由一道幾何題的多證引發(fā)的對(duì)輔助線作法的思考

蔡菲

【摘要】 好的練習(xí)題是一種難得的教學(xué)資源，蘊(yùn)含著很高的教學(xué)價(jià)值.其中存有多種解法的題就是一類比較好的題目.通過(guò)對(duì)此類題目的多維度解答，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

【關(guān)鍵詞】 一題多證；輔助線；思考

幾何證明題一直是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，但這部分內(nèi)容卻讓很多學(xué)生感到頭疼.究其原因有以下幾點(diǎn)：第一，輔助線的添加具有一定的難度；第二，對(duì)已學(xué)的定理、推論等掌握不夠牢固；第三，不能準(zhǔn)確地將題目中所提供的信息與自己已有的知識(shí)建立一定的聯(lián)系；第四，問(wèn)題分析能力的不足.那么教師怎樣通過(guò)對(duì)題目的解答來(lái)引導(dǎo)學(xué)生提高分析問(wèn)題的能力和歸納總結(jié)能力呢？下面就以一道多證題為例，談?wù)勛C明題中關(guān)于輔助線的作法.

一、題目及多證

如圖1， 在△ABC中， AB=AC， F是AC上的點(diǎn)， 在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E使AE = AF，連接EF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D， 求證：EF⊥BC.

方法一：作∠BAC的角平分線交BC于G.

如圖2所示.

∵ AE = AF，

∴ ∠AFE = ∠E， ∠BAC是△AEF的外角.

∴ ∠BAC = ∠AFE + ∠E = 2∠AFE.

∵ AG平分∠BAC，

∴ ∠BAC = 2∠GAC.

∴ ∠GAC = ∠AFE.

∴ AG∥ED.

∵ AB = AC， AG是∠BAC的角平分線，

∴ AG⊥BC.

∴ ∠FDC = ∠AGC = 90°.

∴ EF⊥BC.

評(píng)析 通過(guò)作角平分線來(lái)構(gòu)造兩個(gè)相等的角，再利用等腰三角形頂角的角平分線也是底邊的高這一性質(zhì)，最終得出EF⊥BC.

方法二： 取線段EF的中點(diǎn)H， 連接AH，如圖3所示.

∵ AB = AC，

∴ ∠B = ∠C.

∵ ∠EAF是 △ABC的外角，

∴ ∠EAF = ∠B + ∠C = 2∠C.

又 ∵ AE = AF，F(xiàn)H = EH，AH = AH，

∴ △AHF ≌ △AHE.

∴ ∠EAF = 2∠HAF.

∴ ∠C = ∠HAF.

∴ AH∥BC.

∵等腰△AEF中，F(xiàn)H = EH，

∴ ∠AHF = ∠FDC = 90°.

∴ EF⊥BC.

評(píng)析 通過(guò)作線段的中點(diǎn)來(lái)構(gòu)造兩段相等的線段，從而為證明兩個(gè)三角形全等提供了條件.

方法三： 過(guò)點(diǎn)C作MC⊥BC于點(diǎn)C， 交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M， 如圖4所示.

∴ ∠M + ∠B = 90°，

∠MCA + ∠ACB = 90°.

又 ∵ AB = AC，

∴ ∠B = ∠ACB.

∴ ∠M = ∠MCA.

∵ ∠BAC是△ACM的一個(gè)外角，

∴ ∠BAC = ∠M + ∠MCA = 2∠M.

∵ ∠BAC是△AEF的一個(gè)外角，

∴ ∠BAC = ∠AEF+∠AFE.

∵ AE = AF，

∴ ∠AEF = ∠AFE.

∴ ∠BAC = 2∠AEF.

∴ ∠M = ∠AEF.

∴ EF∥MC.

∴ ∠EDB = ∠MCB = 90°.

∴ EF⊥BC.

評(píng)析 通過(guò)作已知直線的垂線，可以構(gòu)造一個(gè)直角三角形，而在直角三角形中不僅可以得到兩銳角之和為90°，而且可以得到兩條相互垂直的線段.

方法四： 過(guò)點(diǎn)E作EP∥AC， 交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P， 如圖5所示.

∴ ∠P = ∠ACB.

∵ AB = AC，

∴ ∠B = ∠ACB. ∴ ∠B = ∠P.

∴ EB = EP.

∴ △EBP是等腰三角形.

∵ AE = AF，

∴ ∠AEF = ∠AFE.

又 ∵ AC∥EP，

∴ ∠AFE = ∠FEP，∠AEF = ∠FEP，

即ED是等腰三角形EBP的頂角平分線.

∴ ED⊥BP， 即EF⊥BC.

評(píng)析 通過(guò)作已知線段的平行線來(lái)證明兩個(gè)角相等，再利用等腰三角形頂角的角平分線也是底邊上的高這一性質(zhì)，最終得到EF⊥BC.

二、歸納及思考

通過(guò)對(duì)上述題目的解答和評(píng)析能夠得出以下幾種常見的輔助線作法：

1. 作角平分線

通過(guò)作角平分線，一方面可以得到兩個(gè)相等的角，另一方面，我們知道角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，這樣可以很好地構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形.所以當(dāng)題目中涉及角之間的關(guān)系時(shí)，我們常用這種輔助線的作法.

2. 取線段的中點(diǎn)

取線段的中點(diǎn)有兩種作法.第一，取已知線段的中點(diǎn)；第二，將已知線段的一個(gè)端點(diǎn)作為中點(diǎn)，對(duì)線段進(jìn)行延長(zhǎng)，使所得的線段變?yōu)樵€段的兩倍；第三，取三角形任意兩邊的中點(diǎn)，并將兩中點(diǎn)連接，再根據(jù)題意對(duì)中位線的性質(zhì)進(jìn)行選用.若題目中出現(xiàn)線段之間的等量關(guān)系，我們首選的就是這種輔助線的作法.

3. 作垂線

過(guò)一點(diǎn)作已知線段的垂線，這樣可以構(gòu)造一個(gè)直角三角形，進(jìn)而我們根據(jù)題意利用有關(guān)直角三角形的性質(zhì)來(lái)解題.這種輔助線的作法常用在以下幾種題型中：第一，求兩銳角之和等于90°；第二，求證兩線段互相垂直；第三，求證幾條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系.

4. 作平行線

通過(guò)作已知線段的平行線我們不僅可以得到一些角的等量關(guān)系，而且可以得到一些線段的比例關(guān)系.若題目要求證明線段的比例關(guān)系或者兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積應(yīng)首選這種輔助線的作法.

總之，在幾何證明題中，恰當(dāng)?shù)靥砑虞o助線至關(guān)重要.學(xué)生應(yīng)該在做題的過(guò)程中，總結(jié)添加一些輔助線的基本規(guī)律，對(duì)于一些非常規(guī)的題目，要善于聯(lián)想，善于結(jié)合，把題設(shè)、結(jié)論，用已學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，找到突破口，從而成功地添加輔助線.