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    一題多變 鍛煉思維

    2014-10-29 14:26:09趙健
    初中生世界·九年級(jí) 2014年10期
    關(guān)鍵詞:外角平分線(xiàn)度數(shù)

    趙健

    下面我們從蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第70頁(yè)練習(xí)第1題出發(fā),通過(guò)一題多變來(lái)得到一類(lèi)數(shù)學(xué)題,從中你可以體會(huì)到數(shù)學(xué)題是怎么編擬出來(lái)的,從而不斷提高我們的應(yīng)變能力和思維水平.

    原題:如圖1,點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心,根據(jù)下列條件,求∠BOC的度數(shù).

    (1) ∠ABC=50°,∠ACB=60°;

    (2) ∠A=50°.

    對(duì)于本題的解答,同學(xué)們很容易得到(1)的答案為125°.而對(duì)于(2),由于∠ABC和∠ACB的度數(shù)是沒(méi)有辦法知道的,因此不能像(1)那樣直接求解,但由于已知∠A的度數(shù),因此∠ABC+∠ACB的度數(shù)是可求的,進(jìn)而就可以通過(guò)整體處理來(lái)求出∠BOC的度數(shù).

    在△ABC中,∵∠A=50°,∴∠ABC+∠ACB=130°. ∵∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O,∴∠OBC+∠OCB=65°,∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-65°=115°.

    由上可見(jiàn), ∠A的度數(shù)與∠ABC+∠ACB的度數(shù)互為變式條件,因此這兩個(gè)問(wèn)題可以看成互為變式題.

    應(yīng)用上述方法,可以得到如下一般性的結(jié)論1:

    如圖1, 在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O,則∠BOC=90°+∠A.

    如果繼續(xù)對(duì)本題進(jìn)行變換,又可得到許多的問(wèn)題,通過(guò)這些問(wèn)題的解答,就能更好地鞏固更多的知識(shí)和方法,從而達(dá)到鍛煉思維的目的.

    變式1 上面是已知兩條內(nèi)角平分線(xiàn),如果將其中的一條內(nèi)角平分線(xiàn)改變?yōu)橥饨瞧椒志€(xiàn),則有:

    如圖2,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB

    =60°,∠ABC的平分線(xiàn)和∠ACB的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O(我們把點(diǎn)O稱(chēng)之為△ABC的旁心),求∠BOC的度數(shù).

    【分析】由∠ABC=50°,∠ACB=60°,∠ABC的平分線(xiàn)和∠ACB的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)O,可求得∠OBC和∠BCO的度數(shù),進(jìn)而求出∠BOC的度數(shù).

    解:∵∠ABC=50°,BO平分∠ABC,∴∠OBC=25°;∵∠ACB=60°,∴∠ACD=120°. 又CO平分∠ACD,∴∠ACO=60°,∠OCB=120°,∴∠BOC=35°.

    【小結(jié)】由于已知∠ABC和∠ACB的度數(shù),就可以得到∠A的度數(shù),因此如將已知條件“∠ABC=50°,∠ACB=60°”變換為已知“∠A=70°”也可求出∠BOC的度數(shù).(請(qǐng)自己寫(xiě)出變式并求解)

    由變式1,我們可以得到一個(gè)更一般的結(jié)論2:

    如圖2,在△ABC中,∠A=α,∠ABC的平分線(xiàn)和∠ACB的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O,則∠BOC=α.

    變式2 若將兩條內(nèi)角平分線(xiàn)都變換為外角平分線(xiàn),則有:

    如圖3,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=60°,∠ABC的外角平分線(xiàn)和∠ACB的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O,求∠BOC的度數(shù).

    【分析】由∠ABC=50°,∠ACB=60°,可以求出∠DBC和∠BCE的度數(shù);由∠ABC的外角平分線(xiàn)和∠ACB的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O,可以求出∠OBC和∠BCO的度數(shù),進(jìn)而可以求出∠BOC的度數(shù).

    解:∵∠ABC=50°,∠ACB=60°,∴∠DBC=130°,∠BCE=120°;∵BO平分∠DBC,所以∠OBC=65°;同理,∠OCB=60°,∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=55°.

    【小結(jié)】本題也可以作出∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O′,利用課本習(xí)題的解法或直接應(yīng)用結(jié)論1求出∠BO′C,再由鄰補(bǔ)角的角平分線(xiàn)互相垂直即可得到答案.同樣,將已知條件“∠ABC=50°,∠ACB=60°”變換為已知條件“∠A=70°”,也可以求出∠BOC的度數(shù).(請(qǐng)同學(xué)們自己寫(xiě)出變式并求解)

    由變式2,我們可以得到一個(gè)更一般的結(jié)論3:

    如圖3,在△ABC中,∠A=α,∠ABC的外角平分線(xiàn)和∠ACB的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O,則∠BOC=90°-α.

    你還可以將角平分線(xiàn)變換為高和中線(xiàn),進(jìn)而又可以得到許多變式問(wèn)題.

    變式3 若過(guò)點(diǎn)O作一條直線(xiàn)與△ABC的兩邊(或其延長(zhǎng)線(xiàn))相交,則又可以得到難度較大的新問(wèn)題.

    如圖4,點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心,過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)MN.

    (1) 當(dāng)直線(xiàn)MN與AB、AC的交點(diǎn)仍分別在線(xiàn)段AB和AC上時(shí),如圖①,試探索∠MOB、∠NOC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明你的理由;

    (2) 將直線(xiàn)MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),當(dāng)直線(xiàn)MN與AB的交點(diǎn)仍在線(xiàn)段AB上,而與AC的交點(diǎn)在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),如圖②,試問(wèn)(1)中∠MOB、∠NOC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不成立,請(qǐng)給出∠MOB、∠NOC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

    【解析】(1) 探索可知,∠MOB+∠NOC=90°-∠A. 理由是:由結(jié)論1可知,∠BOC=90°+∠A,則∠MOB+∠NOC=180°-∠BOC=180°-

    90°+∠A=90°-∠A;(2) 探索可知不成立,∠MOB-∠NOC=90°-∠A. 理由是:由圖可知∠MOB+∠BOC-∠NOC=180°,由結(jié)論1可知:∠BOC=90°+∠A,∴∠MOB-∠NOC=180°-∠BOC=180°-

    90°+∠A= 90°-∠A.

    由上面的探索可見(jiàn),許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是通過(guò)研究問(wèn)題的變式得到的.希望你也要學(xué)會(huì)變換題目,進(jìn)而提升自己的應(yīng)變能力.

    小試身手

    1. 如圖5,在△ABC中,∠A=α. ∠ABC與∠ACD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A1,得∠A1;∠A1BC與∠A1CD的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)A2,得∠A2;……;∠A2008BC與∠A2008CD的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)A2009,得∠A2009. 則∠A2009=______.

    2. 如圖6,在變式3的條件下,繼續(xù)將直線(xiàn)MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),當(dāng)直線(xiàn)MN與AB的交點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,而與BC的交點(diǎn)為N時(shí),如圖6,試探索∠MOB、∠NOC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

    (作者單位:江蘇省興化市昭陽(yáng)湖初級(jí)中學(xué))

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