剖析概念 巧思妙解

卜文靜

一元二次方程是在同學(xué)們掌握一元一次方程以及一次方程組相關(guān)知識的基礎(chǔ)上展開的，它是對方程知識的延續(xù)和深化，在初中數(shù)學(xué)中有著重要的地位. 深刻理解本章的概念是學(xué)好一元二次方程的前提.

一、 一元二次方程的概念

方程中只含有一個未知數(shù)（元）且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的整式方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2是二次項，bx是一次項，c是常數(shù)項，a、b、c是常數(shù).

注：a≠0是一個重要條件，也可說成是定義的一部分，否則就不能保證該方程未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，方程就不可能是一元二次方程.

由定義可知一元二次方程必須同時滿足三個條件：

①是整式方程，即等號兩邊必須都是整式，如果方程中的未知數(shù)在分母上，那么這個方程就不是一元二次方程；②只含有一個未知數(shù)（元）；③未知數(shù)的最高次數(shù)是二次.

例1 已知關(guān)于x的方程（m-3）xm2-7-x=5是一元二次方程，求m的值.

【分析】要求m的值，只需令x的最高次數(shù)等于2，且系數(shù)不等于0即可.

解：由題意得m2-7=2，

m-3≠0.解之得：m=-3.

【點評】該題主要考查一元二次方程的概念，必須滿足未知數(shù)的最高次數(shù)是二次且二次項的系數(shù)不等于0.

二、 一元二次方程的解法

1. 直接開平方法

形如（x+m）2=n（n≥0）的一元二次方程，一般采用直接開平方法求解.

例2 （2014·重慶）方程（x-1）2=4的解為______.

解：因為x-1是4的平方根，

所以x-1=±=±2.

即 x1=3，x2=-1.

2. 因式分解法

例3 解方程：4（2x-1）2=（x+1）2.

【分析】先將方程右邊的項移到方程左邊變形后得到a2-b2=0的形式，然后可利用平方差公式進行求解.

解：移項得，4（2x-1）2-（x+1）2=0.

變形得，[2（2x-1）+x+1][2（2x-1）-（x+1）=0.

整理得，（5x-1）（3x-3）=0.

解之得，x1=，x2=1.

3. 配方法

配方法的步驟：①把原方程化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②化二次項系數(shù)為1，并把常數(shù)項移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；④方程左邊寫成完全平方式，右邊化成常數(shù)；⑤利用直接開平方法求解.

例4 （2014·北京）解方程：x2+4x-1=0.

解：移項得：x2+4x=1.

配方得：（x+2）2=5.

解之得：x1=-2+，x2=-2-.

【點評】本題是較簡單的用配方法解方程，只需把常數(shù)項移到方程右邊，方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方就能解決.

4. 公式法

對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當b2-4ac≥0時，方程的根是x=，這種求一元二次方程解的方法叫做公式法. 由x=可知方程的根由方程的系數(shù)確定，并且滿足x1+x2=-，x1·x2=.

例5 （2014·山東淄博）若關(guān)于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的兩個實數(shù)根分別是x1，x2且滿足x1+x2=x1·x2，則k的值為（ ）.

A. -1或 B. -1

C. D. 不存在

【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得到一個關(guān)于k的一元二次方程，再解出k值，進而得到答案.

解：由題意得，x1+x2=-k，x1·x2=4k2-3，所以-k=4k2-3.

解之得 k=-1或.

當k=-1時，方程為x2-x+1=0，b2-4ac=1-4×1×1=-3<0，這與方程有兩個實數(shù)根不符，故舍去，選C.

【點評】只由根與系數(shù)的關(guān)系求出的方程中參數(shù)的值，往往不一定都符合題意，要應(yīng)用根的判別式加以驗證. 該題目是一元二次方程根與系數(shù)、根的判別式的應(yīng)用的綜合題，考查了學(xué)生對相關(guān)知識的靈活運用能力.

小試身手

1. 若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+m=0沒有實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）.

A. m<1 B. m>-1

C. m>1 D. m<-1

2. 用配方法解方程x2-4x+2=0，下列配方正確的是（ ）.

A. （x-2）2=2 B. （x+2）2=2

C. （x-2）2=-2 D. （x-2）2=6

3. 關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根同為負數(shù)，則（ ）.

A. p>0且q>0 B. p>0且q<0

C. p<0且q>0 D. p<0且q<0

4. 方程（x-1）2=4的解為______.

5. 已知x=1是一元二次方程ax2+bx-40=0的一個解，且a≠b，求的值.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學(xué)）