一道源自課本的中考綜合題

陳德前

【中考試題】（2014年江蘇省泰州市中考試題第25題，12分）

如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-x+b（b為常數(shù)，b>0）的圖像與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，半徑為4的☉O與x軸正半軸相交于點(diǎn)C，與y軸相交于點(diǎn)D、E，點(diǎn)D在點(diǎn)E上方.

（1） 若直線AB與弧CD有兩個(gè)交點(diǎn)F、G.

①求∠CFE的度數(shù)；

②用含b的代數(shù)式表示FG2，并直接寫出b的取值范圍.

（2） 設(shè)b≥5，在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使∠CPE=45°？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【課本習(xí)題】（1） （蘇科版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第168頁(yè)第8題第1小題）已知一次函數(shù)y=2x+b，它的圖像與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積等于4，求b的值；

（2） （九年級(jí)上冊(cè)第53頁(yè)操作與思考1）在圖2中，OB⊥OC，畫所對(duì)的圓周角∠BAC. 所對(duì)的圓周角可以畫多少個(gè)？你畫的圓周角為多少度？試說(shuō)明理由；

（3） （蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第49頁(yè)第5題）如圖3，在☉O中，直徑AB=10，弦CD⊥AB，垂足為E，OE=3，求弦CD的長(zhǎng)；

（4） （蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第55頁(yè)例1）如圖4，☉O的弦AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，∠AOD=150°，為70°，求∠ABD、∠AED的度數(shù).

【兩者對(duì)比】命題者首先巧妙地將課本題第（2）題中90°的圓心角與課本題第（1）題中平面直角坐標(biāo)系整合，把圓周優(yōu)弧上的任意一點(diǎn)演變?yōu)橹本€與圓的交點(diǎn)，設(shè)計(jì)出了試題的第（1）題第①問(wèn)；再將平面直角坐標(biāo)系中直線與圓相交截得的弦長(zhǎng)與課本題第（3）題求圓中的弦長(zhǎng)結(jié)合，考慮到含有參數(shù)字母b，設(shè)計(jì)為求弦長(zhǎng)的平方，并考慮參數(shù)字母b的取值范圍，即得到了試題的第（1）題第②問(wèn)；最后再與課本題第（4）題綜合，利用參數(shù)b的取值范圍隱含了直線與圓的兩種位置關(guān)系——相切和相離，進(jìn)而根據(jù)直線上的點(diǎn)可在圓上，也可在圓外，將問(wèn)題設(shè)計(jì)成存在性探索題，得到了試題的第（2）題.

【試題分析】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，圓心角、圓周角、圓外角及其之間的關(guān)系，三角形的面積公式，直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，以及轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、模型思想、分類思想、方程思想、面積法等數(shù)學(xué)思想方法.

對(duì)于第（1）①題，可以直接應(yīng)用圓心角與圓周角的關(guān)系得到答案；也可以連接CD，利用△OCD是等腰直角三角形和圓周角定理的推論得到答案；還可以由的度數(shù)過(guò)渡得到答案，等等. 對(duì)于第（1）②題，首先由FG2想到勾股定理，進(jìn)而聯(lián)想到垂徑定理的基本模型，通過(guò)作OH⊥FG于點(diǎn)H（如圖5），將FG2轉(zhuǎn)化為（2HF）2，這樣只要計(jì)算HF2即可. 由于已知了圓的半徑，因此只要求出OH即可，而計(jì)算OH可謂“八仙過(guò)海，各顯神通”：可以由已知Rt△ABO的三邊（均用含b的代數(shù)式表示），利用面積法得到OH；也可以利用數(shù)形結(jié)合思想，抓住兩條直線互相垂直時(shí)比例系數(shù)k之間的關(guān)系，求出直線OH的解析式為y=x，再通過(guò)解方程組得到交點(diǎn)H的坐標(biāo)為

b

，b，進(jìn)而得到OH2=

b2+

b2；今后還可以應(yīng)用相似三角形來(lái)求解，等等. 再借助于幾何直觀，容易寫出b的取值范圍. 對(duì)于第（2）題，由b≥5，考生易想到要應(yīng)用分類思想，分b=5和b>5兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)b=5時(shí)，由第（1）②題中的計(jì)算方法可知OH=5=OC，即直線與圓相切，顯然滿足要求的點(diǎn)P存在（即點(diǎn)H），除了可以運(yùn)用第（1）②題中的多種方法求P點(diǎn)的坐標(biāo)外，還可以設(shè)Px，

-x+5，利用勾股定理得到方程x2+

-x+52=42 來(lái)求解；當(dāng)b>5時(shí)，直線與圓相離，線段AB上的點(diǎn)P都在圓外，構(gòu)造出同弧所對(duì)的圓周角和圓外角的模型，得到圖6，借助于幾何直觀，易知滿足要求的點(diǎn)P不存在，再進(jìn)行說(shuō)理即可. 還有考生寫出圓的方程與一次函數(shù)解析式聯(lián)立，消去y轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次方程后，利用根的判別式和b的取值范圍來(lái)判定直線與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求解，很有創(chuàng)造性..

【滿分解答】（1） ①∠CFE=∠COE=×90°=45°（3分）；②如圖5，作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OG，則FH=HG，由題意可知OA= b，OB=b，∴AB==b，∵ S△OAB=·OA·OB=·OH·AB，∴OH=b（4分），∴在Rt△OHG中，HG2=42-

b2，∴FG2=（2HG）2=64-b2（6分），b的取值范圍是4≤b<5（7分）；

（2） 由（1）知：OH=b. ①當(dāng)b=5時(shí)，OH=OC=4，則AB與☉O相切，切點(diǎn)為H，此時(shí)存在點(diǎn)P，就是點(diǎn)H（8分），計(jì)算得P點(diǎn)坐標(biāo)為

，（9分）；②如圖6，當(dāng)b>5時(shí)，OH=b>4，∴AB與☉O相離（10分），∴P點(diǎn)一定在☉O外，連接PE、PC，設(shè)PE交☉O于點(diǎn)Q，則∠EPC <∠EQC=45°，∴當(dāng)b>5時(shí)，點(diǎn)P不存在（11分），故當(dāng)b=5時(shí)滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為

，，當(dāng)b>5時(shí)滿足條件的P點(diǎn)不存在（12分）.

【誤區(qū)警示】（1） 沒(méi)有注意到直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸互相垂直隱含了90°的角而無(wú)法求出∠CFE的度數(shù)；（2） 不能將FG2轉(zhuǎn)化為（2HF）2，導(dǎo)致無(wú)從下手；（3） 不善于用面積法求OH；（4） 不會(huì)由b≥5聯(lián)想到分類而造成漏解；（5） 只考慮了存在的情況，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)后就認(rèn)為大功告成，忽視了點(diǎn)P不存在的情況及其說(shuō)理.

【歸納啟示】許多中考題都是由課本上的例、習(xí)題改編、組合、引申而來(lái)的，因此我們?cè)趯W(xué)習(xí)中要重視對(duì)課本例、習(xí)題的研究，提高應(yīng)變能力，這樣在解決有關(guān)中考題時(shí)就會(huì)游刃有余. 同時(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)課本題或中考題進(jìn)行一題多解（證），既可以幫助我們復(fù)習(xí)眾多的數(shù)學(xué)知識(shí)，又可以幫助我們學(xué)會(huì)多種解題方法，真可謂一舉多得.

【總結(jié)點(diǎn)評(píng)】中考命題，題在書外，根在書內(nèi)，當(dāng)你讀完本文就會(huì)發(fā)現(xiàn)：許多中考題原來(lái)是由教材上的題目引申而來(lái)的，在課本中可以找到它的原型，此時(shí)你對(duì)中考的恐懼心理大概早已跑到九霄云外去了，所以尋找中考題與課本題的聯(lián)系是很有意義的事.

（作者單位：江蘇省興化市教育局教研室）