高中數(shù)學(xué)建模思想細(xì)分詳解

文范國(guó)慶

摘 要：數(shù)學(xué)建模就是將數(shù)學(xué)知識(shí)歸類概括為數(shù)學(xué)模型，以便于指導(dǎo)同類問題的解決。結(jié)合教學(xué)實(shí)踐對(duì)高中數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)行了詳細(xì)的解說。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；建模思想；問題分析；簡(jiǎn)化假設(shè)

數(shù)學(xué)建模就是將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行歸類提煉，概括為數(shù)學(xué)模型，然后通過該模型指導(dǎo)同類問題的解決。其實(shí)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)有限，我們只要認(rèn)真梳理，就可以將他們歸類分別建立模型，諸如，不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型、數(shù)列模型、三角模型等。這樣就能指導(dǎo)學(xué)生將抽象知識(shí)轉(zhuǎn)化成解決問題的方法。鑒于此，筆者將高中數(shù)學(xué)建模思想進(jìn)行詳細(xì)分析與解說。

一、模型準(zhǔn)備

數(shù)學(xué)模型是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論和實(shí)際運(yùn)用之間的橋梁，所以我們首先要用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際問題。要認(rèn)真分析實(shí)際問題背景，搜集各種必需數(shù)據(jù)和信息，挖掘隱含的數(shù)學(xué)概念，并一一捋順其關(guān)系。這里舉例進(jìn)行分析：

某連鎖酒店有150個(gè)客房，根據(jù)調(diào)查顯示：?jiǎn)蝺r(jià)定為160元/時(shí)，入住率為55%，當(dāng)單價(jià)定為140元/時(shí)，入住率為65%，單價(jià)定為120元/時(shí)，入住率為75%，單價(jià)定為100元/時(shí)，入住率為85%。若想使酒店家獲得最大收益，客房定價(jià)為多少合適？

客房入住利潤(rùn)問題在現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)練習(xí)中很常見，這就需要我們通過建模來形成解決方法。根據(jù)題意我們分析數(shù)據(jù)關(guān)系可以歸納出，總共150間客房，單價(jià)每下調(diào)20元，入住率提高10%，我們需要求出每下降1元入住率會(huì)提高多少，這樣才能算出恰當(dāng)?shù)膬r(jià)格點(diǎn)。

二、簡(jiǎn)化假設(shè)

簡(jiǎn)化假設(shè)是將復(fù)雜、抽象的問題進(jìn)行總結(jié)概括的過程，是我們成功篩取有效數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得出結(jié)論的轉(zhuǎn)折過程?，F(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)問題往往是復(fù)雜多變的，需要我們對(duì)信息和數(shù)據(jù)進(jìn)行有效提純、加工和簡(jiǎn)化，才能完成建模過程。所以，我們?cè)陂喿x應(yīng)用題時(shí)，要發(fā)揮充分的觀察和想象能力，抓主要矛盾，一一羅列出關(guān)鍵信息。

具體到上面的問題，結(jié)合以上背景分析，我們可以羅列有效信息如下：

1.共150間客房，每間定價(jià)最高160元；

2.根據(jù)給出數(shù)據(jù)分析，單價(jià)下調(diào)與住房率呈現(xiàn)反比例；

3.每間客房單價(jià)應(yīng)該相等。

簡(jiǎn)化假設(shè)是將復(fù)雜問題直觀化，否則問題將無法解決。比如，上面的問題如果每間客房?jī)r(jià)格不一樣那就無法計(jì)算，或者單價(jià)和入住率不成線性比例那也將變得復(fù)雜。

三、建立模型

參照以上分析和假設(shè)，我們尋找到相關(guān)數(shù)學(xué)變量間的關(guān)系，并根據(jù)數(shù)量關(guān)系建立模型。這中間應(yīng)充分利用已知領(lǐng)域的已知模型或結(jié)果，通過類比聯(lián)想等方法構(gòu)造模型。此外，我們還要注意，建立數(shù)學(xué)模型時(shí)還要注意一個(gè)原則：能用初級(jí)方法絕不用復(fù)雜方法，否則將會(huì)畫蛇添足。

1.分析

設(shè)該酒店一天總收益為y，設(shè)攫取最大利益時(shí)是在160元的基礎(chǔ)上每間客房單價(jià)下調(diào)x元。所以每降價(jià)1元，入住率就增加10%÷20=0.005。因此y=150×（160-x）×（0.55×0.005x）。由0.55+0.005x≤1可知0≤x≤90于是問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)0≤x≤90時(shí)，y的最大值是多少？

2.求解

根據(jù)二次函數(shù)求最值可得到當(dāng)x=25，即住房定價(jià)為135元時(shí)，y取最大值13668.75（元）。

3.討論與驗(yàn)證

（1）容易驗(yàn)證此收入在各種已知定價(jià)對(duì)應(yīng)的收入中是最大的。如果為了便于管理，定價(jià)為140元也是可以的，因?yàn)榇藭r(shí)它與最高收入只差18.75元。

（2）如果定價(jià)為180元，住房率應(yīng)為45%，相應(yīng)的收入只有12150元，因此假設(shè)（1）是合理的。

討論與驗(yàn)證是解答現(xiàn)實(shí)問題的必備過程，也是數(shù)學(xué)建模的重要保障。由于現(xiàn)實(shí)問題經(jīng)過簡(jiǎn)化，所以，在解題問題過程中我們一定要還原場(chǎng)景進(jìn)行討論，如此才能得出最契合實(shí)際的結(jié)論。

參考文獻(xiàn)：

梁樹花.高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的建模思想［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2013（02）.

編輯 王團(tuán)蘭