影響數(shù)學(xué)問(wèn)題求解過(guò)程的因素探析

【摘要】數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、啟發(fā)方法、元認(rèn)知能力和信念系統(tǒng)是影響問(wèn)題求解過(guò)程的主要因素，這些因素之間以多種方式進(jìn)行交互；其中，數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、啟發(fā)方法是解題的基礎(chǔ)，元認(rèn)知能力是關(guān)鍵，同時(shí)信念系統(tǒng)通過(guò)影響認(rèn)知行為促進(jìn)或阻礙問(wèn)題解決。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問(wèn)題求解過(guò)程數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)啟發(fā)方法元認(rèn)知能力信念系統(tǒng)

【中圖分類號(hào)】 G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2014）05C-0137-03

一、問(wèn)題背景

有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決國(guó)內(nèi)外已有了大量的研究。最初對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的研究主要集中在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程及模式的建構(gòu)和應(yīng)用方面，近年來(lái)越來(lái)越多的學(xué)者關(guān)注數(shù)學(xué)問(wèn)題解決內(nèi)在機(jī)制的研究以及成功解題因素的識(shí)別。通過(guò)這些研究，人們?cè)絹?lái)越多地認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程是一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)工程，然而，目前仍然缺乏系統(tǒng)的研究，一些觀點(diǎn)的理論與實(shí)踐脫節(jié)或者偏頗。

為了對(duì)影響問(wèn)題求解因素有更全面的掌握，筆者結(jié)合自身的解題經(jīng)驗(yàn)和對(duì)學(xué)生解題案例的大量觀察分析，對(duì)問(wèn)題解決過(guò)程做了進(jìn)一步的探究，從中挖掘出影響問(wèn)題求解的主要因素并且探討了這些因素如何影響問(wèn)題求解過(guò)程。我們期望該研究能夠?qū)?shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)有所思考和幫助。

二、數(shù)學(xué)問(wèn)題求解過(guò)程

（一）問(wèn)題和問(wèn)題求解

1988年第六屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)的一份報(bào)告指出：“一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題是一個(gè)對(duì)人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒(méi)有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的未解決的情境。”這類題目可以稱之為“問(wèn)題”。而“問(wèn)題求解”則是指：綜合地、創(chuàng)造性地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)去解決那種并非單純練習(xí)題式的問(wèn)題，包括實(shí)際問(wèn)題和源于數(shù)學(xué)內(nèi)部的問(wèn)題。

（二）數(shù)學(xué)問(wèn)題求解的階段

數(shù)學(xué)教育家Polya在他的著作《怎樣解題》中給出求解問(wèn)題的四個(gè)階段:理解問(wèn)題，擬定計(jì)劃，實(shí)施計(jì)劃，檢查回顧。他描述了解決問(wèn)題的過(guò)程是一個(gè)線性的從一個(gè)階段到下一個(gè)階段的發(fā)展過(guò)程，在解決問(wèn)題時(shí)，第一，我們必須弄清楚是什么問(wèn)題，什么是必需的條件，我們必須了解各種條件的關(guān)系以及未知數(shù)據(jù)是如何與已知條件相關(guān)的。第二，制定一個(gè)計(jì)劃以獲得解決問(wèn)題的方案。第三，執(zhí)行原先擬定的計(jì)劃。第四，檢查回顧完成的解題過(guò)程并討論它。

（三）數(shù)學(xué)問(wèn)題求解過(guò)程的分析

根據(jù)Polya的解題四個(gè)階段，下面我們來(lái)分析數(shù)學(xué)解題過(guò)程。

1.理解問(wèn)題階段，解題者在理解問(wèn)題情境時(shí)通常伴隨著強(qiáng)烈的認(rèn)知參與。首先是問(wèn)題的信息經(jīng)過(guò)解題者感知后進(jìn)入短時(shí)記憶（信息加工過(guò)程中的“工作區(qū)”），其中的部分信息經(jīng)過(guò)復(fù)述和編碼，儲(chǔ)存到長(zhǎng)時(shí)記憶中完成信息輸入。接著是回憶與問(wèn)題有關(guān)的概念、數(shù)學(xué)事實(shí)、關(guān)鍵詞、畫(huà)出草圖和列表，進(jìn)一步弄清問(wèn)題的條件、結(jié)論及其差異，進(jìn)而抽取出問(wèn)題的邏輯結(jié)構(gòu)以理解問(wèn)題。同時(shí)回憶與問(wèn)題相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題圖式，經(jīng)比較、匹配，識(shí)別出數(shù)學(xué)問(wèn)題類型。對(duì)于一些陌生問(wèn)題，解題者還需要深化整合、靈活遷移已有的數(shù)學(xué)問(wèn)題圖式或者建立新的問(wèn)題圖式，雖然不同成功解題者完成這個(gè)階段花費(fèi)的時(shí)間不同，但是為了試圖理解問(wèn)題他們都必須合理地構(gòu)造問(wèn)題的表征或圖式。這時(shí)解題者已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、解題經(jīng)驗(yàn)、思想方法、解題策略等是他們表征問(wèn)題情景的基礎(chǔ)。

在這個(gè)階段，解題者還顯示出信心、好奇心，他們心里會(huì)自我提問(wèn)：我該如何表示這個(gè)問(wèn)題?這是什么意思?問(wèn)題看起來(lái)像什么？這些都明顯有助于他們使用畫(huà)圖、表格等去邏輯地構(gòu)建問(wèn)題情境，并自發(fā)地訪問(wèn)和提取相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)、事實(shí)和算法。

2.擬定計(jì)劃階段是指回憶是否有該問(wèn)題的相近或相似解決方法。如果有，則通過(guò)借用該解決方法而提出解題思路；如果沒(méi)有，則在數(shù)學(xué)認(rèn)知策略、思想方法的指導(dǎo)下通過(guò)變換題目條件和結(jié)論等方式構(gòu)思出問(wèn)題的解題方案。在這個(gè)階段同時(shí)還要運(yùn)用有關(guān)知識(shí)與推理規(guī)則想象各種解題思路并假設(shè)一個(gè)可行的解決方案。一般情況下，如果這個(gè)解決方案被視為潛在的成功方法，解題者就移到下一個(gè)實(shí)施計(jì)劃階段，否則再次進(jìn)行理解問(wèn)題、擬定計(jì)劃階段，直到一個(gè)可行的解決方案被確定。

在該階段，解題者必須訪問(wèn)和提取數(shù)學(xué)知識(shí)和啟發(fā)方法，以便假設(shè)、想象并評(píng)估他們的推測(cè)。盡管他們有時(shí)顯示出負(fù)面的挫折、焦慮等情緒反應(yīng)，但是他們堅(jiān)定的信心和有效的應(yīng)對(duì)機(jī)制使其能夠集中注意力。同時(shí)解題者會(huì)通過(guò)諸如“如果我這樣試試將會(huì)發(fā)生什么?”“這是否可推導(dǎo)出我要的結(jié)論？”“這個(gè)方法是否高效？”等提問(wèn)來(lái)持續(xù)監(jiān)控他們的策略和計(jì)劃。

3.實(shí)施計(jì)劃階段是解題者運(yùn)用數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的表述規(guī)則，構(gòu)建與表述問(wèn)題解決的步驟與程序，即應(yīng)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言與推理法則將先前的問(wèn)題解決思路進(jìn)行規(guī)范的書(shū)寫(xiě)。在這個(gè)階段，解題者的一些行為包括:回憶和提取數(shù)學(xué)知識(shí)、寫(xiě)出邏輯上連接的數(shù)學(xué)語(yǔ)句、計(jì)算及推導(dǎo)等。

掌握廣泛和熟練的啟發(fā)方法、算法、推導(dǎo)程序是其高效解題推理的保證。而對(duì)解題方案的持續(xù)監(jiān)控使解題工作在正確的方向前進(jìn)，解題者良好的認(rèn)知領(lǐng)域的知識(shí)使監(jiān)控更有成效。

另外，解題者強(qiáng)大的情感反應(yīng)（如：喜悅、快樂(lè)、沮喪和焦慮）促進(jìn)或阻礙問(wèn)題解決。他們使用各種各樣的防御和應(yīng)對(duì)機(jī)制來(lái)有效管理這些情感反應(yīng)以幫助自己堅(jiān)持朝著正確方向解決問(wèn)題。

4.檢查回顧階段是對(duì)問(wèn)題的求解過(guò)程及結(jié)果的回顧與反思。包括考察解答是否正確，過(guò)程是否簡(jiǎn)潔，是否還有其他解法，解題方法是否最優(yōu)，解決過(guò)程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是什么，以及運(yùn)用了哪些知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與方法，能否作一些拓展等。

解題者這時(shí)需要考慮是否接受結(jié)果，若接受結(jié)果則結(jié)束解題，若拒絕結(jié)果，則轉(zhuǎn)到下一次的“理解問(wèn)題—擬定計(jì)劃—執(zhí)行計(jì)劃—檢查回顧”循環(huán)遞進(jìn)過(guò)程。值得注意的是，優(yōu)秀的解題者很少以線性的方式解決一個(gè)問(wèn)題，他們通常在嘗試解一個(gè)問(wèn)題時(shí)一般要進(jìn)行“理解問(wèn)題—擬定計(jì)劃—執(zhí)行計(jì)劃—檢查回顧”的多次循環(huán)。有時(shí)這個(gè)循環(huán)周期緩慢、繁瑣甚至出現(xiàn)反復(fù)，有時(shí)則跳躍前進(jìn)或瞬間帶過(guò)。

檢查階段再次涉及解題者利用他們的數(shù)學(xué)知識(shí)和過(guò)程性知識(shí)來(lái)驗(yàn)證計(jì)算和結(jié)果的合理性和正確性。在這個(gè)階段強(qiáng)烈的負(fù)面情緒反應(yīng)有時(shí)會(huì)導(dǎo)致他們將問(wèn)題放在一邊。

由上可見(jiàn)，數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程是一個(gè)具有多因素影響、非線性遞歸、循環(huán)可逆、自我監(jiān)控和主動(dòng)知識(shí)建構(gòu)等特征的過(guò)程。

三、影響數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的因素探析

借助以上數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程的分析，我們認(rèn)為：數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、啟發(fā)方法、元認(rèn)知能力和信念系統(tǒng)是影響問(wèn)題解決的主要因素。

（一）數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是儲(chǔ)存在個(gè)人長(zhǎng)時(shí)記憶系統(tǒng)內(nèi)的數(shù)學(xué)知識(shí)及其聯(lián)系。如概念、公式、規(guī)則、數(shù)學(xué)思想方法和原理及其相互關(guān)系。長(zhǎng)時(shí)記憶是為進(jìn)行信息加工提供背景知識(shí)的倉(cāng)庫(kù)，長(zhǎng)時(shí)記憶中的知識(shí)只有經(jīng)過(guò)根據(jù)加工結(jié)果得到的線索進(jìn)行檢索，一部分知識(shí)被激活才能調(diào)入短時(shí)記憶進(jìn)而對(duì)解題發(fā)揮作用。

任何解題都是以一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，包括有關(guān)內(nèi)容的事實(shí)、定義、算法程序、例行程序，及處理過(guò)程規(guī)則、作圖和畫(huà)圖知識(shí)等作為必要條件的。在實(shí)際解題時(shí)，解決者對(duì)知識(shí)的高效利用依賴于多個(gè)因素的控制，即使個(gè)人擁有解決某個(gè)特定的問(wèn)題的知識(shí)，如果這些知識(shí)沒(méi)有形成有機(jī)的聯(lián)系和合理的組合，解題者也常常沒(méi)有想到或者不知道何時(shí)，如何以及是否使用這些知識(shí)。良好的問(wèn)題解決者擁有更多的聯(lián)系廣泛的知識(shí)和豐富的圖式。所以解題更為重要的還在于知識(shí)的合理組織，使解題者能夠根據(jù)題目的特征，在自己的記憶庫(kù)中適時(shí)提取所需的知識(shí)。數(shù)學(xué)知識(shí)的合理組織，實(shí)質(zhì)上就是按照個(gè)體的需要，改造和組建適合問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

良好的數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程具有決定性影響，尤其在問(wèn)題解決的關(guān)鍵時(shí)刻，能夠使用有用的數(shù)學(xué)知識(shí)是高度依賴于個(gè)人的豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（二）啟發(fā)方法

就思維活動(dòng)而言解題過(guò)程是一個(gè)思維定向、展開(kāi)、控制的過(guò)程。這里有分析、綜合、比較、分類、抽象、概括等邏輯思維活動(dòng)，更需要?dú)w納、類比、聯(lián)想、想象、直覺(jué)、猜想等創(chuàng)造性思維活動(dòng)。面對(duì)變化萬(wàn)千的心智活動(dòng)，要想找到一個(gè)可以機(jī)械地用來(lái)解決一切問(wèn)題的“萬(wàn)能公式”顯然是不可能的。只能通過(guò)大量的解題親身實(shí)踐，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)以發(fā)現(xiàn)啟發(fā)方法，開(kāi)啟和指導(dǎo)解題活動(dòng)。

解題規(guī)律、解題策略應(yīng)是主要的啟發(fā)方法。

解題規(guī)律可以看成是伴隨數(shù)學(xué)解題過(guò)程產(chǎn)生的體驗(yàn)性知識(shí)，是一種內(nèi)隱的、動(dòng)態(tài)的知識(shí)，如對(duì)解題的本質(zhì)、方法和認(rèn)知策略的認(rèn)識(shí)與感受。數(shù)學(xué)題的解法各不相同，但就解題思路而論是有一定規(guī)律可循的，如求解方程規(guī)律、解答函數(shù)極值規(guī)律、添加輔助線規(guī)律、圖形變換規(guī)律等，這些都能夠有效啟發(fā)解題思路。

解題策略是指解題者解題時(shí)宏觀上采取的解題方法、原則和方案。解題中經(jīng)常采用的解題策略有：逆向推導(dǎo)、特殊化、數(shù)形轉(zhuǎn)換、將條件和結(jié)論組合或分解、將問(wèn)題簡(jiǎn)單化、觀察對(duì)稱性和尋找反面例子等。熟悉解題策略有利于全方位、多角度思考問(wèn)題，在總體上把握解題的方向。

此外，良好的數(shù)學(xué)問(wèn)題求解者在解決問(wèn)題時(shí)還表現(xiàn)出靈活性和傾向于使用強(qiáng)大的內(nèi)容相關(guān)進(jìn)程處理方法而不僅僅是一般啟發(fā)式方法，他們善于根據(jù)解題進(jìn)程新出現(xiàn)的情況及時(shí)改變或者調(diào)整解題的策略。

（三）元認(rèn)知能力

元認(rèn)知可以看成主體對(duì)認(rèn)知領(lǐng)域的知識(shí)、體驗(yàn)和控制行為，解題中的元認(rèn)知行為包括對(duì)解題效率和認(rèn)知活動(dòng)的有效性的認(rèn)識(shí)、對(duì)解題活動(dòng)的積極實(shí)踐體驗(yàn)以及隨后的自律行為。

解題過(guò)程經(jīng)常伴隨的元認(rèn)知行為是指對(duì)所進(jìn)行的解題活動(dòng)，包括解題模式的識(shí)別、解題策略的選擇、解題途徑的探索、解題方案的構(gòu)思、解題效率的認(rèn)識(shí)和解題情景的評(píng)價(jià)等解題實(shí)踐活動(dòng)的自我意識(shí)、自我評(píng)價(jià)和自我調(diào)整。

自我意識(shí)是以自身為意識(shí)對(duì)象的意識(shí)。是解題者對(duì)正在采取的解題步驟的主觀反映，只有對(duì)解題活動(dòng)的信息輸入、加工、輸出有清醒的自我意識(shí)，才能克服思維活動(dòng)的盲目性，增強(qiáng)主動(dòng)性和自覺(jué)性。自我評(píng)價(jià)是在自我意識(shí)的基礎(chǔ)上主動(dòng)分析、評(píng)價(jià)自己所進(jìn)行的解題工作。 針對(duì)解題目標(biāo)，找出解題過(guò)程的薄弱環(huán)節(jié)或存在問(wèn)題，以便及時(shí)采取相應(yīng)的對(duì)策，把握正確的解題方向，將思維活動(dòng)調(diào)節(jié)到最佳狀態(tài)。自我調(diào)整又是在自我評(píng)價(jià)后采取的對(duì)策行為。根據(jù)自我評(píng)價(jià)反饋的信息，針對(duì)解題中的不足之處在新的起點(diǎn)上調(diào)整自己的解題策略，修正原有的解題途徑，使解題活動(dòng)回到正確的軌道上來(lái)。

自我意識(shí)、自我評(píng)價(jià)和自我調(diào)整等元認(rèn)知行為常表現(xiàn)為疑問(wèn)（如：這種方法會(huì)使我推到哪里?這是什么意思?）、停頓（如：新出現(xiàn)的結(jié)果是否符合解題者的現(xiàn)有的知識(shí)和理解）和反復(fù)（解題者反復(fù)在一個(gè)解題環(huán)節(jié)推敲以確定方法的正確性）。這些具體的元認(rèn)知行為貫穿整個(gè)解題過(guò)程，調(diào)控著認(rèn)知活動(dòng)從一個(gè)階段發(fā)展到下一個(gè)階段并影響著解題者的解題決策，并且自我意識(shí)、自我評(píng)價(jià)和自我調(diào)整等元認(rèn)知行為都是動(dòng)態(tài)的活動(dòng)，只有通過(guò)元認(rèn)知體驗(yàn)才能將靜態(tài)的元認(rèn)知知識(shí)與動(dòng)態(tài)的調(diào)節(jié)過(guò)程銜接起來(lái)。如果沒(méi)有關(guān)于當(dāng)前認(rèn)知活動(dòng)的體驗(yàn)，元認(rèn)知與認(rèn)知活動(dòng)之間就處于脫節(jié)狀態(tài)而無(wú)法連接。

此外自我調(diào)節(jié)也包括控制解題過(guò)程的情緒控制機(jī)制以及開(kāi)展內(nèi)心對(duì)話等行為。解題者如果缺乏良好的情緒控制機(jī)制，如隨機(jī)聯(lián)想、缺乏堅(jiān)持努力、沒(méi)有仔細(xì)考慮問(wèn)題含義等，就容易導(dǎo)致利用錯(cuò)誤的概念和進(jìn)行錯(cuò)誤的推理。

（四）信念系統(tǒng)

所謂解題的信念系統(tǒng)，泛指解題的非智力因素，即解題者學(xué)習(xí)積極性方面的因素，如情感、態(tài)度以及數(shù)學(xué)觀等方面的個(gè)性品質(zhì)。解題中經(jīng)常表現(xiàn)出來(lái)的這些行為有：高興、驕傲、興奮、欣賞、自信、堅(jiān)持以及憤怒、焦慮、沮喪、急躁等。

事實(shí)上純粹的認(rèn)知行為是罕見(jiàn)的，對(duì)于大多數(shù)解題者，他們處理問(wèn)題的表現(xiàn)是受他們所處的環(huán)境及看待事物的觀點(diǎn)影響的。其中情感因素如態(tài)度和情緒對(duì)解題者的行為有一個(gè)強(qiáng)大的影響。隨著情感在解決問(wèn)題過(guò)程中頻繁變化，正面的感情如欣賞、自信、堅(jiān)持、滿意和自豪感，負(fù)面情緒如焦慮、失敗、悲傷和沮喪，都是常見(jiàn)的。正面情感通常導(dǎo)致動(dòng)力和興趣并促進(jìn)解題者的認(rèn)知水平發(fā)揮，而負(fù)面情緒通常成為一種阻礙力量而導(dǎo)致不成功的問(wèn)題求解。

雖然情感更明顯比信仰在問(wèn)題解決中扮演了更重要的角色，但數(shù)學(xué)觀等信仰也扮演了不可或缺的角色。良好的數(shù)學(xué)觀包括：數(shù)學(xué)是美好的、做數(shù)學(xué)需要執(zhí)著追求解決方案、問(wèn)題解決過(guò)程可能需要許多錯(cuò)誤的嘗試、問(wèn)題涉及的數(shù)學(xué)推理都是令人愉快的、數(shù)學(xué)思想應(yīng)該被理解而不是僅僅記住、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要根據(jù)自己的理解整理信息、證明是問(wèn)題解決過(guò)程的一部分等。這些觀點(diǎn)都能夠有效促進(jìn)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決。

四、結(jié)論

我們通過(guò)分析數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程，揭示了數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程的“理解問(wèn)題—擬定計(jì)劃—執(zhí)行計(jì)劃—檢查回顧”四個(gè)階段的非線性循環(huán)可逆遞進(jìn)過(guò)程，并且剖析了數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、啟發(fā)方法、元認(rèn)知能力和信念系統(tǒng)等因素如何交互出現(xiàn)影響著解題的過(guò)程，決定著解題各階段的開(kāi)啟、循環(huán)、反復(fù)和終止，決定著對(duì)有關(guān)知識(shí)、方法、規(guī)則的選擇與使用。

研究表明，學(xué)習(xí)成為一個(gè)優(yōu)秀的問(wèn)題求解者需要聯(lián)系良好的數(shù)學(xué)知識(shí)、豐富問(wèn)題推理的模式、熟練的解題策略、在解決問(wèn)題過(guò)程有效的管理資源和情感反應(yīng)，以及大量的實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)。

所以，在平時(shí)的數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，我們應(yīng)該防止機(jī)械訓(xùn)練，并針對(duì)不同個(gè)體解題過(guò)程出現(xiàn)的問(wèn)題和薄弱環(huán)節(jié)采取相應(yīng)的對(duì)策，改正錯(cuò)誤或不良的數(shù)學(xué)解題方式方法以提高解題能力，并最終借助數(shù)學(xué)解題訓(xùn)練幫助學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想，教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題，使解題成為培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)和提高學(xué)生創(chuàng)新能力的有效途徑。

【參考文獻(xiàn)】

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【基金項(xiàng)目】廣西高等學(xué)校特色專業(yè)及課程一體化建設(shè)項(xiàng)目（GXTSZY253）

【作者簡(jiǎn)介】羅奇（1964-），男，桂林師范高等?？茖W(xué)校副教授，研究方向：數(shù)學(xué)教育，初等數(shù)學(xué)。

（責(zé)編丁夢(mèng)）