陸煒鋒
從課本中我們知道,多邊形的一個(gè)內(nèi)角與它的外角共用一條射線,兩者既有區(qū)別,又有聯(lián)系. 最基本的區(qū)別就是概念不同,最基本的聯(lián)系就是兩者之和為180°. 下面從區(qū)別和聯(lián)系兩個(gè)方面來深入探討一下.
一、 多邊形的內(nèi)角和
在推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和公式時(shí),用到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,將多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化成若干個(gè)三角形的內(nèi)角和的問題.即從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),可以引(n-3)條對角線,它們將n邊形分成(n-2)個(gè)三角形. 這(n-2)個(gè)三角形的所有內(nèi)角拼在一起就是n邊形的內(nèi)角和,從而得到n邊形的內(nèi)角和是(n-2)·180°(n≥3).
如圖1,六邊形可以分成四個(gè)三角形,所以六邊形的內(nèi)角和就是四個(gè)三角形的內(nèi)角度數(shù)之和:(6-2)×180°=720°.
例1 (依葫蘆畫瓢)九邊形的內(nèi)角和是________.
【分析】直接利用公式解題:(9-2)×180°=1 260°.
例2 (方程思想) 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°,這個(gè)多邊形的邊數(shù)是( ).
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【分析】已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和,求邊數(shù),可先設(shè)邊數(shù),再根據(jù)內(nèi)角和公式列出方程求解. 有些數(shù)學(xué)問題從形式上看雖然不是方程問題,但通過挖掘等量關(guān)系,可以轉(zhuǎn)化為方程. 同學(xué)們應(yīng)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中掌握并運(yùn)用方程思想.
【答案】設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形,則有:(n-2)·180°=720°,∴n=6. 選C.
二、 多邊形的外角和
在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角(每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角),這些外角的和叫做多邊形的外角和.
n邊形的任何一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角都等于180°,n個(gè)外角連同它們各自相鄰的內(nèi)角的總和等于n·180°,所以外角和為n·180°-(n-2)·180°=360°,即多邊形的外角和等于360°,它與邊數(shù)的多少無關(guān).
如圖2,五邊形一共有10個(gè)外角,而五邊形的外角和則是∠1+∠3+∠5+∠7+∠9=360°.
例3 (小試牛刀) 一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于45°,那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為( ).
A. 675° B. 720°
C. 900° D. 1 080°
【分析】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和與外角和.由于已知多邊形每個(gè)外角均為45°,從而可知多邊形邊數(shù)n為360°÷45°=8,進(jìn)而求出多邊形的內(nèi)角和為(8-2)×180°=1 080°,故選D.
三、 兩者的聯(lián)系
例4 (“內(nèi)”“外”兼修) 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍,則這個(gè)多邊形是( ).
A. 四邊形 B. 五邊形
C. 六邊形 D. 八邊形
【分析】已知任意多邊形的外角和是360°,可知其內(nèi)角和是720°,利用內(nèi)角和公式(n-2)·180°=360°×2,得n=6,故選C.
【答案】C.
例5 (由“內(nèi)”而“外”) 已知一個(gè)多邊形各個(gè)內(nèi)角都等于150°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).
【分析】本題可以有兩種方法:(1) 這是一道利用多邊形內(nèi)角和求多邊形邊數(shù)的應(yīng)用題.解題的關(guān)鍵是要明確多邊形各個(gè)內(nèi)角相加即為多邊形的內(nèi)角和.多邊形的內(nèi)角和表示為(n-2)·180°的形式,由于所給多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都相等,所以多邊形的內(nèi)角和又表示為n·150°,從而可列出方程求解. (2) 已知每個(gè)內(nèi)角都等于150°,易得每個(gè)外角都是30°,再根據(jù)多邊形外角和為360°,可求出邊數(shù).
【答案】方法一:設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,由題意,得(n-2)·180°=n·150°,解得n=12,即這個(gè)多邊形的邊數(shù)是12.
方法二:由題意,得這個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是180°-150°=30°,所以多邊形的邊數(shù)n=360°÷30°=12.
例6 (以“偏”概“全”) 已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等,且每一個(gè)內(nèi)角都等于與它相鄰的外角的9倍,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).
【分析】(1) 因?yàn)槎噙呅蔚拿總€(gè)外角與和它相鄰的內(nèi)角相加等于180°,根據(jù)題意,可先求出外角的度數(shù),再求邊數(shù);(2) 由于本題所給的條件是多邊形的內(nèi)角與外角之間的關(guān)系,所以還可以轉(zhuǎn)化為這個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和之間的關(guān)系.
【答案】方法一:設(shè)多邊形的每一個(gè)外角為x,則它的每個(gè)內(nèi)角為9x. 根據(jù)題意,得x+9x=180°,解得x=18°. 所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n=360°÷18°=20.
方法二:設(shè)多邊形的邊數(shù)為n. 根據(jù)題意,得(n-2)·180°=9×360°. 解得n=20. 所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為20.
正確運(yùn)用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化和方程思想,理解內(nèi)角和與外角和的聯(lián)系與區(qū)別是學(xué)好本節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵.
(作者單位:江蘇省海門市六甲初中)
從課本中我們知道,多邊形的一個(gè)內(nèi)角與它的外角共用一條射線,兩者既有區(qū)別,又有聯(lián)系. 最基本的區(qū)別就是概念不同,最基本的聯(lián)系就是兩者之和為180°. 下面從區(qū)別和聯(lián)系兩個(gè)方面來深入探討一下.
一、 多邊形的內(nèi)角和
在推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和公式時(shí),用到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,將多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化成若干個(gè)三角形的內(nèi)角和的問題.即從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),可以引(n-3)條對角線,它們將n邊形分成(n-2)個(gè)三角形. 這(n-2)個(gè)三角形的所有內(nèi)角拼在一起就是n邊形的內(nèi)角和,從而得到n邊形的內(nèi)角和是(n-2)·180°(n≥3).
如圖1,六邊形可以分成四個(gè)三角形,所以六邊形的內(nèi)角和就是四個(gè)三角形的內(nèi)角度數(shù)之和:(6-2)×180°=720°.
例1 (依葫蘆畫瓢)九邊形的內(nèi)角和是________.
【分析】直接利用公式解題:(9-2)×180°=1 260°.
例2 (方程思想) 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°,這個(gè)多邊形的邊數(shù)是( ).
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【分析】已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和,求邊數(shù),可先設(shè)邊數(shù),再根據(jù)內(nèi)角和公式列出方程求解. 有些數(shù)學(xué)問題從形式上看雖然不是方程問題,但通過挖掘等量關(guān)系,可以轉(zhuǎn)化為方程. 同學(xué)們應(yīng)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中掌握并運(yùn)用方程思想.
【答案】設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形,則有:(n-2)·180°=720°,∴n=6. 選C.
二、 多邊形的外角和
在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角(每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角),這些外角的和叫做多邊形的外角和.
n邊形的任何一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角都等于180°,n個(gè)外角連同它們各自相鄰的內(nèi)角的總和等于n·180°,所以外角和為n·180°-(n-2)·180°=360°,即多邊形的外角和等于360°,它與邊數(shù)的多少無關(guān).
如圖2,五邊形一共有10個(gè)外角,而五邊形的外角和則是∠1+∠3+∠5+∠7+∠9=360°.
例3 (小試牛刀) 一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于45°,那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為( ).
A. 675° B. 720°
C. 900° D. 1 080°
【分析】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和與外角和.由于已知多邊形每個(gè)外角均為45°,從而可知多邊形邊數(shù)n為360°÷45°=8,進(jìn)而求出多邊形的內(nèi)角和為(8-2)×180°=1 080°,故選D.
三、 兩者的聯(lián)系
例4 (“內(nèi)”“外”兼修) 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍,則這個(gè)多邊形是( ).
A. 四邊形 B. 五邊形
C. 六邊形 D. 八邊形
【分析】已知任意多邊形的外角和是360°,可知其內(nèi)角和是720°,利用內(nèi)角和公式(n-2)·180°=360°×2,得n=6,故選C.
【答案】C.
例5 (由“內(nèi)”而“外”) 已知一個(gè)多邊形各個(gè)內(nèi)角都等于150°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).
【分析】本題可以有兩種方法:(1) 這是一道利用多邊形內(nèi)角和求多邊形邊數(shù)的應(yīng)用題.解題的關(guān)鍵是要明確多邊形各個(gè)內(nèi)角相加即為多邊形的內(nèi)角和.多邊形的內(nèi)角和表示為(n-2)·180°的形式,由于所給多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都相等,所以多邊形的內(nèi)角和又表示為n·150°,從而可列出方程求解. (2) 已知每個(gè)內(nèi)角都等于150°,易得每個(gè)外角都是30°,再根據(jù)多邊形外角和為360°,可求出邊數(shù).
【答案】方法一:設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,由題意,得(n-2)·180°=n·150°,解得n=12,即這個(gè)多邊形的邊數(shù)是12.
方法二:由題意,得這個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是180°-150°=30°,所以多邊形的邊數(shù)n=360°÷30°=12.
例6 (以“偏”概“全”) 已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等,且每一個(gè)內(nèi)角都等于與它相鄰的外角的9倍,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).
【分析】(1) 因?yàn)槎噙呅蔚拿總€(gè)外角與和它相鄰的內(nèi)角相加等于180°,根據(jù)題意,可先求出外角的度數(shù),再求邊數(shù);(2) 由于本題所給的條件是多邊形的內(nèi)角與外角之間的關(guān)系,所以還可以轉(zhuǎn)化為這個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和之間的關(guān)系.
【答案】方法一:設(shè)多邊形的每一個(gè)外角為x,則它的每個(gè)內(nèi)角為9x. 根據(jù)題意,得x+9x=180°,解得x=18°. 所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n=360°÷18°=20.
方法二:設(shè)多邊形的邊數(shù)為n. 根據(jù)題意,得(n-2)·180°=9×360°. 解得n=20. 所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為20.
正確運(yùn)用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化和方程思想,理解內(nèi)角和與外角和的聯(lián)系與區(qū)別是學(xué)好本節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵.
(作者單位:江蘇省海門市六甲初中)
從課本中我們知道,多邊形的一個(gè)內(nèi)角與它的外角共用一條射線,兩者既有區(qū)別,又有聯(lián)系. 最基本的區(qū)別就是概念不同,最基本的聯(lián)系就是兩者之和為180°. 下面從區(qū)別和聯(lián)系兩個(gè)方面來深入探討一下.
一、 多邊形的內(nèi)角和
在推導(dǎo)多邊形的內(nèi)角和公式時(shí),用到了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,將多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化成若干個(gè)三角形的內(nèi)角和的問題.即從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),可以引(n-3)條對角線,它們將n邊形分成(n-2)個(gè)三角形. 這(n-2)個(gè)三角形的所有內(nèi)角拼在一起就是n邊形的內(nèi)角和,從而得到n邊形的內(nèi)角和是(n-2)·180°(n≥3).
如圖1,六邊形可以分成四個(gè)三角形,所以六邊形的內(nèi)角和就是四個(gè)三角形的內(nèi)角度數(shù)之和:(6-2)×180°=720°.
例1 (依葫蘆畫瓢)九邊形的內(nèi)角和是________.
【分析】直接利用公式解題:(9-2)×180°=1 260°.
例2 (方程思想) 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°,這個(gè)多邊形的邊數(shù)是( ).
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【分析】已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和,求邊數(shù),可先設(shè)邊數(shù),再根據(jù)內(nèi)角和公式列出方程求解. 有些數(shù)學(xué)問題從形式上看雖然不是方程問題,但通過挖掘等量關(guān)系,可以轉(zhuǎn)化為方程. 同學(xué)們應(yīng)在平時(shí)的學(xué)習(xí)中掌握并運(yùn)用方程思想.
【答案】設(shè)這個(gè)多邊形為n邊形,則有:(n-2)·180°=720°,∴n=6. 選C.
二、 多邊形的外角和
在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角(每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角),這些外角的和叫做多邊形的外角和.
n邊形的任何一個(gè)外角加上與它相鄰的內(nèi)角都等于180°,n個(gè)外角連同它們各自相鄰的內(nèi)角的總和等于n·180°,所以外角和為n·180°-(n-2)·180°=360°,即多邊形的外角和等于360°,它與邊數(shù)的多少無關(guān).
如圖2,五邊形一共有10個(gè)外角,而五邊形的外角和則是∠1+∠3+∠5+∠7+∠9=360°.
例3 (小試牛刀) 一個(gè)多邊形的每個(gè)外角都等于45°,那么這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為( ).
A. 675° B. 720°
C. 900° D. 1 080°
【分析】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和與外角和.由于已知多邊形每個(gè)外角均為45°,從而可知多邊形邊數(shù)n為360°÷45°=8,進(jìn)而求出多邊形的內(nèi)角和為(8-2)×180°=1 080°,故選D.
三、 兩者的聯(lián)系
例4 (“內(nèi)”“外”兼修) 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍,則這個(gè)多邊形是( ).
A. 四邊形 B. 五邊形
C. 六邊形 D. 八邊形
【分析】已知任意多邊形的外角和是360°,可知其內(nèi)角和是720°,利用內(nèi)角和公式(n-2)·180°=360°×2,得n=6,故選C.
【答案】C.
例5 (由“內(nèi)”而“外”) 已知一個(gè)多邊形各個(gè)內(nèi)角都等于150°,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).
【分析】本題可以有兩種方法:(1) 這是一道利用多邊形內(nèi)角和求多邊形邊數(shù)的應(yīng)用題.解題的關(guān)鍵是要明確多邊形各個(gè)內(nèi)角相加即為多邊形的內(nèi)角和.多邊形的內(nèi)角和表示為(n-2)·180°的形式,由于所給多邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都相等,所以多邊形的內(nèi)角和又表示為n·150°,從而可列出方程求解. (2) 已知每個(gè)內(nèi)角都等于150°,易得每個(gè)外角都是30°,再根據(jù)多邊形外角和為360°,可求出邊數(shù).
【答案】方法一:設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,由題意,得(n-2)·180°=n·150°,解得n=12,即這個(gè)多邊形的邊數(shù)是12.
方法二:由題意,得這個(gè)多邊形的每個(gè)外角都是180°-150°=30°,所以多邊形的邊數(shù)n=360°÷30°=12.
例6 (以“偏”概“全”) 已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等,且每一個(gè)內(nèi)角都等于與它相鄰的外角的9倍,求這個(gè)多邊形的邊數(shù).
【分析】(1) 因?yàn)槎噙呅蔚拿總€(gè)外角與和它相鄰的內(nèi)角相加等于180°,根據(jù)題意,可先求出外角的度數(shù),再求邊數(shù);(2) 由于本題所給的條件是多邊形的內(nèi)角與外角之間的關(guān)系,所以還可以轉(zhuǎn)化為這個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和之間的關(guān)系.
【答案】方法一:設(shè)多邊形的每一個(gè)外角為x,則它的每個(gè)內(nèi)角為9x. 根據(jù)題意,得x+9x=180°,解得x=18°. 所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n=360°÷18°=20.
方法二:設(shè)多邊形的邊數(shù)為n. 根據(jù)題意,得(n-2)·180°=9×360°. 解得n=20. 所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為20.
正確運(yùn)用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化和方程思想,理解內(nèi)角和與外角和的聯(lián)系與區(qū)別是學(xué)好本節(jié)內(nèi)容的關(guān)鍵.
(作者單位:江蘇省海門市六甲初中)