數(shù)列思想在一類證明題中的應(yīng)用

祁玉海

【摘要】本文通過比較兩個(gè)數(shù)列通項(xiàng)的大小，來比較其前n項(xiàng)和的大小.據(jù)此證明形如“a1+a2+…+an≤f（n）”等類型的問題，操作方便，見解新穎.

【關(guān)鍵詞】數(shù)列；數(shù)列的通項(xiàng)；數(shù)列的通項(xiàng)公式

引言

一、 簡單背景

二、主要概念

通常，我們將按照一定次序排列的一列數(shù)叫數(shù)列.數(shù)列中的一個(gè)數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)；而數(shù)列的第n項(xiàng)，叫作數(shù)列的通項(xiàng)；若一個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，就把這個(gè)公式叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.在一個(gè)數(shù)列中，我們用an來表示數(shù)列的通項(xiàng)，用sn來表示此數(shù)列的前n項(xiàng)和.

三、主要內(nèi)容

引理

在某兩個(gè)正項(xiàng)數(shù)列中，若其中一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)小于另一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)的充要條件是其前n項(xiàng)和必小于另一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和.

證明設(shè)兩數(shù)列的通項(xiàng)分別為an，bn.

此類型題目關(guān)鍵在于推測其前n項(xiàng)和的公式，這往往可根據(jù)題目隱含條件推出，驗(yàn)證時(shí)就采用前面所說方法，推出通項(xiàng)公式后，只需驗(yàn)證第一項(xiàng)符合與否，便可得出結(jié)論.

二、已知一個(gè)數(shù)列，對其不等式的證明

這類題目其實(shí)和前面證明等式的題目相似，區(qū)別在于這類題目的中間承接符號為不等號，所以在證明時(shí)，要根據(jù)需要擴(kuò)大或縮小式子，得出an>或s′n即可.

三、總結(jié)

以上幾種類型的題目便是數(shù)列思想在這類證明題中應(yīng)用的實(shí)際體現(xiàn)，從上述題目的解法可看出，數(shù)列思想的應(yīng)用，簡化了原本復(fù)雜的證明，使得原本很難的題目變得容易，而且此種方法有助于活躍思維，當(dāng)積累了一定的證題經(jīng)驗(yàn)之后，特別是后面的構(gòu)造法，使得思維目標(biāo)廣闊，靈活多變.

【參考文獻(xiàn)】

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