 鞏固定理，探究變式

仔細(xì)分析垂徑定理，可以發(fā)現(xiàn)它的構(gòu)成包含五個(gè)要件：①CD為圓O的直徑;②AB⊥CD;③AE=BE;④=;⑤=. 那么如果知曉其中任意兩個(gè)條件，能否確定其他三者呢？我們需要進(jìn)一步探究.

探究1？搖 在圓O中，AB為弦（非直徑），CD為圓O的直徑，且CD過(guò)AB的中點(diǎn)E，求證：AB⊥CD;=;=.

【可概括為平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧】

探究2？搖 在圓O中，CD為圓O的直徑，AB為圓O的弦，且AB與CD交于點(diǎn)E，=，求證：AB⊥CD;AE=BE;=.

【可概括為平分弦所對(duì)劣弧的直徑，垂直平分弦并且平分弦所對(duì)的優(yōu)弧】

探究3？搖 在圓O中，CD為圓O的直徑，AB為圓O的弦，且AB與CD交于點(diǎn)E，=，求證：AB⊥CD;AE=BE;=.

【可概括為平分弦所對(duì)優(yōu)弧的直徑，垂直平分弦并且平分弦所對(duì)的劣弧】

探究4？搖 在圓O中，CD和 AB均為圓O的弦，AB⊥CD于點(diǎn)E，且AE=BE，求證：CD為圓O直徑;=;=.

【可概括為圓O的一條弦被另一條弦垂直平分，則此直線為直徑，并且此直徑平分弦所對(duì)的弧】

問(wèn)：通過(guò)以上四個(gè)探究過(guò)程，你可以找到什么規(guī)律？

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)垂徑定理反映的是直徑、弦和弧之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到任意選擇垂徑定理構(gòu)成要件中的兩個(gè)要件，均可以得出其他三個(gè)要件.

為了使學(xué)生明確垂徑定理的構(gòu)成要件，鞏固所學(xué)知識(shí)，安排圖8至圖11四幅圖讓學(xué)生判斷能否使用垂徑定理或其推論.

再次向?qū)W生強(qiáng)調(diào)垂徑定理的運(yùn)用需要兩個(gè)條件，缺一不可.

賞析？搖 所謂不憤不啟，不悱不發(fā)，在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)力促學(xué)生達(dá)到憤悱的狀態(tài)，然后給予啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生論證垂徑定理. 接著，通過(guò)變換垂徑定理的條件與結(jié)論，讓學(xué)生自行論證，總結(jié)出垂徑定理中的五個(gè)要件，且只要滿足兩個(gè)就可以得出其他三個(gè)這樣的規(guī)律. 讓學(xué)生完整無(wú)缺地經(jīng)歷垂徑定理的知識(shí)探究過(guò)程，在探究的過(guò)程中提升思維的分析能力.

設(shè)置命題，運(yùn)用定理

1. 聯(lián)系勾股定理，運(yùn)用于計(jì)算

案例1？搖 如圖12所示，在圓O中，弦AB的長(zhǎng)為24，點(diǎn)O到AB的距離為5，求圓O的半徑.

分析？搖 這是垂徑定理的使用，根據(jù)條件，點(diǎn)O到AB的距離為5，所以要作OC⊥AB，滿足條件之一垂直;O為圓心，滿足條件之二，OC是過(guò)圓心的直線. 根據(jù)垂徑定理可知C為AB的中點(diǎn)，故BC=12. 要求半徑只需連結(jié)OB，利用勾股定理.

變式1？搖 如圖12所示，OB=5，OC=3，AC=BC，求AB的長(zhǎng).

分析？搖 這是垂徑定理推論的使用，根據(jù)題設(shè)知OC是過(guò)圓心的直線，C是AB的中點(diǎn)，滿足垂徑定理的兩個(gè)要件，因此可知OC⊥AB，再使用勾股定理可以求解BC，進(jìn)而求得AB.

思考？搖 圓的弦長(zhǎng)為2a，圓心到弦的距離為b，圓的半徑為r，則a，b，r三者之間滿足什么樣的關(guān)系？

分析？搖 a，b，r三個(gè)字母分別代表半弦長(zhǎng)、弦心距和半徑，此三條線段組成了一個(gè)直角三角形，因此三者滿足勾股定理，即a2+b2 = r2.

變式2？搖 如圖13所示，在圓O中，AB=16，OC⊥AB于點(diǎn)E，CE=4，求圓O的半徑.

分析？搖 根據(jù)題設(shè)可知，題目條件滿足垂徑定理，BE=8，設(shè)圓的半徑為r，則OE=r-4. 根據(jù)勾股定理可得r2=（r-4）2+82，解得r=10.

問(wèn)：現(xiàn)在你能解決趙州橋的半徑問(wèn)題了嗎？（解略）

2. 聯(lián)系幾何知識(shí)，運(yùn)用于證明

案例2？搖 如圖14所示，在同心圓中，直線分別交大圓與小圓于A，B，C，D四點(diǎn)，求證：AC=BD.

分析？搖 隱去大圓，弦CD是小圓的一個(gè)非直徑弦，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥CD于點(diǎn)E，可以利用垂徑定理，證明CE=DE. 隱去小圓，弦AB為大圓的非直徑弦，A，B，C，D在同一直線上，又OE⊥AB，利用垂徑定理可得AE=BE. 兩式相減可以得到AC=BD.

變式1？搖 圖14中隱去大圓或小圓，需要哪些條件才能證明AC=BD？

變式2？搖 如果是三個(gè)同心圓，你能證明哪些線段相等？

案例2的目的主要是讓學(xué)生明確這樣一個(gè)事實(shí)：過(guò)圓心作弦的垂線是解決這類問(wèn)題常用的方法.

賞析？搖 從代數(shù)和幾何兩方面運(yùn)用垂徑定理，覆蓋了垂徑定理運(yùn)用的面，恰當(dāng)?shù)刈儞Q問(wèn)題題設(shè)與結(jié)論，拓寬了垂徑定理運(yùn)用的范圍與難度，細(xì)化了垂徑定理運(yùn)用的點(diǎn). 學(xué)生在同種題型、不同形式的題目訓(xùn)練中升華了知識(shí)，促進(jìn)了知識(shí)點(diǎn)的遷移.

學(xué)生的學(xué)習(xí)，尤其是數(shù)學(xué)習(xí)題，是一個(gè)逐步探索的過(guò)程，講授法雖然可以高效率地將知識(shí)灌輸給學(xué)生，但學(xué)生的印象卻不如逐步探究來(lái)得深刻. 學(xué)生的發(fā)展是學(xué)生通過(guò)對(duì)一條條定理、一道道例題的自主探究而形成的，教學(xué)中應(yīng)放手讓學(xué)生自我探究，但應(yīng)注意形散而神聚.