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      不可小覷的三角形中線

      2014-05-13 02:36:44高爽
      初中生世界·七年級(jí) 2014年4期
      關(guān)鍵詞:分點(diǎn)平分代數(shù)式

      高爽

      三角形中線定義:在三角形中,連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段,叫做三角形的中線.

      三角形中線能帶給我們的結(jié)論:

      ①若AD是△ABC的中線,則一定有BD=CD=BC,如圖1.

      ②一個(gè)三角形有三條中線,交于內(nèi)部一點(diǎn)O,如圖2.

      ③若AD是△ABC的中線,則△ABC 的面積被AD平分,即S△ABD=S△ACD=S△ABC.

      理由:過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,如圖3,AH同為△ABD和△ACD 的高,所以S△ABD=BD·AH,S△ACD=CD·AH,又因BD=CD=BC,故S△ABD=S△ACD=S△ABC.

      在初中數(shù)學(xué)的范疇里,中點(diǎn)是個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn),由它引發(fā)的各種習(xí)題不勝枚舉. 記住中線的作用,既可以獲得線段相等或者倍半的關(guān)系,又可以獲得面積等分或者倍半的關(guān)系.

      經(jīng)典習(xí)題鏈接:

      蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)第27頁習(xí)題6

      (1) 如圖4,AD是△ABC的中線,△ABC和△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系?為什么?

      (2) 你能把1個(gè)三角形分成面積相等的4個(gè)三角形嗎?試畫出相應(yīng)的圖形.

      【思路引導(dǎo)】

      (1) 由前面第③個(gè)結(jié)論可得S△ABD=S△ABC.

      (2) 既然一條中線可以平分面積,那么在已經(jīng)是一半面積的三角形中,可以繼續(xù)利用中線完成二次平分,也就實(shí)現(xiàn)了將原三角形面積4等分,如圖5或圖6.

      【注】作圖方法不是唯一的,因每一次平分都可作三角形任意一條邊上的中線,在本題(1)問的情況下作圖就共有27種方法,同學(xué)們有興趣可以自己嘗試畫一畫,這里不一一列舉.

      【變式提升】

      1. 如圖7,△ABC中,D是AC邊的二等分點(diǎn),E是BC邊的四等分點(diǎn),F(xiàn)是BD邊的二等分點(diǎn),若S△ABC=16,則S△DEF=______.

      2. 如圖8,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),S△ABC=16,則S△ABD=______.

      E是AD的中點(diǎn), 則S△EBD=________.

      F是BE的中點(diǎn), 則S△BCF=________.

      G是FC的中點(diǎn), 則S△EFG=________.

      3. 探索:在如圖9至圖10中,△ABC的面積為a.

      (1) 如圖9,延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D,使CD=BC,連接DA. 若△ACD的面積為S1,則S1=_______(用含a的代數(shù)式表示);

      (2) 如圖10,延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D,延長邊CA到點(diǎn)E,使CD=BC,AE=CA,連接DE. 若△DEC的面積為S2,則S2=_______(用含a的代數(shù)式表示),并寫出理由;

      (3) 在圖10的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F,使BF=AB,連接FD,F(xiàn)E,得到△DEF(如圖11). 若陰影部分的面積為S3,則S3=_______(用含a的代數(shù)式表示).

      【發(fā)現(xiàn)】像上面那樣,將△ABC各邊均順次延長一倍,連接所得端點(diǎn),得到△DEF(如圖11),此時(shí),我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次. 可以發(fā)現(xiàn),擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的_______倍.

      參考答案:

      1. 3 2. 8 4 4 2 3. a 2a 6a 7

      (作者單位:河北省秦皇島市第十六中學(xué))endprint

      三角形中線定義:在三角形中,連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段,叫做三角形的中線.

      三角形中線能帶給我們的結(jié)論:

      ①若AD是△ABC的中線,則一定有BD=CD=BC,如圖1.

      ②一個(gè)三角形有三條中線,交于內(nèi)部一點(diǎn)O,如圖2.

      ③若AD是△ABC的中線,則△ABC 的面積被AD平分,即S△ABD=S△ACD=S△ABC.

      理由:過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,如圖3,AH同為△ABD和△ACD 的高,所以S△ABD=BD·AH,S△ACD=CD·AH,又因BD=CD=BC,故S△ABD=S△ACD=S△ABC.

      在初中數(shù)學(xué)的范疇里,中點(diǎn)是個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn),由它引發(fā)的各種習(xí)題不勝枚舉. 記住中線的作用,既可以獲得線段相等或者倍半的關(guān)系,又可以獲得面積等分或者倍半的關(guān)系.

      經(jīng)典習(xí)題鏈接:

      蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)第27頁習(xí)題6

      (1) 如圖4,AD是△ABC的中線,△ABC和△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系?為什么?

      (2) 你能把1個(gè)三角形分成面積相等的4個(gè)三角形嗎?試畫出相應(yīng)的圖形.

      【思路引導(dǎo)】

      (1) 由前面第③個(gè)結(jié)論可得S△ABD=S△ABC.

      (2) 既然一條中線可以平分面積,那么在已經(jīng)是一半面積的三角形中,可以繼續(xù)利用中線完成二次平分,也就實(shí)現(xiàn)了將原三角形面積4等分,如圖5或圖6.

      【注】作圖方法不是唯一的,因每一次平分都可作三角形任意一條邊上的中線,在本題(1)問的情況下作圖就共有27種方法,同學(xué)們有興趣可以自己嘗試畫一畫,這里不一一列舉.

      【變式提升】

      1. 如圖7,△ABC中,D是AC邊的二等分點(diǎn),E是BC邊的四等分點(diǎn),F(xiàn)是BD邊的二等分點(diǎn),若S△ABC=16,則S△DEF=______.

      2. 如圖8,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),S△ABC=16,則S△ABD=______.

      E是AD的中點(diǎn), 則S△EBD=________.

      F是BE的中點(diǎn), 則S△BCF=________.

      G是FC的中點(diǎn), 則S△EFG=________.

      3. 探索:在如圖9至圖10中,△ABC的面積為a.

      (1) 如圖9,延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D,使CD=BC,連接DA. 若△ACD的面積為S1,則S1=_______(用含a的代數(shù)式表示);

      (2) 如圖10,延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D,延長邊CA到點(diǎn)E,使CD=BC,AE=CA,連接DE. 若△DEC的面積為S2,則S2=_______(用含a的代數(shù)式表示),并寫出理由;

      (3) 在圖10的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F,使BF=AB,連接FD,F(xiàn)E,得到△DEF(如圖11). 若陰影部分的面積為S3,則S3=_______(用含a的代數(shù)式表示).

      【發(fā)現(xiàn)】像上面那樣,將△ABC各邊均順次延長一倍,連接所得端點(diǎn),得到△DEF(如圖11),此時(shí),我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次. 可以發(fā)現(xiàn),擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的_______倍.

      參考答案:

      1. 3 2. 8 4 4 2 3. a 2a 6a 7

      (作者單位:河北省秦皇島市第十六中學(xué))endprint

      三角形中線定義:在三角形中,連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段,叫做三角形的中線.

      三角形中線能帶給我們的結(jié)論:

      ①若AD是△ABC的中線,則一定有BD=CD=BC,如圖1.

      ②一個(gè)三角形有三條中線,交于內(nèi)部一點(diǎn)O,如圖2.

      ③若AD是△ABC的中線,則△ABC 的面積被AD平分,即S△ABD=S△ACD=S△ABC.

      理由:過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H,如圖3,AH同為△ABD和△ACD 的高,所以S△ABD=BD·AH,S△ACD=CD·AH,又因BD=CD=BC,故S△ABD=S△ACD=S△ABC.

      在初中數(shù)學(xué)的范疇里,中點(diǎn)是個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn),由它引發(fā)的各種習(xí)題不勝枚舉. 記住中線的作用,既可以獲得線段相等或者倍半的關(guān)系,又可以獲得面積等分或者倍半的關(guān)系.

      經(jīng)典習(xí)題鏈接:

      蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)第27頁習(xí)題6

      (1) 如圖4,AD是△ABC的中線,△ABC和△ABD的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系?為什么?

      (2) 你能把1個(gè)三角形分成面積相等的4個(gè)三角形嗎?試畫出相應(yīng)的圖形.

      【思路引導(dǎo)】

      (1) 由前面第③個(gè)結(jié)論可得S△ABD=S△ABC.

      (2) 既然一條中線可以平分面積,那么在已經(jīng)是一半面積的三角形中,可以繼續(xù)利用中線完成二次平分,也就實(shí)現(xiàn)了將原三角形面積4等分,如圖5或圖6.

      【注】作圖方法不是唯一的,因每一次平分都可作三角形任意一條邊上的中線,在本題(1)問的情況下作圖就共有27種方法,同學(xué)們有興趣可以自己嘗試畫一畫,這里不一一列舉.

      【變式提升】

      1. 如圖7,△ABC中,D是AC邊的二等分點(diǎn),E是BC邊的四等分點(diǎn),F(xiàn)是BD邊的二等分點(diǎn),若S△ABC=16,則S△DEF=______.

      2. 如圖8,在△ABC中,D是BC的中點(diǎn),S△ABC=16,則S△ABD=______.

      E是AD的中點(diǎn), 則S△EBD=________.

      F是BE的中點(diǎn), 則S△BCF=________.

      G是FC的中點(diǎn), 則S△EFG=________.

      3. 探索:在如圖9至圖10中,△ABC的面積為a.

      (1) 如圖9,延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D,使CD=BC,連接DA. 若△ACD的面積為S1,則S1=_______(用含a的代數(shù)式表示);

      (2) 如圖10,延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D,延長邊CA到點(diǎn)E,使CD=BC,AE=CA,連接DE. 若△DEC的面積為S2,則S2=_______(用含a的代數(shù)式表示),并寫出理由;

      (3) 在圖10的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F,使BF=AB,連接FD,F(xiàn)E,得到△DEF(如圖11). 若陰影部分的面積為S3,則S3=_______(用含a的代數(shù)式表示).

      【發(fā)現(xiàn)】像上面那樣,將△ABC各邊均順次延長一倍,連接所得端點(diǎn),得到△DEF(如圖11),此時(shí),我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次. 可以發(fā)現(xiàn),擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的_______倍.

      參考答案:

      1. 3 2. 8 4 4 2 3. a 2a 6a 7

      (作者單位:河北省秦皇島市第十六中學(xué))endprint

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