平衡赫爾巴特與杜威——“問題-親歷-變式-梳理”數(shù)學課堂教學模式實踐

●陳六一

以理論武裝的經(jīng)驗貌似具有了形而上的底氣，進而，筆者提出“問題—親歷—變式—梳理”的小學數(shù)學課堂教學模式，以行動兌現(xiàn)理念。

一、問題——發(fā)端教與學

《九章算術》中的246個問題，是我們教師創(chuàng)設數(shù)學問題很好的摹本，可惜我們沒有繼承發(fā)揚，以至于提出好的問題成了我們一線數(shù)學教師的奢侈品。那何為問題？指的就是需要學生研究并加以解決的數(shù)學矛盾，或者疑難的數(shù)學題目。以問題為出發(fā)點是小學數(shù)學課堂教學首要的一個策略。主要基于兩個理由：第一，任何數(shù)學知識都有其產(chǎn)生的背景，它往往建立在解決問題需要的基礎上，而且是自然誕生的，是水到渠成的結晶；第二，由難度適當?shù)膯栴}或者在學生數(shù)學現(xiàn)實的區(qū)域內，亦或真切的生活情境需要新知，而引起的認知沖突，可以激發(fā)學生的求知欲和思維的積極性，提高小學生學習數(shù)學的興趣。

例1-1：蘇教版六年級上冊《方程》例題1教材呈現(xiàn)如下：

我覺得直接引用教材問題，學生“看個究竟的動機”不高，其一、西安距離我的教學地蘇州太遠，學生不熟悉；其二、問題不好玩，學生會覺得問題解決不過是做題而已。于是，我進行了改編——

師：想知道老師的身高嘛？

生：當然想。

師：我不想直接告訴你，咋辦？

生：老師，你和佳佳同學差不多高，大概165 cm吧？

師：拉關系，好辦法。告訴大家，雖然老師很矮，但還是愿意和姚明拉上關系。

生：哈哈大笑。

師：大家都知道姚明有多高？

生：227 cm。

師板書：姚明身高227 cm，是數(shù)學陳老師身高的3倍……

生：不可能，老師矮得沒那么夸張。

師接著板書：姚明身高227 cm，是數(shù)學陳老師身高的3倍少271 cm，老師身高多少厘米？

課堂效果正如我所料，一個個興致高昂。課堂中問題固然可以由老師設計提出，但更要研究學生提出的問題，一如《學記》要求教師“善問”和“善待問”：“善問者如攻堅木，先其易者，后節(jié)其目，及其久也相說以解。不善問者反此。善待問者如撞鐘，叩之以小者則小鳴，叩之以大者則大鳴，待其從容，然后盡其聲。不善答問者反此。”但當前實際的小學教學頻頻出現(xiàn)章建躍博士的擔憂：課堂中老師“缺乏問題意識，解答結構良好的問題多，引導學生主動提出問題少，對學生提出問題的能力培養(yǎng)不力?！盵1]

例1-2：一個學生向我提出：“老師，其實三角形、長方形、正方形、平行四邊形都可以看做梯形?！焙蛯W生分享交流后，我覺得這個問題很有意思，待到課堂我請這位同學在班級里提出，學生們也頗感好奇。于是一段新奇的探索開始了——

S三角形=（a+b）h÷2=（0+a）h÷2=ah÷2

S長方形=（a+b）h÷2=（a+a）b÷2=ab

S正方形=（a+b）h÷2=（a+a）a÷2=a2

S平行四邊形=（a+b）h÷2=（a+a）h÷2=ah

二、親歷——經(jīng)驗過程中厚積薄發(fā)

課堂中學生須得親身經(jīng)歷思維活動的認知操作過程，包括觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、歸納、演繹、類比、猜想等等；課堂中學生還應該親身經(jīng)歷或成功或失敗或懊惱或興奮的精神體驗。

例2-1：在《三角形的內角和》的課堂，學生通過計算一副三角尺兩個不同的直角三角形內角和是180度，提出猜想：“任意三角形的內角和都是180度。”接著學生們各自根據(jù)自己的認知、經(jīng)驗實際操作驗證。

生1：畫出各種形狀的三角形若干個，分別測量各個角的度數(shù)，然后計算。

生2：畫出各種形狀的三角形若干個，依次剪下每個三角形的三個角，看是否平成一個平角。

生3：

……

需要提醒的是，任何有效的學習，都是一個主動建構的過程，但是這種主動是在主體擁有學習動機的前提下進行的；可是學習并不完全是為了適應學生目前的環(huán)境，不少學生意識不到學習對于自己成長的作用，因此不愿意為學習付出應有的努力。還有很多數(shù)學知識與生活實際之間具有間接性，加之抽象嚴密的邏輯讓很多學生心生恐懼，因此數(shù)學的學習相對于其他學科的學習更加被動。然而，有效學習數(shù)學是建立在學生心理活動的基礎之上，所以當學生的非智力因素（動機、興趣、情感、意志、性格等等）真切參與到認知活動中來，智力才會發(fā)生作用。

三、變式——超越直接經(jīng)驗

變式：中國數(shù)學教學的傳統(tǒng)，也是中國“雙基教學”的精華。通過變更學生認識數(shù)學知識的視角，顯現(xiàn)數(shù)學知識的隱蔽要素，顯現(xiàn)數(shù)學知識的本質特征。兒童的成長不完全建立在“直接經(jīng)驗”之上，就像不能讓兒童親自吸毒的辦法來認識“罌粟”的危害一樣。那么由教師設計練習，學生接受變式訓練達到熟能生巧，也是一種意義學習，發(fā)現(xiàn)學習，而并不是傳統(tǒng)的就是機械的，糟糕的。

顧冷沅先生在總結上海青浦經(jīng)驗時，使用了“概念變式”和“過程變式”的兩種分類。[2]

1.當概念被認為是靜止對象時，概念性變式是卓有成效的方法。

例3-1：《乘法分配律》練習中出示“23×62+23×38，23×23+23×77，23×101—23，23×102，23×23+23×78—23，（34×67+34×58）×8，8100÷90+8100÷10，（400+40+4）×25”。

這些變式是抽象的數(shù)字與符號，但相對于乘法分配律的意義來說則是具體的。

2.如果知識是通過一系列過程的發(fā)展而形成的，那么幫助學生體驗知識的“生長經(jīng)歷”就成了引入新知的必由之路。

例3-2：《乘法分配律》的學習中，我設計了如下過程式變式，幫助學生逐步建立乘法分配律的概念。

（1）情境感知

出示算式23×（62+38），請同學們用買衣服的情境編題，學生：一件上衣62元，一條褲子38元，阿姨買了這樣的衣服23套，一共用去多少元？接著出示算式23×62+23×38，還請同學們用買衣服的情境編題，學生：一件上衣62元，阿姨買了23件，一條褲子38元，阿姨也買了23件。那么阿姨一共用去多少元？

學生觀察，得出兩個題目表達的內容完全一樣，可以只用一個情境，并且兩個算式的結果也肯定一樣。老師請同學們自己選擇不同的數(shù)據(jù)，繼續(xù)編題，并寫出算式：18×39+18×38=18×（39+38），20×60+20×40=20×（60+40）……

（2）抽象感知

師：這樣的等式寫得完嗎？不需要情境你能再寫出幾個類似的等式嗎？

生：18×139+18×138=18×（139+138），25×18+25×82=25×（18+82）……

師：很棒！這些等式百分之百的正確，請教你是用什么方法寫出這些等式的？

生：這里有規(guī)律的，兩個乘法算式相加，如果有相同的因數(shù)，可以這個因數(shù)乘其他兩個因數(shù)的和。

（3）用符號概括

師：這樣的算式永遠寫不完，那可以用一個什么辦法把這些算式都包含進去？

生：▲×□+▲×◇=▲×（□+◇）

生：a×b+a×c=a×（b+c）

（4）靈活運用

師：名名同學計算12×（13+4）=12×13+4，錯在哪里？與正確答案相差多少？

變式，也切合建構主義者提出的“隨機通達教學”：對同一內容的學習要在不同時間多次進行，每次的情境都是改組的，分別針對知識的不同側面。這樣，在每一次的教學中，學生都能獲得知識的新理解，從而使學生對概念形成多角度的理解，并與具體情境聯(lián)系起來，形成背景性經(jīng)驗。

四、梳理——以“數(shù)學現(xiàn)實”發(fā)展到“實現(xiàn)數(shù)學”

例4-1：《平行四邊形的面積》變式教學之后，老師提出：今天有哪些收獲？老師不滿足于學生“學習了平行四邊形的面積公式S=ah。”接著啟發(fā)學生總結出“要想求出平行四邊形的面積，需想辦法找到對應的底和高的長度；同理，求底，則需要面積與高的數(shù)據(jù)，求高，則需要面積與底的數(shù)據(jù)?！边€啟發(fā)學生得到“推導平行四邊形的面積公式是把平行四邊形轉化為長方形，那么我們沒有學的三角形面積公式、梯形面積公式，也可以轉化為學過的圖形面積公式?！鄙踔劣袑W生說出“通過今天的學習，我明白了不懂的知識可以經(jīng)過轉化，變成自己能掌握的知識。”

梳理環(huán)節(jié)的設計，受益于波利亞“怎樣解題表”的啟迪，在“怎樣解題表”中，波利亞的第四階段是“回顧，檢查已經(jīng)得到的答案”。這是一個非常有遠見的做法，不但幫助解題者驗證了答案的準確度，更使得解題思路清晰可現(xiàn)，解題方法與學習者“數(shù)學現(xiàn)實”予以同化或者順應。那課堂教學中，通過回顧梳理所學的知識、技能、方法、經(jīng)驗、思想，可幫助學行內化認知，正遷移思想方法，使得學生腦海里的知識趨向結構化，由“學會”達到“會學”。

例4-2：劉德武老師在《一卷衛(wèi)生紙有多長》一課上，讓學生通過估計、實驗、計算的方法，算出了衛(wèi)生紙的長度，最后為了驗證結果，學生用直接測量的方法，測出了衛(wèi)生紙的長度。隨后，劉老師提出了一個問題：“我們花了大半節(jié)課的時間去計算一卷衛(wèi)生紙的長度，但用測量的方法只花了兩分鐘的時間，而且測量結果比計算結果更準確，我們折騰那么長時間干嘛呀？”

學生的回答可精彩。

生1：如果是很大的一卷紙，要直接測量是很費事的。

生2：如果不打開卷，測量是不可能的。

生3：在數(shù)學課上我們學到了方法，在生活中多有用??！

生4：這種學習，可以鍛煉自己的思維，比直接測量有用，可以使我們更加聰明。

生5：這種研究不是簡單地練習，不是做題后再做題，而是在研究中得到發(fā)展，我喜歡這樣的數(shù)學課。

梳理親歷探索這卷衛(wèi)生紙的長度的過程、方法，衛(wèi)生紙到底有多長的結果并不重要，重要的是學生在回顧中，體悟了探究的意義，體驗了數(shù)學的應用價值，思維含量，以“數(shù)學現(xiàn)實”發(fā)展到了“實現(xiàn)數(shù)學”。

【結語】

教學中，可依次按照“問題—親歷—變式—梳理”的順序推進教學過程，但是這四個環(huán)節(jié)也并非一定是必然的前后起承關系。例如學生在“親歷”、“變式”環(huán)節(jié)教學中，學生自然可以相機提出問題，學生的良好問題改變了教師的預設，教師機智的處理生成，進一步促進教學相長。例如學生親歷思維活動之后，老師可以幫助“后進生”回顧操作方法、推理思路等，順利過渡到變式練習……

其實，追溯當代教學理論的哲學源頭，基本上都是從赫爾巴特和杜威的教學思想演變發(fā)展而來。[3]赫爾巴特知識觀的核心是重視間接經(jīng)驗的學習，他認為主體與客觀二元分立，客體獨立于認知主體，知識的客觀性對主體具有制約作用。因此赫爾巴特主張教學可靠性知識的理解與接受，學生要學習具有系統(tǒng)性的課本知識，教師的任務是揭示確定性知識的內在聯(lián)系。赫爾巴特的教學思想非常適宜我們中華“自上而下”的文化土壤。杜威強調直接經(jīng)驗的學習，“兒童中心論”是其教育思想的要義，他建構起主體與客體、經(jīng)驗與自然、物質與精神相互依賴、雙向維系的整體性“生命存在論”，主張學生在“做”與“思維”的過程中學習。

進行“問題—親歷—變式—梳理”模式的課堂實踐，如以上案例教學，嘗試平衡“赫爾巴特對直接經(jīng)驗的偏見性與杜威教育就是經(jīng)驗的改組、知識是不確定的”這兩種教育理念。因為這不是非此即彼之爭，反而應該在吸取對方長處，優(yōu)勢互補中求發(fā)展，因為這種發(fā)展可以平衡直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗，可以平衡過程與結果。

[1]曹才翰,章建躍.數(shù)學教育心理學[M]，北京：北京師范大學，2007：282.

[2]張奠宙.中國數(shù)學雙基教學[M].上海：上海教育出版社，2009：72.

[3]孔企平,張維忠,黃榮金.數(shù)學新課程與數(shù)學學習[M].北京：高等教育出版社，2003：228.