考慮隨機(jī)因素的歐式期權(quán)二叉樹(shù)定價(jià)

俞灝

【摘要】在新型二叉樹(shù)參數(shù)模型的基礎(chǔ)上，引入隨機(jī)的系數(shù)變量，推導(dǎo)歐式期權(quán)價(jià)格。

【關(guān)鍵詞】期權(quán)定價(jià)；二叉樹(shù)圖定價(jià)方法；隨機(jī)性

期權(quán)是一種賦予持有人在某給定時(shí)間或該日期之前的任何時(shí)間以固定價(jià)格購(gòu)進(jìn)或售出某項(xiàng)標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利的合約。1979年Cox、Ross和Rubinstein提出二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)（CRR）模型，最初是為Black-Scholes模型提供一種簡(jiǎn)單的推導(dǎo)方法，但隨著研究的深入，二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)（CRR）模型不僅成為解釋Black-Scholes模型的一種輔助工具，而且也是建立復(fù)雜期權(quán)定價(jià)模型的重要手段。其后，推導(dǎo)出新型二叉樹(shù)參數(shù)模型[3]，以克服二叉樹(shù)期權(quán)定價(jià)（CRR）模型的不足。

本文就二叉樹(shù)模型的系數(shù)變量的隨機(jī)性進(jìn)行探討，并在新型二叉樹(shù)參數(shù)模型的基礎(chǔ)上，引入隨機(jī)的系數(shù)變量，推導(dǎo)歐式期權(quán)價(jià)格。為方便，假設(shè)市場(chǎng)股票不分紅且沒(méi)有稅費(fèi)、交易成本和邊際成本。

一、原有二叉樹(shù)參數(shù)模型的構(gòu)造

構(gòu)造二叉樹(shù)參數(shù)模型的基本思路就是讓?duì)時(shí)間間隔內(nèi)二叉樹(shù)模型中的均值和方差與股票價(jià)格的行為模式中推導(dǎo)出的均值和方差相等，以此建立方程組，進(jìn)而求出參數(shù)p，u，d。二叉樹(shù)模型首先把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔Δt，并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔Δt內(nèi)證券價(jià)格只有兩種變化：從開(kāi)始的S上升到原來(lái)的u倍，即到達(dá)Su；下降到原來(lái)的d倍，即Sd。其中，u>1，d<1，價(jià)格上升的概率假設(shè)為p，下降的概率假設(shè)為1-p。在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里：

（1）所有可交易證券的期望收益率都是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率；

（2）未來(lái)現(xiàn)金流可以用其期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)。

在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，設(shè)當(dāng)前時(shí)刻t的股票價(jià)格為S，標(biāo)的證券的預(yù)期收益率應(yīng)等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，已知股票價(jià)格行為模型（有時(shí)也稱為幾何布朗運(yùn)動(dòng)）為：

dS=rSdt+σSdZ

其中r是股票價(jià)格的預(yù)期收益率，σ是股票價(jià)格的波動(dòng)率，dW=εXΔt是標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程，ε為從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中抽取的隨機(jī)值。假定期初的股價(jià)為St，則在很短的時(shí)間間隔Δt末的股票價(jià)格為St+Δt，于是

lnSt+Δt1St～N（r-σ212）Δt，σ2Δt

故St+Δt的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：

E[St+Δt]=SterΔt，Var[St+Δt]=S2te2rΔteσ2Δt-1

因此，參數(shù)p，u，d的值必須滿足這個(gè)條件：

E[St+Δt]=SterΔt=pStu+（1-p）Std

即pu+（1-p）d=erΔt（1）

而

Var（St+Δt）=ES2t+Δt-E2St+Δt=S2tpu2+S2t（1-p）d2-S2te2rΔt=S2te2rΔteσ2Δt-1

化簡(jiǎn)后得：

pu2+（1-p）d2=e2rΔt+σ2Δt（2）

公式（1）、（2）給出了p，u和d的兩個(gè)條件。Cox，Ross和Rubinstein所用的第三個(gè)常用條件是取

u=11d（3）

由公式（1）求出概率p（風(fēng)險(xiǎn)中性概率）：

p=erΔt-d1u-d

代入（2）式，得：

（u+d）erΔt-1=e2rΔt+σ2Δt

使用Cox，Ross和Rubinstein所用的條件（3）有

u2erΔt-ue2rΔt+σ2Δt+1+erΔt=0

取二次方程的根

u=e2rΔt+σ2Δt+1+e2rΔt+σ2Δt+12-4e2rΔt12erΔt

在以下求解過(guò)程中采用關(guān)于Δt的一階近似，可得到參數(shù)公式：

p=erΔt-d1u-du=eσΔtd=e-σΔt

二、新型二叉樹(shù)參數(shù)模型的構(gòu)造

由于補(bǔ)充d=1/u僅是由于據(jù)此導(dǎo)出的參數(shù)公式（3）在實(shí)際使用中比較方便，而這樣的參數(shù)選擇就存在明顯缺陷：首先，方程組的求解過(guò)程是一種近似求解，這將導(dǎo)致計(jì)算的不準(zhǔn)確；其次，對(duì)于較小的波動(dòng)率σ，它將產(chǎn)生大于1或負(fù)的概率。例如，取r=0.12，Δt=0.1，σ=0.01，由p=erΔt-d1u-d，u=eσΔt和d=e-σΔt可計(jì)算得到概率p=2.4080，1-p=-1.4080，這是無(wú)意義的結(jié)果。因此，在此基礎(chǔ)上，推廣出新型二叉樹(shù)參數(shù)模型。

由于變量St+Δt1St服從均值為1+rΔt，標(biāo)準(zhǔn)差為σΔt的正態(tài)分布。而正態(tài)分布的奇數(shù)階中心矩為零，從而可得E（St+Δt1St）3=0，繼續(xù)可推出ES3t+Δt=S3t（3e3rt+σ2Δt-2e3rt）。因此可得方程

ES3t+Δt=pu3S3t+（1-p）d3S3t=S3t（3e3rt+σ2Δt-2e3rt），

即pu3+（1-p）d3=3e3rt+σ2Δt-2e3rt（4）

從而聯(lián)立（1），（2），（4）解這個(gè)方程組可得

p=112

u=erΔt+erΔteσ2Δt-1

d=erΔt-erΔteσ2Δt-1

可以看到求解方程組的過(guò)程是一種精確求解，結(jié)果也相當(dāng)合理：S上升和下降的概率p=1-p=112是相同的，新型參數(shù)模型永遠(yuǎn)不會(huì)產(chǎn)生負(fù)的概率，而且它也具有很高的計(jì)算精度。

三、考慮隨機(jī)因素的二叉樹(shù)定價(jià)方法

上述的二叉樹(shù)參數(shù)模型的構(gòu)造以及新型二叉樹(shù)參數(shù)模型的構(gòu)造中，均假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r和股票價(jià)格的波動(dòng)率σ全為常數(shù)。下面考慮r和σ為隨機(jī)數(shù)的情況。由上述的二叉樹(shù)參數(shù)模型的構(gòu)造以及新型二叉樹(shù)參數(shù)模型的構(gòu)造中可看出，u和d的值依據(jù)于r和σ，從而u和d也為隨機(jī)數(shù)。首先依舊把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔Δti；i=1，2，...，N，考慮ri和σi在每個(gè)Δti；i=1，2，...，N內(nèi)常數(shù)，即ri和σi分別每一個(gè)Δti對(duì)應(yīng)的時(shí)間區(qū)間t+Δt相等，而在不同的時(shí)間間隔Δti，Δtj；i≠j；i，j=1，2，...，N內(nèi)ri和σi不一定相同；從而ui和di亦在每個(gè)Δti內(nèi)常數(shù)，即ui和di亦分別在每一個(gè)Δti對(duì)應(yīng)的時(shí)間區(qū)間t+Δt相同，而在不同的時(shí)間間隔Δti，Δtj；i≠j；i，j=1，2，...，N內(nèi)不一定相等。假設(shè)在每一個(gè)Δti對(duì)應(yīng)的時(shí)間區(qū)間t+Δt證券價(jià)格只有兩種變化：從開(kāi)始的S上升到原來(lái)的ui倍，即到達(dá)St+Δt=uiSt；下降到原來(lái)的di倍，即St+Δt=diSt。其中，ui>1，di<1，價(jià)格上升的概率假設(shè)為pi，下降的概率假設(shè)為1-pi。endprint

在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，標(biāo)的證券的預(yù)期收益率應(yīng)等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，已知股票價(jià)格行為模型服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。假定期初的股價(jià)為St，則在很短的第i個(gè)時(shí)間間隔Δt末的股票價(jià)格為St+Δt，于是ΔSt=riSt+σiStεΔt

對(duì)于lnSt+Δt1St＼～N（ri-σ2i12）Δt，σ2iΔt，從而在每個(gè)Δti內(nèi)，由新型二叉樹(shù)參數(shù)模型可類似得到如下方程組：

piui+（1-pi）di=eriΔt

piu2i+（1-pi）d2i=e2riΔt+σ2iΔt

piu3i+（1-pi）d3i=3e3rit+σ2iΔt-2e3rit

同理可解得

pi=112

ui=eriΔt+eriΔteσ2iΔt-1

di=eriΔt-eriΔteσ2iΔt-1

以歐式看漲期權(quán)為例，將該期權(quán)有效期劃分為N個(gè)長(zhǎng)度為Δt的小區(qū)間，令fij（0≤i≤N，0≤j≤2i）表示在時(shí)間iΔt時(shí)第j個(gè)節(jié)點(diǎn)處的美式看跌期權(quán)的價(jià)值，我們將Vij稱為結(jié)點(diǎn)（i，j）的期權(quán)價(jià)值。

此時(shí)可以得到看漲期權(quán)價(jià)格的二叉樹(shù)圖最后一列，即取max（SN-K，0）+，SN表示N期時(shí)的股票價(jià)格，對(duì)于期權(quán)價(jià)格的最后一列，首先從圖的最后一列算起。

由風(fēng)險(xiǎn)中心定價(jià)有：VN-1，0=e-rΔt（pi（ΠNi=1uiS0-K）++（1-pi）（ΠN-1i=1uidNS0-K）+）。

其中，pi=112；ui=eriΔt+eriΔteσ2iΔt-1；di=eriΔt-eriΔteσ2iΔt-1

接下來(lái)，計(jì)算最后一列期權(quán)二叉樹(shù)其余所有節(jié)點(diǎn)處的值，再按同樣的方法計(jì)算依次倒推計(jì)算其余各列期權(quán)二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)的值，最終可以確定該期權(quán)的價(jià)格。

應(yīng)用上述方法計(jì)算某兩期到期的歐式看漲期權(quán)，假設(shè)該股票的初始價(jià)格S0=50，執(zhí)行價(jià)格K=50，到期日T=1，Δt=0.5。假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為區(qū)間[0.01，0.1]之間均值為0.05的隨機(jī)數(shù)，標(biāo)的股票波動(dòng)率σ為區(qū)間[0.1，0.3]之間均值為0.2的隨機(jī)數(shù)。由于r和σ的隨機(jī)性，所以u(píng)和d在每次計(jì)算所得期權(quán)價(jià)格是不同的，所以計(jì)算時(shí)應(yīng)該多次計(jì)算，取平均值。

通過(guò)200次計(jì)算，所得期權(quán)價(jià)格計(jì)算結(jié)果的分布見(jiàn)圖1，其平均值為3.5679。可以看出，計(jì)算平均值在20次以后波動(dòng)很小，趨于穩(wěn)定，表明計(jì)算方法的穩(wěn)定性很好。圖2給出了期權(quán)價(jià)格與其均值絕對(duì)偏差的平均值，80次后該值穩(wěn)定，約為0.2，因此本方法計(jì)算的期權(quán)價(jià)格主要位于區(qū)間[3.5679-0.2，3.5679+0.2]內(nèi)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Cox J C，Ross SandRubinstein. Optionpricing：a simplifiedapproach[J]. Journal of Finacial Economics，1979，7：229263

[2]Black F and Scholes. The pricing of options andcorporate liabities[J]. Journal of Political Economy，1973，81：637659

[3]新型二叉樹(shù)參數(shù)模型在亞式期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用.連穎穎.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）[J]，第38卷，第2期，2010年3月endprint

在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，標(biāo)的證券的預(yù)期收益率應(yīng)等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，已知股票價(jià)格行為模型服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。假定期初的股價(jià)為St，則在很短的第i個(gè)時(shí)間間隔Δt末的股票價(jià)格為St+Δt，于是ΔSt=riSt+σiStεΔt

對(duì)于lnSt+Δt1St＼～N（ri-σ2i12）Δt，σ2iΔt，從而在每個(gè)Δti內(nèi)，由新型二叉樹(shù)參數(shù)模型可類似得到如下方程組：

piui+（1-pi）di=eriΔt

piu2i+（1-pi）d2i=e2riΔt+σ2iΔt

piu3i+（1-pi）d3i=3e3rit+σ2iΔt-2e3rit

同理可解得

pi=112

ui=eriΔt+eriΔteσ2iΔt-1

di=eriΔt-eriΔteσ2iΔt-1

以歐式看漲期權(quán)為例，將該期權(quán)有效期劃分為N個(gè)長(zhǎng)度為Δt的小區(qū)間，令fij（0≤i≤N，0≤j≤2i）表示在時(shí)間iΔt時(shí)第j個(gè)節(jié)點(diǎn)處的美式看跌期權(quán)的價(jià)值，我們將Vij稱為結(jié)點(diǎn)（i，j）的期權(quán)價(jià)值。

此時(shí)可以得到看漲期權(quán)價(jià)格的二叉樹(shù)圖最后一列，即取max（SN-K，0）+，SN表示N期時(shí)的股票價(jià)格，對(duì)于期權(quán)價(jià)格的最后一列，首先從圖的最后一列算起。

由風(fēng)險(xiǎn)中心定價(jià)有：VN-1，0=e-rΔt（pi（ΠNi=1uiS0-K）++（1-pi）（ΠN-1i=1uidNS0-K）+）。

其中，pi=112；ui=eriΔt+eriΔteσ2iΔt-1；di=eriΔt-eriΔteσ2iΔt-1

接下來(lái)，計(jì)算最后一列期權(quán)二叉樹(shù)其余所有節(jié)點(diǎn)處的值，再按同樣的方法計(jì)算依次倒推計(jì)算其余各列期權(quán)二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)的值，最終可以確定該期權(quán)的價(jià)格。

應(yīng)用上述方法計(jì)算某兩期到期的歐式看漲期權(quán)，假設(shè)該股票的初始價(jià)格S0=50，執(zhí)行價(jià)格K=50，到期日T=1，Δt=0.5。假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為區(qū)間[0.01，0.1]之間均值為0.05的隨機(jī)數(shù)，標(biāo)的股票波動(dòng)率σ為區(qū)間[0.1，0.3]之間均值為0.2的隨機(jī)數(shù)。由于r和σ的隨機(jī)性，所以u(píng)和d在每次計(jì)算所得期權(quán)價(jià)格是不同的，所以計(jì)算時(shí)應(yīng)該多次計(jì)算，取平均值。

通過(guò)200次計(jì)算，所得期權(quán)價(jià)格計(jì)算結(jié)果的分布見(jiàn)圖1，其平均值為3.5679。可以看出，計(jì)算平均值在20次以后波動(dòng)很小，趨于穩(wěn)定，表明計(jì)算方法的穩(wěn)定性很好。圖2給出了期權(quán)價(jià)格與其均值絕對(duì)偏差的平均值，80次后該值穩(wěn)定，約為0.2，因此本方法計(jì)算的期權(quán)價(jià)格主要位于區(qū)間[3.5679-0.2，3.5679+0.2]內(nèi)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Cox J C，Ross SandRubinstein. Optionpricing：a simplifiedapproach[J]. Journal of Finacial Economics，1979，7：229263

[2]Black F and Scholes. The pricing of options andcorporate liabities[J]. Journal of Political Economy，1973，81：637659

[3]新型二叉樹(shù)參數(shù)模型在亞式期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用.連穎穎.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）[J]，第38卷，第2期，2010年3月endprint

在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，標(biāo)的證券的預(yù)期收益率應(yīng)等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，已知股票價(jià)格行為模型服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)。假定期初的股價(jià)為St，則在很短的第i個(gè)時(shí)間間隔Δt末的股票價(jià)格為St+Δt，于是ΔSt=riSt+σiStεΔt

對(duì)于lnSt+Δt1St＼～N（ri-σ2i12）Δt，σ2iΔt，從而在每個(gè)Δti內(nèi)，由新型二叉樹(shù)參數(shù)模型可類似得到如下方程組：

piui+（1-pi）di=eriΔt

piu2i+（1-pi）d2i=e2riΔt+σ2iΔt

piu3i+（1-pi）d3i=3e3rit+σ2iΔt-2e3rit

同理可解得

pi=112

ui=eriΔt+eriΔteσ2iΔt-1

di=eriΔt-eriΔteσ2iΔt-1

以歐式看漲期權(quán)為例，將該期權(quán)有效期劃分為N個(gè)長(zhǎng)度為Δt的小區(qū)間，令fij（0≤i≤N，0≤j≤2i）表示在時(shí)間iΔt時(shí)第j個(gè)節(jié)點(diǎn)處的美式看跌期權(quán)的價(jià)值，我們將Vij稱為結(jié)點(diǎn)（i，j）的期權(quán)價(jià)值。

此時(shí)可以得到看漲期權(quán)價(jià)格的二叉樹(shù)圖最后一列，即取max（SN-K，0）+，SN表示N期時(shí)的股票價(jià)格，對(duì)于期權(quán)價(jià)格的最后一列，首先從圖的最后一列算起。

由風(fēng)險(xiǎn)中心定價(jià)有：VN-1，0=e-rΔt（pi（ΠNi=1uiS0-K）++（1-pi）（ΠN-1i=1uidNS0-K）+）。

其中，pi=112；ui=eriΔt+eriΔteσ2iΔt-1；di=eriΔt-eriΔteσ2iΔt-1

接下來(lái)，計(jì)算最后一列期權(quán)二叉樹(shù)其余所有節(jié)點(diǎn)處的值，再按同樣的方法計(jì)算依次倒推計(jì)算其余各列期權(quán)二叉樹(shù)節(jié)點(diǎn)的值，最終可以確定該期權(quán)的價(jià)格。

應(yīng)用上述方法計(jì)算某兩期到期的歐式看漲期權(quán)，假設(shè)該股票的初始價(jià)格S0=50，執(zhí)行價(jià)格K=50，到期日T=1，Δt=0.5。假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r為區(qū)間[0.01，0.1]之間均值為0.05的隨機(jī)數(shù)，標(biāo)的股票波動(dòng)率σ為區(qū)間[0.1，0.3]之間均值為0.2的隨機(jī)數(shù)。由于r和σ的隨機(jī)性，所以u(píng)和d在每次計(jì)算所得期權(quán)價(jià)格是不同的，所以計(jì)算時(shí)應(yīng)該多次計(jì)算，取平均值。

通過(guò)200次計(jì)算，所得期權(quán)價(jià)格計(jì)算結(jié)果的分布見(jiàn)圖1，其平均值為3.5679?？梢钥闯?，計(jì)算平均值在20次以后波動(dòng)很小，趨于穩(wěn)定，表明計(jì)算方法的穩(wěn)定性很好。圖2給出了期權(quán)價(jià)格與其均值絕對(duì)偏差的平均值，80次后該值穩(wěn)定，約為0.2，因此本方法計(jì)算的期權(quán)價(jià)格主要位于區(qū)間[3.5679-0.2，3.5679+0.2]內(nèi)。

參考文獻(xiàn)：

[1]Cox J C，Ross SandRubinstein. Optionpricing：a simplifiedapproach[J]. Journal of Finacial Economics，1979，7：229263

[2]Black F and Scholes. The pricing of options andcorporate liabities[J]. Journal of Political Economy，1973，81：637659

[3]新型二叉樹(shù)參數(shù)模型在亞式期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用.連穎穎.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）[J]，第38卷，第2期，2010年3月endprint