法則建構(gòu)，讓學(xué)生經(jīng)歷抽象之旅

周華紅

【摘要】 計算能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最基礎(chǔ)的能力，因此提高學(xué)生的計算能力對提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著重要的意義. 而在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對法則的理解掌握較差，以至于影響著計算能力的提高，因此教學(xué)中要充分引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷法則的建構(gòu)過程，正確掌握法則，以便于能正確計算.

【關(guān)鍵詞】 計算法則；算理；符號；抽象

抽象思想在教學(xué)中的體現(xiàn)一般應(yīng)遵循從抽取形象的外部特征向抽象出事物的本質(zhì)特征逐步發(fā)展的規(guī)律. 因此，在計算教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生已有的知識和經(jīng)驗，采取有效的直觀手段，幫助學(xué)生經(jīng)歷法則的抽象建構(gòu)過程，理解計算的算理，進而掌握計算的算法和法則，為計算能力的提高奠定堅實的基礎(chǔ). 那怎樣在有效的情境中建構(gòu)法則呢？一般情況下，法則的建構(gòu)需要經(jīng)歷“情境→算式→算理→符號”的逐步抽象過程.

如蘇教版三年級下冊“兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)”的口算教學(xué). 例題是讓學(xué)生在具體的情境中探索12 × 10的口算方法. 再通過試一試讓學(xué)生根據(jù)12 × 10的口算類推出12 × 30的口算方法，并通過討論和交流，使學(xué)生初步掌握兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的基本口算方法. 那么，如何引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷法則的逐步抽象過程，建構(gòu)法則并掌握算法呢？

一、創(chuàng)設(shè)情境，形成教學(xué)口算的資源

計算教學(xué)的情境創(chuàng)設(shè)目的是從生活中提取數(shù)學(xué)素材，把生活中的實際問題提取出來，讓學(xué)生產(chǎn)生探索欲望. 如本節(jié)課例題創(chuàng)設(shè)了一個搬牛奶的現(xiàn)實情境，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察，獲取相應(yīng)的數(shù)學(xué)信息（每箱12瓶，已搬下9箱牛奶，又搬下1箱；把10箱牛奶分兩堆擺，每堆是5箱），并提出問題（三年級有117人，每人一瓶牛奶，搬下10箱夠不夠）. 這里的搬牛奶情境為后面的兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的算理奠定情境基礎(chǔ)，為算理的理解提供情境支持，這就是法則抽象的開始.

二、列出算式，由生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題

在這個環(huán)節(jié)中，教師應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從生活問題到數(shù)學(xué)問題的抽象過程. 如例題中根據(jù)問題：“每人一瓶牛奶，搬下10箱夠不夠？”引導(dǎo)學(xué)生思考解決問題的策略，要先根據(jù)算出12箱一共多少瓶牛奶，然后再和“三年級的117人”比較，列出算式“12 × 10”. “12 × 10 = ？”是經(jīng)過抽象而得到的數(shù)學(xué)問題. 此時的數(shù)學(xué)問題不是單純抽象意義上的數(shù)學(xué)問題，而是具有生活情境意義的數(shù)學(xué)問題，為下一步算理的理解奠定具體形象的情境基礎(chǔ).

三、理解算理，在算法多樣化中初步構(gòu)建

在這個環(huán)節(jié)，教師根據(jù)前面的抽象鋪墊，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題過程中理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理，并適時抽象、歸納出計算法則. 教師放手讓學(xué)生根據(jù)問題情境嘗試解決問題，討論解決問題的辦法. 對這道例題，學(xué)生通過觀察分析，算式很快就能列出. 接下來就是如何口算兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)，會有以下幾種不同的口算方法，讓學(xué)生充分表達自己的思維過程，在比較說理中，學(xué)生自覺地實現(xiàn)優(yōu)化.

第一種：12 × 9 = 108 108 + 12 = 120

這種方法很直接，通過觀察情境圖可以直觀地看到口算思路. 一箱12瓶牛奶，10箱就是120瓶，三年級學(xué)生117人，足夠了. 從圖中發(fā)現(xiàn)，搬了9箱是12 × 9 = 108（瓶），再加上1箱就行了，所以是108 + 12 = 120（瓶）. 12 × 9是學(xué)生過去學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)，108 + 12是多位數(shù)加法，更是沒問題，因此口算可以順利完成. 但此種方法有局限性，如果要搬下20箱，問題就來了，先算12 × 9沒有問題，剩下的11箱就是12 × 11，這已經(jīng)超出了兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)的界限，是后續(xù)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，連續(xù)加11次，沒有人這么想.

第二種：12 × 5 = 60 60 × 2 = 120

這種方法先算一半是多少再求它的2倍，也是學(xué)生經(jīng)常想到的思路，有時特別簡潔. 但此種方法也有局限性，今天學(xué)習(xí)的是兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)，能用此種方法進行口算的題目也只有這一個. 比如12 × 20就不可以了，先求一半是12 × 10，這就又回到了原題上，12×30等就更行不通了.

第三種：10 × 10 = 100 2 × 10 = 20 100 + 20 = 120

這種方法是把12看作10 + 2，先算10 × 10 = 100，學(xué)生知道10個1是10，10個10是100，利用進率就可以解決，以下的2 × 10，100 + 20都沒有任何障礙. 但此種方法還是有局限性，整十?dāng)?shù)是20～90中的任何一個數(shù)都比較困難.

第四種：12 × 1 = 12 12 × 10 = 120

這種方法，是將整十?dāng)?shù)的十位上的數(shù)先與兩位數(shù)相乘，后在乘的結(jié)果后面添0，就可以解決問題了. 整十?dāng)?shù)只有9個，10，20，30，…，90，這9個數(shù)中十位上的數(shù)最大的是9，都不可能超過兩位數(shù)，因此，第一步的口算就變成了兩位數(shù)乘一位數(shù)，第二步只是個添個0的問題. 第二步添0的問題，學(xué)生是有經(jīng)驗的. 所以，兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)用此方法口算帶有一般性，無論在什么情形都適用. 這一點要算理明確，要讓學(xué)生體會到，只有學(xué)生真切地體會 了帶有普遍性的算理，才能有效地實現(xiàn)計算教學(xué)的優(yōu)化.

在上述例題中，學(xué)生能從心里真正選擇第四種方法作為兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)口算的范式，是需要說理的. 學(xué)生的各種算法中，有的是形象思維與抽象思維交融的產(chǎn)物，有的是類比推理的結(jié)果，這些算法都是學(xué)生數(shù)學(xué)思考與解決問題的具體表現(xiàn).

四、符號表征，在抽象中概括法則

在這個環(huán)節(jié)的抽象過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將語言表述與符號表達相結(jié)合，并相互轉(zhuǎn)化. 教師要引導(dǎo)學(xué)生在前面提供的情境和模型的基礎(chǔ)上，借助已有的直觀經(jīng)驗用“先算什么再算什么”等語言表達算式的過程. 接著在“試一試”中解決第二個問題：“如果搬下30箱呢？”列出算式，在口算時從12 × 3的積，推理出12 × 30的積，不提倡算法多樣了. 至此，抽象之旅已經(jīng)達到最高層次. 然而，法則蘊含在抽象符號表征的算式之中，要讓學(xué)生進一步理解算理、掌握算法，教師還應(yīng)讓學(xué)生看著算式，結(jié)合情境和模型，用語言表述每一步的算理. 最后，教師引導(dǎo)學(xué)生脫離直觀材料，看著算式對比兩題，抽象出“兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)”的口算方法. 這樣，就能讓學(xué)生既經(jīng)歷從借助直觀模型理解算理到抽象出算法的過程.

康德說：“人類的一切知識都是從直觀開始，從那里進到概念，而以理念結(jié)束. ”直觀模型對學(xué)生理解算理、掌握算法有不可估量的作用，教師更應(yīng)充分挖掘相應(yīng)的素材，讓學(xué)生經(jīng)歷計算法則的抽象之旅.