逆向應用，無限精彩

何春華

同學們知道冪的運算包括同底數(shù)冪的乘法、除法，冪的乘方以及積的乘方，熟練掌握這些法則，我們能順利解決冪的有關(guān)運算問題. 大家有沒有想過將這些公式逆向應用？本文將帶你領略逆用冪的運算法則的精彩！

1. 同底數(shù)冪乘法法則的逆用

例1 已知am=3，an=9，求am+n的值.

【分析】由所求式子中的指數(shù)是和的形式想到“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”，所以可逆用同底數(shù)冪的乘法法則將am+n轉(zhuǎn)化為兩個同底數(shù)冪的積，即am+n=am·an，再把已知條件代入即可求值.

解：am+n=am·an=3×9=27.

【點評】冪中的指數(shù)是和的形式時應考慮逆用同底數(shù)冪的乘法法則求值，特別注意解題時不要出現(xiàn)am+n=am+an這類錯誤.

2. 冪的乘方法則的逆用

例2 已知a2n=4，求a4n-a6n的值.

【分析】注意到4n=2×2n，6n=3×2n，聯(lián)想起“冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘”，可逆用冪的乘方，將a4n-a6n轉(zhuǎn)化為（a2n）2-（a2n）3，再把a2n=4代入即可求值.

解：a4n-a6n=（a2n）2-（a2n）3=42-43=-48.

【點評】逆用冪的乘方法則時，冪的底數(shù)不變，把冪的指數(shù)分解成兩個因數(shù)的積，再轉(zhuǎn)化成冪的乘方的形式，即amn=（am）n=（an）m（m、n都為正整數(shù)）. 當冪中的指數(shù)可以看成是兩個數(shù)的乘積時便可逆用冪的乘方法則了.

3. 積的乘方法則逆用

例3 計算：（-0.125）2013×（-8）2013.

【分析】觀察可知兩個冪的底數(shù)互為倒數(shù)，且兩個冪的指數(shù)相同，聯(lián)想到“積的乘方等于每一項都乘方”，可逆用積的乘方法則anbn=（ab）n進行求解.

解：（-0.125）2013×（-8）2013=[（-0.125）×（-8）]2013=12013=1.

【點評】當兩個冪的底數(shù)互為倒數(shù)時，底數(shù)的積為1，這時逆用積的乘方法則可起到簡化運算的作用. 若本題改為（-0.125）2013×（-8）2014，你還會逆用積的乘方求解嗎？

4. 同底數(shù)冪除法法則的逆用

例4 已知ax=4，ay=16，求ax-2y的值.

【分析】由所求式子中的指數(shù)差聯(lián)想到“同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減”，可逆用同底數(shù)冪的除法法則將ax-2y轉(zhuǎn)化成兩個同底數(shù)冪商的形式，即ax-2y=ax÷a2y，而a2y又可以轉(zhuǎn)化為（ay）2，最后把已知條件代入求值即可.

解：ax-2y=ax÷a2y=ax÷（ay）2=4÷256=.

【點評】冪中的指數(shù)是差的形式時，應考慮逆用同底數(shù)冪的除法法則求值，特別注意解題時不要出現(xiàn)ax-y=ax-ay這類錯誤.

由此，我們可以發(fā)現(xiàn)逆用冪的運算法則也需一定條件：當冪的運算中出現(xiàn)指數(shù)和、差、積的形式或底數(shù)互為倒數(shù)時，同學們可逆向運用冪的運算法則，從而輕松求解！

（作者單位：江蘇省海門市悅來鎮(zhèn)初級中學）endprint

同學們知道冪的運算包括同底數(shù)冪的乘法、除法，冪的乘方以及積的乘方，熟練掌握這些法則，我們能順利解決冪的有關(guān)運算問題. 大家有沒有想過將這些公式逆向應用？本文將帶你領略逆用冪的運算法則的精彩！

1. 同底數(shù)冪乘法法則的逆用

例1 已知am=3，an=9，求am+n的值.

【分析】由所求式子中的指數(shù)是和的形式想到“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”，所以可逆用同底數(shù)冪的乘法法則將am+n轉(zhuǎn)化為兩個同底數(shù)冪的積，即am+n=am·an，再把已知條件代入即可求值.

解：am+n=am·an=3×9=27.

【點評】冪中的指數(shù)是和的形式時應考慮逆用同底數(shù)冪的乘法法則求值，特別注意解題時不要出現(xiàn)am+n=am+an這類錯誤.

2. 冪的乘方法則的逆用

例2 已知a2n=4，求a4n-a6n的值.

【分析】注意到4n=2×2n，6n=3×2n，聯(lián)想起“冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘”，可逆用冪的乘方，將a4n-a6n轉(zhuǎn)化為（a2n）2-（a2n）3，再把a2n=4代入即可求值.

解：a4n-a6n=（a2n）2-（a2n）3=42-43=-48.

【點評】逆用冪的乘方法則時，冪的底數(shù)不變，把冪的指數(shù)分解成兩個因數(shù)的積，再轉(zhuǎn)化成冪的乘方的形式，即amn=（am）n=（an）m（m、n都為正整數(shù)）. 當冪中的指數(shù)可以看成是兩個數(shù)的乘積時便可逆用冪的乘方法則了.

3. 積的乘方法則逆用

例3 計算：（-0.125）2013×（-8）2013.

【分析】觀察可知兩個冪的底數(shù)互為倒數(shù)，且兩個冪的指數(shù)相同，聯(lián)想到“積的乘方等于每一項都乘方”，可逆用積的乘方法則anbn=（ab）n進行求解.

解：（-0.125）2013×（-8）2013=[（-0.125）×（-8）]2013=12013=1.

【點評】當兩個冪的底數(shù)互為倒數(shù)時，底數(shù)的積為1，這時逆用積的乘方法則可起到簡化運算的作用. 若本題改為（-0.125）2013×（-8）2014，你還會逆用積的乘方求解嗎？

4. 同底數(shù)冪除法法則的逆用

例4 已知ax=4，ay=16，求ax-2y的值.

【分析】由所求式子中的指數(shù)差聯(lián)想到“同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減”，可逆用同底數(shù)冪的除法法則將ax-2y轉(zhuǎn)化成兩個同底數(shù)冪商的形式，即ax-2y=ax÷a2y，而a2y又可以轉(zhuǎn)化為（ay）2，最后把已知條件代入求值即可.

解：ax-2y=ax÷a2y=ax÷（ay）2=4÷256=.

【點評】冪中的指數(shù)是差的形式時，應考慮逆用同底數(shù)冪的除法法則求值，特別注意解題時不要出現(xiàn)ax-y=ax-ay這類錯誤.

由此，我們可以發(fā)現(xiàn)逆用冪的運算法則也需一定條件：當冪的運算中出現(xiàn)指數(shù)和、差、積的形式或底數(shù)互為倒數(shù)時，同學們可逆向運用冪的運算法則，從而輕松求解！

（作者單位：江蘇省海門市悅來鎮(zhèn)初級中學）endprint

同學們知道冪的運算包括同底數(shù)冪的乘法、除法，冪的乘方以及積的乘方，熟練掌握這些法則，我們能順利解決冪的有關(guān)運算問題. 大家有沒有想過將這些公式逆向應用？本文將帶你領略逆用冪的運算法則的精彩！

1. 同底數(shù)冪乘法法則的逆用

例1 已知am=3，an=9，求am+n的值.

【分析】由所求式子中的指數(shù)是和的形式想到“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”，所以可逆用同底數(shù)冪的乘法法則將am+n轉(zhuǎn)化為兩個同底數(shù)冪的積，即am+n=am·an，再把已知條件代入即可求值.

解：am+n=am·an=3×9=27.

【點評】冪中的指數(shù)是和的形式時應考慮逆用同底數(shù)冪的乘法法則求值，特別注意解題時不要出現(xiàn)am+n=am+an這類錯誤.

2. 冪的乘方法則的逆用

例2 已知a2n=4，求a4n-a6n的值.

【分析】注意到4n=2×2n，6n=3×2n，聯(lián)想起“冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘”，可逆用冪的乘方，將a4n-a6n轉(zhuǎn)化為（a2n）2-（a2n）3，再把a2n=4代入即可求值.

解：a4n-a6n=（a2n）2-（a2n）3=42-43=-48.

【點評】逆用冪的乘方法則時，冪的底數(shù)不變，把冪的指數(shù)分解成兩個因數(shù)的積，再轉(zhuǎn)化成冪的乘方的形式，即amn=（am）n=（an）m（m、n都為正整數(shù)）. 當冪中的指數(shù)可以看成是兩個數(shù)的乘積時便可逆用冪的乘方法則了.

3. 積的乘方法則逆用

例3 計算：（-0.125）2013×（-8）2013.

【分析】觀察可知兩個冪的底數(shù)互為倒數(shù)，且兩個冪的指數(shù)相同，聯(lián)想到“積的乘方等于每一項都乘方”，可逆用積的乘方法則anbn=（ab）n進行求解.

解：（-0.125）2013×（-8）2013=[（-0.125）×（-8）]2013=12013=1.

【點評】當兩個冪的底數(shù)互為倒數(shù)時，底數(shù)的積為1，這時逆用積的乘方法則可起到簡化運算的作用. 若本題改為（-0.125）2013×（-8）2014，你還會逆用積的乘方求解嗎？

4. 同底數(shù)冪除法法則的逆用

例4 已知ax=4，ay=16，求ax-2y的值.

【分析】由所求式子中的指數(shù)差聯(lián)想到“同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減”，可逆用同底數(shù)冪的除法法則將ax-2y轉(zhuǎn)化成兩個同底數(shù)冪商的形式，即ax-2y=ax÷a2y，而a2y又可以轉(zhuǎn)化為（ay）2，最后把已知條件代入求值即可.

解：ax-2y=ax÷a2y=ax÷（ay）2=4÷256=.

【點評】冪中的指數(shù)是差的形式時，應考慮逆用同底數(shù)冪的除法法則求值，特別注意解題時不要出現(xiàn)ax-y=ax-ay這類錯誤.

由此，我們可以發(fā)現(xiàn)逆用冪的運算法則也需一定條件：當冪的運算中出現(xiàn)指數(shù)和、差、積的形式或底數(shù)互為倒數(shù)時，同學們可逆向運用冪的運算法則，從而輕松求解！

（作者單位：江蘇省海門市悅來鎮(zhèn)初級中學）endprint