活躍在立體幾何高考題中的明星四面體

●

(北侖中學(xué) 浙江寧波 315800)

四面體是立體幾何中最基本的空間圖形，立體幾何中的許多問題都可化歸為四面體中的有關(guān)問題,它同時(shí)也是數(shù)學(xué)高考立體幾何試題的重要載體之一.其中4個(gè)面都是直角三角形的四面體是高考試題中出現(xiàn)頻率最高的基本圖形，許多命題專家對(duì)它情有獨(dú)鐘，是四面體中的“明星”，其中2013年、2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試卷中的立體幾何大題，其原形均是“明星四面體”.本文先介紹“明星四面體”的有關(guān)性質(zhì)，然后再介紹其應(yīng)用，供大家參考.

1 明星四面體的定義及性質(zhì)

圖1

如圖1，在四面體P-ABC中，若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，則稱這個(gè)四面體為“明星四面體”，且它具有以下性質(zhì)：

(1)四面體的4個(gè)面都是直角三角形;

(2)設(shè)點(diǎn)A在PB,PC上的射影分別為M,N,則MN⊥PB;

(4)設(shè)二面角B-AP-C的大小為α,∠PBA=φ，二面角A-PB-C的大小為θ,則tanθtanαsinφ=1.

證明(1)因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以

PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥CB,

于是△PAB,△PAC是直角三角形.又因?yàn)锳C⊥BC,BC⊥平面PAC,所以△PBC也是直角三角形.故四面體的4個(gè)面都是直角三角形.

(2)由性質(zhì)(1)可知BC⊥平面PAC,而AN?平面PAC,從而AN⊥BC.又因?yàn)锳N⊥PC,AN⊥平面PCB,PB?平面PCB,所以AN⊥PB.由AM⊥PB,得PB⊥平面AMN,從而MN⊥PB.

(3)由性質(zhì)(1)和性質(zhì)(2)可知,∠BAC是二面角B-AP-C的平面角，即∠BAC=α，∠PCA是二面角P-BC-A的平面角，即∠PCB=β，∠AMN是二面角A-PB-C的平面角，即∠AMN=θ.令A(yù)C=m，則

AN=msinβ，AP=mtanβ，AB=msecα.

在Rt△APB中，AM⊥PB，從而

在Rt△AMN中，

由Rt△AMN∽R(shí)t△PCB,得

于是

由Rt△APN∽R(shí)t△CNA,得

即

于是

tanθtanαsinφ=1.

2 明星四面體的明星作用

(1)證明：DE⊥平面ACD.

(2)求二面角B-AD-E的大小.

(2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

分析本題的第(1)小題相對(duì)比較容易，關(guān)鍵是第(2)小題.命題組給出的參考答案介紹了2種方法:其一是直接作二面角B-AD-E的平面角，這個(gè)平面角“生長(zhǎng)”在一個(gè)斜三角形之中，解這個(gè)斜三角形得到結(jié)論，其運(yùn)算過程比較復(fù)雜；其二是利用空間向量的方法解決，在建立空間直角坐標(biāo)系、求相關(guān)平面的法向量時(shí)有一定的運(yùn)算量.

圖2 圖3

事實(shí)上，由第(1)小題可知，二面角E-AD-C是一個(gè)直二面角，即二面角B-AD-E和二面角B-AD-C的平面角互為余角，問題可化歸為求B-AD-C的大小.不難發(fā)現(xiàn)：AC⊥平面BCD，且DB⊥BC，即四面體A-BCD是一個(gè)“明星四面體”.若對(duì)“明星四面體”比較熟悉，則不難完成其解答過程了.

(2)解由第(1)小題可知DE⊥平面ACD，二面角E-DA-C為直二面角,于是二面角B-AD-E和二面角B-AD-C的大小之和為90°.

方法1如圖3,作BF⊥DC于點(diǎn)F，則BF⊥平面ADC，且BF=DE=1.作FG⊥AD于點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)GB，則GB⊥DA，∠BGF即為二面角B-AD-C的平面角.在Rt△DFG中，

在Rt△BFG中，

從而

∠BGF=60°，

即二面角B-AD-E的大小為30°.

即

∠CNM=60°,

從而二面角B-AD-E的大小為30°.

分析對(duì)于第(2)小題，問題“原形畢露”后，即發(fā)現(xiàn)四面體A-BCD是一個(gè)“明星四面體”，若利用“明星四面體”的性質(zhì)(4)，則題目的結(jié)論就顯而易見了.事實(shí)上：二面角D-AC-B的大小為45°，即

(1)證明：PQ∥平面BCD;

(2)若二面角C-BM-D的大小為60°，求∠BDC的大小.

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

圖4 圖5

例3如圖5，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于點(diǎn)F，F(xiàn)E∥CD，交PD于點(diǎn)E.

(1)證明：CF⊥平面ADF;

(2)求二面角D-AF-E的余弦值.

(2014年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題)

3 明星四面體對(duì)高考復(fù)習(xí)教學(xué)的啟示

(1)注意經(jīng)典問題的分析和變式訓(xùn)練.

在高考復(fù)習(xí)中,如何做到精講精練,提高課堂教學(xué)的有效性,是每位教師的良好愿望.但現(xiàn)實(shí)情況是:學(xué)生的作業(yè)負(fù)擔(dān)過重,題海戰(zhàn)術(shù)仍是高考復(fù)習(xí)的常用戰(zhàn)術(shù).高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中有許多經(jīng)典的案例，本文介紹的“明星四面體”只是其中之一.通過對(duì)一些經(jīng)典問題的研究，注意問題之間的聯(lián)系，看清問題的本質(zhì)，并把其化歸為熟悉的經(jīng)典問題是提高復(fù)習(xí)效率的有效途徑.

(2)注意“八卦”結(jié)論的研究和合理使用.

在高中數(shù)學(xué)中有許多經(jīng)典的問題，在教材及考試大綱中均沒有明確要求，但在應(yīng)試中很管用的“八卦”結(jié)論，如本文介紹的“明星四面體”的性質(zhì)(4)就屬于這個(gè)范疇.這些問題通常是研究性學(xué)習(xí)的好素材，通過學(xué)習(xí)往往能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.有考試,必然有應(yīng)試,有應(yīng)試必然要研究應(yīng)試對(duì)策:在解答選擇題、填空題時(shí)，若能使用這些結(jié)論，則可以直接“秒殺”；對(duì)于解答題，則可先得到結(jié)論，再把“經(jīng)典”問題的推導(dǎo)過程“演繹”一次即可.

(3)注意化歸思想的運(yùn)用和解題觀點(diǎn)的提高.

數(shù)學(xué)試題中的難題之所以成為難題，其主要原因往往是試題的題型、情境對(duì)考生來說可能是全新的，看不清問題的本質(zhì)而導(dǎo)致解題失敗.對(duì)于這些問題，我們可以先剝?nèi)ピ囶}“過度的包裝”，看到問題的本質(zhì)，然后通過等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法化歸為已知的、熟悉的經(jīng)典問題，從而使問題得到解決.只有在平時(shí)復(fù)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，才能在應(yīng)試時(shí)站得高、看得遠(yuǎn)，做到游刃有余.