合理選解法 巧妙用“關(guān)系”

張啟

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是大家今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，同時(shí)又是中考的熱點(diǎn)，其中一元二次方程解法的選擇，根與系數(shù)的關(guān)系等都是重點(diǎn)及難點(diǎn).

一、 一元二次方程的解法

解一元二次方程的基本思想是“降次”，通過“降次”將它化為兩個(gè)一元一次方程. 一元二次方程的基本解法有四種：直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法. 在具體問題中如何選擇是同學(xué)們感覺較困難的，下面通過幾個(gè)具體題目給大家分析一下.

例1 解方程：（3x+1）2=9.

【分析】觀察式子的特點(diǎn)，左邊是完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)，可以用直接開平方法解決問題.

解：∵（3x+1）2=9，∴3x+1=±3，

∴x1=，x2=-.

【點(diǎn)評】用直接開平方法解形如（x-m）2=n（n≥0）的方程，其解為x-m=±，即x1=m+，x2=m-，凡是經(jīng)過變形后可以化成上述形式的都可以用直接開平方法求解.

例2 （2014·江蘇徐州）解方程：x2+4x-1=0.

【分析】觀察本題的形式，二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)，可以用配方法解決.

解：∵x2+4x-1=0，

∴x2+4x+4=5，（x+2）2=5，

x1=-2+，x2=-2-.

【點(diǎn)評】本題在配方時(shí)應(yīng)特別注意在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方. 配方是一種基本的變形，解題中雖不常用，但作為一種基本方法要熟練掌握. 配方時(shí)應(yīng)按下面的步驟進(jìn)行：先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到一邊；再在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；最后變?yōu)橥耆椒绞嚼弥苯娱_平方法即可完成解題任務(wù). 一般情況下用于解二次項(xiàng)系數(shù)為1、一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)的一元二次方程較為簡單.

例3 （2014·江蘇無錫）解方程：x2-5x-6=0.

【分析】仔細(xì)觀察本式的特點(diǎn)，二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為-5（奇數(shù)），雖然可以用配方法，但是在配方時(shí)方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，該數(shù)是分?jǐn)?shù)，計(jì)算有點(diǎn)麻煩，所以可以考慮用公式法. 用公式法就是指利用求根公式x=，使用時(shí)應(yīng)先把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a，b，c的值代入求根公式即可得到方程的根，但要注意當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，方程無解. 對于本題應(yīng)先判斷解的情況之后，方可確定是否可直接代入求根公式.

解：∵a=1，b=-5，c=-6，

∴b2-4ac=（-5）2-4×1×（-6）=49>0，

∴x===，

即x1=6，x2=-1.

【點(diǎn)評】公式法可以求任何一個(gè)一元二次方程的解，在找不到簡單方法時(shí)即考慮使用公式法.使用公式法時(shí)應(yīng)先把一元二次方程化為一般形式，明確公式中字母在題中所表示的量，再求出判別式的值，解得的根要進(jìn)行化簡.

例4 （2014·浙江嘉興）方程x2-3x=0的根為________.

【分析】觀察本式的特點(diǎn)會(huì)發(fā)現(xiàn)左邊可以進(jìn)行因式分解，分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，右邊為0，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根，這種求解方程根的方法就是因式分解法.

解：∵x2-3x=0，∴x（x-3）=0，

∴x=0或x-3=0，

∴x1=0，x2=3.

【點(diǎn)評】使用因式分解法時(shí)，方程的一邊分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，另一邊為0，這樣才能達(dá)到降次的目的，進(jìn)而求出方程的解.

【總結(jié)】從上述例題來看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的方法主要為直接開平方法、因式分解法、配方法和利用求根公式法. 在解一元二次方程時(shí)，要先觀察方程是否可以應(yīng)用開平方、分解因式、配方等簡單方法，找不到簡單方法時(shí)，即考慮化為一般形式后使用公式法. 其中直接開平方法是最基本的方法，公式法和配方法是最重要的方法. 公式法適用于任何一個(gè)一元二次方程，在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在使用公式前應(yīng)先計(jì)算出判別式的值，以便判斷方程是否有解. 配方法是推導(dǎo)公式法的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程，除非方程滿足二次項(xiàng)系數(shù)為1、一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)的條件，但是配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的重要的數(shù)學(xué)方法之一.

二、 巧用根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）

今年蘇科版教材對于根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）這部分內(nèi)容有了新的變化，由原來的閱讀材料改變?yōu)檫x講內(nèi)容，這是對根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）的一種重視，我認(rèn)為作為初、高中的一個(gè)銜接內(nèi)容，它的地位有所上升，可以大膽預(yù)測在以后的中考考卷中會(huì)出現(xiàn)相關(guān)的考題. 已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根x1，x2，則x1+x2=-，x1x2=，這就是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，簡稱韋達(dá)定理. 現(xiàn)在就如何利用根與系數(shù)關(guān)系解決一元二次方程中的有關(guān)問題略舉幾例.

例5 （2014·四川南充）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（1） 求實(shí)數(shù)m的最大整數(shù)值；

（2） 在（1）的條件下，方程的實(shí)數(shù)根是x1，x2，求代數(shù)式x2 1+x2 2-x1x2的值.

【分析】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由根的判別式可知b2-4ac>0，就可以求出m的最大整數(shù)值，接著確定該一元二次方程，最后利用韋達(dá)定理求出x1+x2、x1x2的值.

解：（1） 由題意，得：

b2-4ac>0，

即：

-22-4m>0，m<2，

∴m的最大整數(shù)值為m=1.

（2） 把m=1代入關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0，

得x2-2x+1=0，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系：

x1+x2=2，x1x2=1，

∴x2 1+x2 2-x1x2=（x1+x2）2-3x1x2

=（2）2-3×1=5.

【點(diǎn)評】利用根的判別式可以判斷一元二次方程的根的情況，進(jìn)而求出參數(shù)的值，對于第二問求x2 1+x2 2-x1x2的值，求出方程的根，然后代入求解很明顯要復(fù)雜，而借助韋達(dá)定理避免了繁瑣的運(yùn)算，很容易就解決了問題，一般情況下關(guān)于方程根的一些運(yùn)算可以不解方程，利用韋達(dá)定理更簡單，更方便.

例6 （2014·四川瀘州）已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的兩實(shí)數(shù)根. 若（x1-1）（x2-1）=28，求m的值.

【分析】本題是含有參數(shù)的一元二次方程，直接求解方程的根很顯然要復(fù)雜一些，而利用韋達(dá)定理就能很容易得出x1+x2、x1x2，但是對于含參數(shù)的一元二次方程一定要注意對根的判別式的計(jì)算，這是很多同學(xué)最容易遺漏的地方.

解：已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的兩實(shí)數(shù)根，

∴b2-4ac≥0，

即[2（m+1）]2-4×1×（m2+5）≥0，

∴m≥2，

x1+x2=2（m+1），x1x2=m2+5，

∴（x1-1）（x2-1）=x1·x2-（x1+x2）+1=28，

即m2-2m-24=0，

∴m1=6，m2=-4（舍去）. 即m=6.

【點(diǎn)評】對于含有參數(shù)的一元二次方程利用韋達(dá)定理，一定要注意驗(yàn)證根的判別式. 和根有關(guān)的運(yùn)算首先要考慮利用韋達(dá)定理. 作為新教材的一個(gè)變化，我相信它的地位會(huì)越來越重要，希望同學(xué)們引起足夠的重視.

小試身手

1. （2014·山東威海）方程x2-（m+6）x+m2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且滿足x1+x2=x1x2，則m的值是（ ）.

A. -2或3 B. 3

C. -2 D. -3或2

2. （2014·山東德州）方程x2+2kx+k2-2k+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x2 1+x2 2=4，則k的值為______.

3. 選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?

（1） 3x2+4x-7=0；

（2） 4（x-1）2-9=0；

（3） （x+2）2=2x+4；

（4） （x-1）（x+2）=4；

（5） x2-4x-1=0.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學(xué)）