論數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)環(huán)節(jié)的節(jié)點(diǎn)

韓云橋

【摘要】 教學(xué)活動(dòng)方式的特點(diǎn)是制造一種激活知識(shí)的環(huán)境，使學(xué)生在有教師指導(dǎo)下的認(rèn)識(shí)的外部活動(dòng)得到充分展開，這種外部活動(dòng)一般是用語言、符號(hào)操作、心理表象、觀念情感表現(xiàn)出來，是從學(xué)生感知、領(lǐng)會(huì)、體驗(yàn)、認(rèn)清教師的要求所反映的. 教學(xué)活動(dòng)方式更深層次的特點(diǎn)就是由外部活動(dòng)的內(nèi)化形成內(nèi)部活動(dòng)，由感性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生簡(jiǎn)化認(rèn)識(shí)過程，使學(xué)生的思維得以拓展和流暢，從而簡(jiǎn)約化地獲得知識(shí)和形成能力，產(chǎn)生豐富的思維“再生力”. 在這個(gè)過程中，需要教師抓住活動(dòng)的節(jié)點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生活動(dòng)的效率.

【關(guān)鍵詞】 引入；講授；評(píng)價(jià)；概述

人類的很多活動(dòng)方式都具有規(guī)則下的獨(dú)特性，特別是帶有創(chuàng)造性的活動(dòng)，很難把其中包含著的大量只可意會(huì)的內(nèi)容用邏輯的規(guī)則加以提煉、表達(dá). 但數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)方式是一種有目的、有組織、有依據(jù)、特殊的認(rèn)識(shí)活動(dòng)形式，是在有心理和知識(shí)準(zhǔn)備的情況下展開的，因此對(duì)教學(xué)的預(yù)設(shè)和重要程序的把握是能夠明確的. 無論教學(xué)活動(dòng)的形式如何，都必須保證學(xué)生獲得新的認(rèn)識(shí)，這種認(rèn)識(shí)過程實(shí)際上是學(xué)生在自己的頭腦里主動(dòng)構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程. 教師重在組織和引導(dǎo)，幫助學(xué)生疏通思想障礙，澄清模糊認(rèn)識(shí)，指導(dǎo)學(xué)習(xí)方法，從發(fā)現(xiàn)和探索中構(gòu)建經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng). 在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生有意識(shí)的活動(dòng)，通常是在教師的領(lǐng)導(dǎo)作用和教材客體作用下開始的. 由于數(shù)學(xué)教學(xué)是教師教學(xué)生認(rèn)識(shí)理解知識(shí)并獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的智能意義，所以在教學(xué)認(rèn)識(shí)中，教師的領(lǐng)導(dǎo)作用遠(yuǎn)大于教材這個(gè)客體作用. 這是因?yàn)榻滩闹皇浅尸F(xiàn)了人類留下的知識(shí)結(jié)論，而靜態(tài)的知識(shí)結(jié)論只是具有信息意義，教材的表述無法言明知識(shí)的智力價(jià)值. 學(xué)生的活動(dòng)在沒有教師設(shè)計(jì)的問題情境時(shí)，必然處于一定的定式或無意義的環(huán)境中，要使學(xué)生的活動(dòng)朝著一定的目標(biāo)活動(dòng)起來，只有靠教師在教學(xué)活動(dòng)中引導(dǎo)才能激發(fā)有意義的活動(dòng).

人的思維一般在特殊的環(huán)境中都會(huì)發(fā)生遷移，教學(xué)活動(dòng)是一個(gè)特殊的環(huán)境，是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)人類積累的科學(xué)知識(shí)，在這個(gè)過程中，教師不僅僅是傳授知識(shí)，更重要的是教會(huì)學(xué)生思考，主動(dòng)掌握知識(shí)和技能. 因此教學(xué)活動(dòng)是教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)思維的活動(dòng)，教會(huì)學(xué)生思維方法的過程. 如果在活動(dòng)中能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察、分析，積極動(dòng)員和組織的思維品質(zhì)，那么活動(dòng)的效率就有了物質(zhì)基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行原型啟發(fā)和思維動(dòng)員一般要抓好以下四個(gè)環(huán)節(jié)的活動(dòng)節(jié)點(diǎn)：

一、教學(xué)活動(dòng)引入環(huán)節(jié)的節(jié)點(diǎn)

教學(xué)活動(dòng)的引入一般是提供有意義的結(jié)構(gòu)化材料來創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境. 這里的結(jié)構(gòu)化材料包含兩個(gè)方面：一方面是教材上明確規(guī)定的或教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容加工組裝的材料，另一方面是學(xué)生記憶中已有的經(jīng)驗(yàn)材料. 這兩方面的材料是學(xué)生思維的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，與教學(xué)效果有顯著的聯(lián)系，這是教師必須充分關(guān)注的. 這就需要教師充分掌握好學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)和能力水平，營(yíng)造認(rèn)知沖突，引發(fā)內(nèi)在動(dòng)機(jī). 教師在交代結(jié)構(gòu)化材料時(shí)，既不要脫離學(xué)生的實(shí)際，提高學(xué)習(xí)的臺(tái)階，也不要事必躬親，讓學(xué)生沒有思考的余地. 特別是后一種情況在教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)，不少教師怕學(xué)生的興趣調(diào)動(dòng)不起來，將學(xué)習(xí)的材料解釋得太透徹，這樣做好像是在讓學(xué)生學(xué)得輕松，其實(shí)不利于學(xué)生積極的、正常的思維. 大量事實(shí)證明，每個(gè)人都有一定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這個(gè)結(jié)構(gòu)就是學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)，而已形成的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)在相似條件下具有自發(fā)性和復(fù)制性，在內(nèi)容上具有具體性和豐富性. 正因?yàn)槿绱?，教師在說明結(jié)構(gòu)化材料時(shí)要留給學(xué)生思維的空間，在這個(gè)節(jié)點(diǎn)上，思維是最能“發(fā)光”的. 教學(xué)活動(dòng)中，目標(biāo)的確定就是要發(fā)現(xiàn)新學(xué)內(nèi)容與原有知識(shí)間的“潛在距離”，這是能有力推動(dòng)活動(dòng)開展，激發(fā)學(xué)生思維有意義活動(dòng)的生命線. 教學(xué)活動(dòng)的引入，一般來講都是由舊知過渡來啟發(fā)聯(lián)想. 根據(jù)學(xué)習(xí)心理學(xué)理論，學(xué)生現(xiàn)有水平表現(xiàn)為直接再現(xiàn)能力，通過當(dāng)前事物喚起舊經(jīng)驗(yàn)，充分讓學(xué)生產(chǎn)生直接再現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)是這個(gè)環(huán)節(jié)的顯著節(jié)點(diǎn). 結(jié)構(gòu)化材料的呈現(xiàn)要適應(yīng)學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平，要有啟發(fā)和動(dòng)員思維的功能. 學(xué)習(xí)過程是改造舊經(jīng)驗(yàn)的過程，成功的教學(xué)引入，應(yīng)當(dāng)是在知識(shí)的間接反映上做有用功，即內(nèi)容引入不僅要了解學(xué)生現(xiàn)有水平，更要了解學(xué)生的潛在（發(fā)展）水平.

二、有意義講授環(huán)節(jié)的節(jié)點(diǎn)

任何教學(xué)活動(dòng)方式都離不開教師的參與與指導(dǎo)，所謂教師的參與與指導(dǎo)，不是說教師只是一個(gè)活動(dòng)的組織者和引導(dǎo)者，還有一個(gè)重要功能就是對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵以及學(xué)生共同面對(duì)的困難要進(jìn)行講授. 講授不是“填鴨式”或“滿堂灌”，而是有選擇性的指導(dǎo). 一般來說，需要教師講授的，都是學(xué)生所需要的，因此講授是有意義的，學(xué)生帶著目的聽講也是有意義的. 根據(jù)學(xué)習(xí)的心理機(jī)制，有意義講授（所謂有意義，是教材中隱含的觀念信息同學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的觀念發(fā)生相關(guān)作用時(shí)產(chǎn)生的潛在距離的推動(dòng)）有利于學(xué)生知識(shí)的內(nèi)化，這是講授環(huán)節(jié)中一個(gè)顯著的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn).

有意義講授產(chǎn)生的兩個(gè)條件，一個(gè)是教師能否將有潛在意義的學(xué)習(xí)材料同學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系起來，另一個(gè)是學(xué)生能否采取和保持相應(yīng)的學(xué)習(xí)心向來進(jìn)行學(xué)習(xí). 如果兩者統(tǒng)一和諧，這便是有意義的講授. “要有選擇性地提取學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中最有聯(lián)系的原有知識(shí)作為整合新材料的‘類屬觀念，從而增加新材料對(duì)學(xué)生的熟悉性和意義性.”講授只有同學(xué)生的主動(dòng)思維協(xié)調(diào)一致，才會(huì)獲得較高的效率. 同時(shí)教師的過程介入和課堂訓(xùn)練的作業(yè)處理，是講授環(huán)節(jié)中另一個(gè)顯著節(jié)點(diǎn). 教師要利用即時(shí)提問和分布設(shè)問，幫助學(xué)生降低難度和分解難點(diǎn)，及時(shí)疏通與評(píng)點(diǎn)，有利于提高學(xué)生理解材料的能力.

數(shù)學(xué)問題講授，是有意義講授的核心. 這里的所謂問題一般指教師設(shè)計(jì)的問題，也可以是教學(xué)活動(dòng)過程中發(fā)現(xiàn)的問題. 任何一個(gè)問題對(duì)象，要想揭示它深藏的因素，沒有突破空間條件的間接思維進(jìn)行比較、分析是不行的. 面對(duì)數(shù)學(xué)問題要想有效地提取經(jīng)驗(yàn)，就必須利用思維的中介聯(lián)想，而且要提供思維直接聯(lián)想的機(jī)會(huì). 這是問題講授中的一個(gè)特別的節(jié)點(diǎn). 解決數(shù)學(xué)問題的思維集中表現(xiàn)在解答問題的過程中. 首先是依賴感性的認(rèn)識(shí)階段，這一階段主要是促進(jìn)思維的運(yùn)動(dòng)，而不僅僅是知識(shí)的積累. 學(xué)生憑材料的感知，迅速與已有經(jīng)驗(yàn)知識(shí)建立聯(lián)系，整體思考問題解決的策略. 有一部分學(xué)生可能在感知階段時(shí)思維受阻，發(fā)現(xiàn)不了原型啟發(fā)的材料，喚醒不了已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，那么教師的講授就成了救活學(xué)生思維的稻草. 教師的講授不是全部揭露問題的內(nèi)部關(guān)系，而只是提供給學(xué)生思維上的指導(dǎo)，形成解決問題的動(dòng)作，真正解決問題還得靠學(xué)生自己的努力. 這是問題講授中的另一個(gè)顯著節(jié)點(diǎn). 當(dāng)學(xué)生有了具體感性的啟發(fā)，并有了初步的方案，接下來就是理性搜索階段. 這一階段依靠外部條件與內(nèi)部條件的交互作用，也就是外部動(dòng)作活動(dòng)與內(nèi)部心理活動(dòng)相互作用，實(shí)現(xiàn)知識(shí)和能力的廣泛遷移. 這一階段體現(xiàn)了思維的獨(dú)立性和創(chuàng)造性.

活動(dòng)中的講授環(huán)節(jié)是整個(gè)活動(dòng)中的核心和節(jié)點(diǎn). 這是因?yàn)橹v授是在學(xué)生認(rèn)識(shí)活動(dòng)完成之后，這種講授是一種整理、疏通、克疑和填補(bǔ). 學(xué)生也是帶著目的在聽講，所以對(duì)學(xué)生及時(shí)理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，準(zhǔn)確內(nèi)化為自己的經(jīng)驗(yàn)，并形成相應(yīng)的思維能力發(fā)揮著遠(yuǎn)高于其他認(rèn)識(shí)方式效果的重要作用.

三、反饋與評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)的節(jié)點(diǎn)

反饋和評(píng)價(jià)作為一種檢驗(yàn)的手段存在于任何認(rèn)識(shí)活動(dòng)的形式之中，人類的各種實(shí)踐活動(dòng)，包括創(chuàng)造性實(shí)踐活動(dòng)都離不開在一定標(biāo)準(zhǔn)下的檢驗(yàn). 人的認(rèn)識(shí)是對(duì)客觀世界的反映，反映是否正確，與客觀現(xiàn)實(shí)是否相符、一致，只有通過檢驗(yàn)才能加以判斷. 教學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)是人類認(rèn)識(shí)活動(dòng)的特殊形式，而且學(xué)生的認(rèn)識(shí)將伴隨著他們的一生，因此教學(xué)中的檢驗(yàn)對(duì)于學(xué)生連續(xù)不斷的能力發(fā)展顯得更加重要. 教學(xué)活動(dòng)中的檢驗(yàn)包括兩個(gè)方面：一方面是對(duì)活動(dòng)方式的檢驗(yàn). 通過這類活動(dòng)，把教學(xué)效果與預(yù)期目標(biāo)進(jìn)行對(duì)照，獲得學(xué)生掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容的各種反饋信息，為決定教學(xué)策略確定正確的方向，為設(shè)計(jì)和控制下一步的教學(xué)認(rèn)識(shí)過程奠定心理準(zhǔn)備. 另一方面是學(xué)生學(xué)習(xí)成效的檢驗(yàn)，即通過某個(gè)活動(dòng)，學(xué)生究竟掌握了哪些知識(shí)和技能，獲得了哪些新的能力，學(xué)習(xí)品質(zhì)發(fā)生了哪些變化等. 對(duì)學(xué)生的成效檢驗(yàn)，一般是通過教師的觀察、提問、質(zhì)疑、活動(dòng)中的練習(xí)等進(jìn)行評(píng)估.

信息矯正是反饋與評(píng)價(jià)的主要目的. 對(duì)教學(xué)活動(dòng)方式而言，有教學(xué)過程評(píng)價(jià)和學(xué)生掌握評(píng)價(jià). 過程評(píng)價(jià)在于是否達(dá)到預(yù)期目標(biāo). 一般來說，任何教學(xué)活動(dòng)都有一個(gè)“預(yù)設(shè)與生成”的估價(jià)，過程評(píng)價(jià)就是對(duì)這個(gè)“估價(jià)”的檢驗(yàn). 學(xué)生掌握評(píng)價(jià)在于學(xué)生是否獲得需要的認(rèn)識(shí). 通過對(duì)預(yù)想的結(jié)果與實(shí)際結(jié)果進(jìn)行比較，肯定活動(dòng)形式積極的一面，找出活動(dòng)形式消極的一面與不足，并在活動(dòng)過程中加以修正和改造. 對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)成效而言，有學(xué)習(xí)過程評(píng)價(jià)和學(xué)習(xí)方式掌握評(píng)價(jià). 學(xué)習(xí)過程評(píng)價(jià)在于觀察學(xué)習(xí)興趣與學(xué)習(xí)行為是否與教學(xué)活動(dòng)一致；學(xué)習(xí)掌握評(píng)價(jià)在于是否掌握了知識(shí)，并通過掌握知識(shí)來反映是否掌握了對(duì)知識(shí)認(rèn)識(shí)的方式，并把這一評(píng)價(jià)結(jié)果及時(shí)地以恰當(dāng)?shù)姆绞礁嬖V給學(xué)生，讓學(xué)生充分了解自己對(duì)學(xué)習(xí)所做的反應(yīng). 心理學(xué)研究表明，把評(píng)價(jià)的結(jié)果及時(shí)告訴學(xué)生，學(xué)生的進(jìn)步就很快，而當(dāng)學(xué)生不知道自己的學(xué)習(xí)結(jié)果時(shí)，學(xué)習(xí)就會(huì)缺乏強(qiáng)化，進(jìn)步就不大. 教師依據(jù)教學(xué)活動(dòng)評(píng)價(jià)的結(jié)果，可以有針對(duì)性地強(qiáng)化和調(diào)整教學(xué)活動(dòng)的結(jié)構(gòu)，如肯定的強(qiáng)化，否定的調(diào)整、改進(jìn). 這是教學(xué)活動(dòng)方式檢驗(yàn)的調(diào)節(jié)與強(qiáng)化功能. 學(xué)生根據(jù)教學(xué)評(píng)價(jià)的結(jié)果，可以有準(zhǔn)備和有目的地強(qiáng)化或改進(jìn)學(xué)習(xí)行為，鞏固或調(diào)整學(xué)習(xí)方式，確保提高學(xué)習(xí)效率. 這就是學(xué)習(xí)活動(dòng)方式檢驗(yàn)的調(diào)節(jié)與強(qiáng)化功能.

四、小結(jié)與概述環(huán)節(jié)的節(jié)點(diǎn)

這個(gè)環(huán)節(jié)是引導(dǎo)學(xué)生將已學(xué)的知識(shí)系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化，使新的認(rèn)識(shí)迅速地納入到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中，牢固形成學(xué)生自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，并體現(xiàn)為一定的能力.

1. 知識(shí)歸類

概述知識(shí)的應(yīng)用意義和智能意義，使其簡(jiǎn)約化，便于理解和記憶，構(gòu)成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 教學(xué)的根本任務(wù)之一就是使學(xué)生獲得知識(shí)結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)，這就是概念、原理、法則等基本規(guī)律性的知識(shí). 掌握科學(xué)的基本結(jié)構(gòu)有利于領(lǐng)會(huì)知識(shí)的整體，有助于實(shí)現(xiàn)廣泛的遷移. 知識(shí)的歸類整理是這個(gè)過程中一個(gè)重要的節(jié)點(diǎn)，要在教師的指引下由學(xué)生自己陳述，訓(xùn)練學(xué)生善于進(jìn)行思維整理的品質(zhì). 知識(shí)的歸類整理是一個(gè)非常重要的過程，常常因?yàn)橥ㄟ^這一個(gè)過程的檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生獲得了一些假經(jīng)驗(yàn). 比如學(xué)習(xí)用二次方程的判別式討論方程的根，把方程和根遷移到討論直線與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，學(xué)生極容易把判別式的應(yīng)用當(dāng)成一個(gè)經(jīng)驗(yàn). 把不真的認(rèn)識(shí)看成經(jīng)驗(yàn)，這個(gè)經(jīng)驗(yàn)不僅是假經(jīng)驗(yàn)問題，更重要的是學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)方式的問題. 如果不及時(shí)小結(jié)，學(xué)生將會(huì)延續(xù)這種學(xué)習(xí)方式，產(chǎn)生不可彌補(bǔ)的錯(cuò)誤，將嚴(yán)重影響學(xué)生自身的發(fā)展.

2. 方法總結(jié)

讓學(xué)生了解并懂得方法的應(yīng)用. 方法是一個(gè)比知識(shí)包容性更大的認(rèn)識(shí)，需要教師進(jìn)行程序的提示，幫助學(xué)生總結(jié). 在方法總結(jié)中，包括知識(shí)應(yīng)用方法的認(rèn)識(shí)，即原有知識(shí)應(yīng)用方法的檢驗(yàn)、新的知識(shí)應(yīng)用方法的掌握，也包括數(shù)學(xué)基本方法運(yùn)用的反思與提煉. 在概念等新知識(shí)的學(xué)習(xí)中，大多是前一種認(rèn)識(shí)的總結(jié). 在問題解決的學(xué)習(xí)中，后一種總結(jié)顯得特別重要. 方法總結(jié)的根本任務(wù)是澄清“虛學(xué)”和“假學(xué)”現(xiàn)象，確保學(xué)生的認(rèn)識(shí)合理地成為真實(shí)的經(jīng)驗(yàn). 方法總結(jié)是這個(gè)過程的一個(gè)顯著的節(jié)點(diǎn).

3. 學(xué)習(xí)成功感的培養(yǎng)

心理學(xué)把此稱為自我效能感. 自我效能感是指人對(duì)自己能夠進(jìn)行某一行為的實(shí)際能力的推測(cè)和判斷. 人在獲得了相應(yīng)的知識(shí)和技能后，自我效能感就成了行為的決定因素. 教學(xué)活動(dòng)中，要加強(qiáng)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，既需要教師的努力，也需要學(xué)生的積極配合. 教師的努力在于：

一是根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)（體現(xiàn)在教材中），在重現(xiàn)數(shù)學(xué)家思維活動(dòng)的過程中，簡(jiǎn)化和減縮這種思維活動(dòng)過程，讓學(xué)生掌握和體驗(yàn)這種認(rèn)識(shí)活動(dòng)過程的思維方法.

二是指導(dǎo)、調(diào)節(jié)、控制學(xué)生的思維活動(dòng)，使之與教師的教學(xué)思維活動(dòng)（也即數(shù)學(xué)家的思維活動(dòng)）和教材該體現(xiàn)而又沒能體現(xiàn)的思維過程同步，并逐步實(shí)現(xiàn)學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)向數(shù)學(xué)家的思維結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化.

三是幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)及總結(jié)開展數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的規(guī)律、方法，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思維能力的有效遷移. 數(shù)學(xué)家希爾伯特常常在教學(xué)活動(dòng)中即興提出一些有意義的數(shù)學(xué)問題，雖然他并非每次都能得到圓滿的解答，但他展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的過程，幫助學(xué)生理解和認(rèn)識(shí)了思維的法則，特別是數(shù)學(xué)家創(chuàng)造性活動(dòng)的思維過程，使學(xué)生受益匪淺. 希爾伯特反對(duì)填鴨式的講解，重視問題的提法，把主要精力集中在分析問題和解決重要問題上面，對(duì)于枝節(jié)的問題由學(xué)生演算、推證和補(bǔ)充. 他特別善于誘導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，十分強(qiáng)調(diào)啟發(fā)式教學(xué). 我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚教授在自己的教學(xué)生涯中，也一向重視概念產(chǎn)生、命題形成及思路獲得的思維過程的教學(xué)，并著意回答學(xué)生提出的“你是怎樣想出來的”一類問題，在思維的動(dòng)作上，提出來了“退，足夠退”的發(fā)現(xiàn)求知過程，使許多學(xué)生（包括中學(xué)）在這一思維觀的影響下獲得重大發(fā)展.

四是要不斷激發(fā)學(xué)生的好奇心、求知欲，這是影響學(xué)生思維發(fā)展的特別重要的因素.

教學(xué)活動(dòng)中學(xué)生的興趣問題是教學(xué)理論和教學(xué)實(shí)踐都關(guān)心和強(qiáng)調(diào)的問題. 一般認(rèn)為，教學(xué)活動(dòng)中的興趣由“教學(xué)情境”來調(diào)動(dòng)，其實(shí)這僅僅是考慮到了學(xué)生學(xué)習(xí)的外部活動(dòng)，即學(xué)生受環(huán)境刺激產(chǎn)生的行為. 真正的學(xué)習(xí)興趣應(yīng)該是調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)部活動(dòng)，即內(nèi)部思維動(dòng)機(jī). 內(nèi)部思維動(dòng)機(jī)依靠學(xué)生個(gè)體內(nèi)部感性知識(shí)與外部具體環(huán)境相互作用，同步協(xié)調(diào). 興趣應(yīng)建立在學(xué)生的近期發(fā)展水平上，這樣外部活動(dòng)與內(nèi)部活動(dòng)才能協(xié)調(diào)展開，促進(jìn)思維的發(fā)展. 在教學(xué)過程中根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)和水平，采取適當(dāng)?shù)膯l(fā)教學(xué)方法，形成學(xué)習(xí)興趣，產(chǎn)生動(dòng)力. 引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地去探索數(shù)學(xué)真理，在增長(zhǎng)數(shù)學(xué)興趣的同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生刻苦鉆研數(shù)學(xué)問題的熱情和毅力. 要在引導(dǎo)學(xué)生敢于和善于發(fā)現(xiàn)問題或提出問題上下功夫，鼓勵(lì)和支持學(xué)生中一切含有創(chuàng)造因素的思想和活動(dòng). 在教學(xué)過程中，傳授知識(shí)固然重要，因?yàn)檫@是智力的增長(zhǎng)點(diǎn)，沒有系統(tǒng)的知識(shí)，就形成不了一定的技能，智力也就得不到發(fā)展. 但知識(shí)傳授的只是一種或一類認(rèn)識(shí)，學(xué)生在獲得知識(shí)的體驗(yàn)中不一定懂得獲得知識(shí)的認(rèn)識(shí)方式，只有掌握了獲得知識(shí)的認(rèn)識(shí)方式，才能不斷積累學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)智力活動(dòng)的效果.

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，盡管活動(dòng)形式多樣，但一個(gè)共同的認(rèn)識(shí)就是，主張?zhí)峁┙Y(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生感知、分析、聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生探究問題的意識(shí)和精神、獨(dú)立解決問題和預(yù)見未知的能力. 其目的都是為了有效地發(fā)展學(xué)生的思維. 比如在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，提出學(xué)習(xí)概念的一種基本活動(dòng)模式是“感知—定義”模式，其理論依據(jù)是學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)論. 學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)論認(rèn)為，人們認(rèn)識(shí)事物要經(jīng)過一個(gè)觀察、分析、比較、綜合、概括、抽象的過程，這是一個(gè)由特殊到一般，不斷深化認(rèn)識(shí)的過程. 它的活動(dòng)實(shí)踐是概念獲得的肯定例證，就是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些例證進(jìn)行觀察，再通過分析、聯(lián)想、綜合和概括，讓學(xué)生經(jīng)歷一次由具體到抽象、由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程，獲得形成概念的觀念. 又如在問題教學(xué)中，提出的“假設(shè)—判斷—驗(yàn)證”的基本模式，其理論依據(jù)是心理學(xué). 心理學(xué)認(rèn)為，人們認(rèn)識(shí)事物要經(jīng)歷一個(gè)假設(shè)與驗(yàn)證，并不斷循環(huán)的過程，這是一個(gè)多次假設(shè)、不斷反饋、反復(fù)驗(yàn)證的過程. 它的活動(dòng)實(shí)踐是問題解決的邏輯例證，就是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些例證進(jìn)行復(fù)習(xí)、綜合、推理、比較、猜測(cè)，教師進(jìn)行肯定、否定的不斷指導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生的思維能力.

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的開展是一個(gè)認(rèn)識(shí)觀與策略觀緊密結(jié)合的過程. 所謂認(rèn)識(shí)觀是對(duì)教學(xué)活動(dòng)是一個(gè)特殊的認(rèn)識(shí)活動(dòng)的認(rèn)識(shí)，這個(gè)認(rèn)識(shí)反映了教學(xué)是教師教學(xué)生認(rèn)識(shí)的認(rèn)識(shí). 學(xué)生是認(rèn)識(shí)活動(dòng)的主體，教師在教學(xué)活動(dòng)中既是領(lǐng)導(dǎo)者，又是參與者，在教學(xué)活動(dòng)中教師與學(xué)生的關(guān)系并沒有特殊的優(yōu)待. 教師的工作就是做好能讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的服務(wù). 同時(shí)教師作為一個(gè)管理者，既要抓好學(xué)生的學(xué)習(xí)行為管理，又要抓好學(xué)生的認(rèn)知管理，促進(jìn)學(xué)生健康發(fā)展. 所謂策略觀包含兩層意思. 一是教師組織教學(xué)的策略，核心的觀點(diǎn)就是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的間接性，正因?yàn)檫@個(gè)間接性，所以要激活學(xué)生內(nèi)部的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī). 二是學(xué)生學(xué)習(xí)的策略. 學(xué)習(xí)的策略主要是思維活動(dòng)的策略. 策略是指頭腦中要儲(chǔ)存關(guān)于如何學(xué)習(xí)和如何思維的策略性知識(shí)，并且在“執(zhí)行的控制過程”之中運(yùn)用策略知識(shí)去監(jiān)控自己的學(xué)習(xí)和思維的信息加工過程（執(zhí)行過程）. 在學(xué)習(xí)和思考時(shí)，頭腦中的注意力要在高層的策略性知識(shí)與低層的描述性知識(shí)及程序知識(shí)之間不斷來回轉(zhuǎn)換，不僅要意識(shí)到自己的加工材料，而且要意識(shí)到自己的加工過程和加工方法（原認(rèn)識(shí)），不斷反省自己的策略是否恰當(dāng)，優(yōu)化自己的加工過程，這表明了思維加工是內(nèi)部活動(dòng)的改造過程，顯示了解決一個(gè)問題，是通過問題的感性材料引起大腦原有的表象（或意象）展開活動(dòng)，形成內(nèi)部思維的感性材料. 當(dāng)內(nèi)部思維的感性材料與外部的感性材料具有一致性時(shí)，表明內(nèi)部經(jīng)驗(yàn)圖式能夠同化外部問題信息. 如果內(nèi)部感性材料與外部感性材料不一致，就需要重組內(nèi)部感性材料，以形成新的表象以同化外部問題信息. 也就是說，人的思維能夠解決問題，是因?yàn)楦慕M內(nèi)部活動(dòng)結(jié)構(gòu)以適應(yīng)新的環(huán)境而獲得的某種認(rèn)識(shí). 這與實(shí)際中的認(rèn)識(shí)觀點(diǎn)是有區(qū)別的，實(shí)際中常常是對(duì)條件信息進(jìn)行加工、改組，以適應(yīng)內(nèi)部活動(dòng)的需要. 這個(gè)觀點(diǎn)是不對(duì)的，因?yàn)閷?duì)于學(xué)生來說，是間接接受知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，通過教學(xué)活動(dòng)來促進(jìn)學(xué)生自主接受，需要呈現(xiàn)一定的學(xué)習(xí)內(nèi)容，而內(nèi)容的呈現(xiàn)是一個(gè)客觀環(huán)境，這個(gè)客觀環(huán)境是不能、也不可能改變的，因此對(duì)外部信息進(jìn)行加工、甚至改造本身就沒有意義. 所以學(xué)習(xí)策略應(yīng)該是以改造內(nèi)部活動(dòng)結(jié)構(gòu)、改變思維表象來體現(xiàn)策略性知識(shí)，形成用表象來同化客觀形象，并不斷強(qiáng)化它們的來回轉(zhuǎn)換，促進(jìn)學(xué)習(xí)的新認(rèn)識(shí).

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