例談三角函數(shù)最值問題的突破策略

梁有福

[摘要]三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考中的“?？汀?。三角函數(shù)具備了函數(shù)的各種性質(zhì)，其圖像也具有周期性和對(duì)稱性，所以備受高考命題者的青睞。這類題經(jīng)?？疾槿呛瘮?shù)的周期性、對(duì)稱性以及最值問題，綜合性比較強(qiáng)。研究三角函數(shù)的最值問題的突破策略具有實(shí)際意義。

[關(guān)鍵詞]三角函數(shù)；最值問題；突破；策略

[中圖分類號(hào)]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1674-6058（2017）23-0019-02

三角函數(shù)是高中階段學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容。高考數(shù)學(xué)一直注重學(xué)生的能力、技巧的考查。最值問題是一種典型的考查學(xué)生能力的題目。最值和函數(shù)的圖像聯(lián)系得比較緊密，貫穿高中學(xué)習(xí)的各個(gè)知識(shí)模塊。最值問題經(jīng)常與二次函數(shù)、不等式相結(jié)合，對(duì)學(xué)生的能力要求比較高。在日常教學(xué)中，教師應(yīng)該注意以下幾個(gè)方面。

一、解最值問題的常用方法

三角函數(shù)的最值是研究三角函數(shù)的重要手段之一，也是高考的熱點(diǎn)。三角函數(shù)的最值解題過(guò)程涉及三角函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)和誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)之間的等式代換。很多學(xué)生不知道該如何將這些抽象的題目轉(zhuǎn)化成自己學(xué)過(guò)的知識(shí)，做題的時(shí)候沒有思路。對(duì)此，教師必須教會(huì)學(xué)生解最值問題的方法。

解最值問題的常用方法有：

（1）配方法。利用三角函數(shù)理論以及三角函數(shù)的有界性，將問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題。運(yùn)用這種解題方法，可以將三角函數(shù)中抽象的最值問題，轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的二次函數(shù)，從而求出某區(qū)間三角函數(shù)的最值。

（2）三角法。將題目中的三角函數(shù)通過(guò)恒等變換，轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的三角函數(shù)的式子，利用三角函數(shù)的有界性，如|sinx|≤1或|cosx|≤1，求出三角函數(shù)的最值。

（3）換元法。表達(dá)式中同時(shí)含有sinx+cosx與sinxcosx的函數(shù)，運(yùn)用關(guān)系式（sinx±cosx）²=1±2sinxcosx，一般都可采用換元法轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)去求最值，但必須要注意換元后新變量的取值范圍。這種求最值的方法，可以簡(jiǎn)化過(guò)程，讓解題過(guò)程更簡(jiǎn)便。endprint