一元二次方程錯(cuò)題檔案

史新景

有人說(shuō)：“數(shù)學(xué)就像一棵郁郁蔥蔥的參天大樹(shù)，各知識(shí)點(diǎn)就是它的枝節(jié). ”由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)之間聯(lián)系密切，任何一個(gè)知識(shí)點(diǎn)出了問(wèn)題都不能形成一個(gè)較完整的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu). 本文就平時(shí)學(xué)生習(xí)題中常出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行整理，希望同學(xué)們能夠“以錯(cuò)為鑒”，避免再犯類(lèi)似的錯(cuò)誤.

一、 定義理解不透徹

例1 下列方程是一元二次方程的是______.

①x2+1=0，②x2=0，③x++1=0，④2x（x+2）=2x2，⑤ax2+bx+c=0，⑥x2+2x+=0.

【錯(cuò)解】①、②、③、④、⑤.

【剖析】一元二次方程滿(mǎn)足的條件是：（1）只含有一個(gè)未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)為2；（3）整式方程.一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0）.③不是一元二次方程，因?yàn)闆](méi)有注意到等號(hào)的兩邊應(yīng)該都是整式；④不是一元二次方程，因?yàn)閷⒎匠陶頌橐话阈问胶螅瑳](méi)有二次項(xiàng)；⑤不是一元二次方程，因?yàn)闆](méi)有指出二次項(xiàng)系數(shù)a不為0；⑥是一元二次方程，和都是整式. 所以，是一元二次方程的有： ①、②、⑥.

二、 忽視二次項(xiàng)系數(shù)不為零

例2 方程（k+1）xk2+1+4x-5=0是關(guān)于x的一元二次方程，求k的值.

【錯(cuò)解】根據(jù)題意可得k2+1=2，∴k=±1.

【剖析】在解本題過(guò)程中忽略了一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零的條件.

解：根據(jù)題意得，k2+1=2，∴k=±1，又k+1≠0，即k≠-1，∴k=1.

三、 混淆方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根與方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

例3 關(guān)于x的方程（m2-1）x2+（2m+2）x+1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的值.

【錯(cuò)解】∵關(guān)于x的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴b2-4ac=（2m+2）2-4（m2-1）=8m+8=0，

∴m=-1.

【剖析】方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根，暗示這個(gè)方程是一元一次方程，錯(cuò)解中誤認(rèn)為它與一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根是等同的.

解：∵關(guān)于x的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴這個(gè)方程是一元一次方程，即m2-1=0且2m+2≠0. ∴m=1.

四、 方程類(lèi)型不明確時(shí)，漏掉方程為一元一次方程的情況.

例4 （2012·山東德州）若關(guān)于x的方程ax2+ 2（a+2）x+a=0有實(shí)數(shù)解，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

【錯(cuò)解】a≠0，

[2（a+2）]2-4·a·a≥0，

即a≠0，

a≥-1.

∴當(dāng)a≥-1且a≠0時(shí)，方程有實(shí)根.

【剖析】已知條件中二次項(xiàng)系數(shù)是一個(gè)字母，方程有解并不意味著該方程一定為一元二次方程，上述解答過(guò)程只考慮了方程是一元二次方程時(shí)方程有根的情況，忽略了該方程為一元一次方程的情況.

解：①當(dāng)a=0時(shí)，方程4x=0，x=0；

②當(dāng)a≠0時(shí)，一元二次方程有實(shí)根，

所以a≠0，

[2（a+2）]2-4·a·a≥0，

即a≠0，

a≥-1.

所以a≥-1且a≠0.

綜合①、②，當(dāng)a≥-1時(shí)，

方程ax2+2（a+2）x+a=0有實(shí)數(shù)解.

五、 盲目“套用”求根公式

例5 用公式法解方程x2+7x=5.

【錯(cuò)解】∵a=1，b=7，c=5，

∴b2-4ac=72-4×1×5=29，

∴x==，

即x1=，x2=.

【剖析】用公式法求解一元二次方程時(shí)應(yīng)先將方程化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），錯(cuò)解中沒(méi)有將方程化成“一般式”，誤認(rèn)為常數(shù)項(xiàng)c=5.

解：移項(xiàng)得x2+7x-5=0，

∵a=1，b=7，c=-5，

∴b2-4ac=72-4×1×（-5）=69，

∴x==，

即x1=，x2=.

六、 誤用性質(zhì)導(dǎo)致丟根

例6 解方程：（x+1）2=2（x+1）.

【錯(cuò)解】方程兩邊同除以（x+1），得x+1=2，所以x=1.

【剖析】錯(cuò)解中，方程兩邊同除以因式x+1，沒(méi)有考慮到x+1=0的情況，造成丟根.

解：原方程可變形為（x+1）2-2（x+1）=0，（x+1）（x+1-2）=0，（x+1）（x-1）=0，所以x1=1，x2=-1.

七、 忽視一元二次方程的根為負(fù)數(shù)

例7 已知α，β為一元二次方程x2+7x+5=0的兩實(shí)數(shù)根，求+的值.

【錯(cuò)解】∵α，β為一元二次方程x2+7x+5=0的兩實(shí)數(shù)根，

∴α+β=-=-7，αβ==5，

∴+=+===-.

【剖析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=-=-7，αβ==5，這說(shuō)明α，β同為負(fù)數(shù)，所以在對(duì)+化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)注意符號(hào)問(wèn)題.

解：∵α，β為一元二次方程x2+7x+5=0的兩實(shí)數(shù)根，

∴α+β=-=-7，αβ==5.

∴+=+=

-=-=.

八、 忽略一元二次方程有實(shí)根的條件

例8 （2014·山東煙臺(tái)）關(guān)于x的方程x2-mx+2m=0的兩根的平方和是5，則m的值是（ ）.

A. -1或5 B. 1

C. 5 D. -1

【錯(cuò)解】設(shè)方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=m，x1·x2=2m，

∵x2 1+x2 2=5，

∴（x1+x2）2-2x1·x2=5，

∴m2-4m-5=0，

∴m1=5，m2=-1，故選A.

【剖析】當(dāng)a=5時(shí)b2-4ac=（-5）2-4×1×10=-15<0，此時(shí)方程無(wú)解，錯(cuò)解中忽略了一元二次方程有實(shí)根時(shí)必須滿(mǎn)足b2-4ac≥0這一條件.

解：設(shè)方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=m，x1·x2=2m，

∵x2 1+x2 2=5，

∴（x1+x2）2-2x1·x2=5，

∴m2-4m-5=0，∴m1=5，m2=-1.

∵b2-4ac=m2-8m≥0，

∴m≠5，故m=-1. 選 D.

九、 未充分利用題目中的條件

例9 如圖1，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園ABCD（圍墻MN最長(zhǎng)可利用25 m），現(xiàn)在已備足可以砌50 m長(zhǎng)的墻的材料，當(dāng)AB的長(zhǎng)度為多少時(shí)能使矩形花園的面積為300 m2.

【錯(cuò)解】設(shè)AB=x m，則BC=（50-2x） m.

根據(jù)題意得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15，

答：當(dāng)AB的長(zhǎng)為15米或10米時(shí)能使矩形花園的面積為300 m2.

【剖析】對(duì)于一些方程根的取舍問(wèn)題，關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，充分考慮到題目給出的條件或者隱含條件. 錯(cuò)解中沒(méi)有注意到圍墻MN最長(zhǎng)可利用25 m，當(dāng)AB=10時(shí)，BC=50-2×10=30>25， 不符合題意，應(yīng)舍去.

解：設(shè)AB=x m，則BC=（50-2x） m.

根據(jù)題意得，x（50-2x）=300，

解得：x1=10，x2=15.

當(dāng)x=10時(shí)，BC=50-2×10=30>25，不合題意，舍去；

當(dāng)x=15時(shí)，BC=50-2×15=20<25.

答：當(dāng)AB的長(zhǎng)為15 m時(shí)能使矩形花園的面積為300 m2.

相信同學(xué)們會(huì)結(jié)合以上錯(cuò)解剖析，診斷出自己的問(wèn)題來(lái)“對(duì)癥下藥”，牢固地掌握一元二次方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，在考試中力爭(zhēng)零失分！

小試身手

1. 已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則下列關(guān)于判別式b2-4ac的判斷正確的是（ ）.

A. b2-4c≥0 B. b2-4c=0

C. b2-4c<0 D. b2-4c>0

2. 已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（ ）.

A. a>2 B. a<2

C. a<2且a≠1 D. a<-2

3. 下列一元二次方程兩實(shí)數(shù)根和為 -4的是（ ）.

A. x2+2x-4=0 B. x2-4x+4=0

C. x2+4x+10=0 D. x2+4x-5=0

4. 方程（x-1）（x+2）=2（x+2）的根是（ ）.

A. 1，-2 B. 3，-2

C. 0，-2 D. 1

5. 某單位準(zhǔn)備將院內(nèi)一塊長(zhǎng)30 m，寬20 m的長(zhǎng)方形空地，建成一個(gè)矩形花園，要求在花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方種植花草. 如圖2所示，要使種植花草的面積為532 m2，那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為多少米？（注：所有小道進(jìn)出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形）.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）