發(fā)散思維，精彩無(wú)限

劉燕　王廣進(jìn)

摘 要： 在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生要發(fā)散思維，從各種不同的知識(shí)側(cè)面，用不同的思維方式尋求解題途徑，比較各種解法的特點(diǎn)，增強(qiáng)解題的靈活性，克服單純做題的機(jī)械模式，變機(jī)械思考為主動(dòng)思考，做一道題，能起到舉一反三，復(fù)習(xí)鞏固多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的作用，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，掌握多種處理問(wèn)題的方法，特別是最簡(jiǎn)、最優(yōu)的方法.本文以一道求最值題進(jìn)行發(fā)散思維，多角度考慮問(wèn)題的探究.

關(guān)鍵詞： 發(fā)散思維 數(shù)學(xué)教學(xué) 解題方法

原題：已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a■+b■=c■，且am+bn+2c=0，求m■+n■的最小值.

解法1：不等式法

因?yàn)椋╩■+n■）（a■+b■）-（am+bn）■=（am-bn）■≥0，

則（m■+n■）（a■+b■）≥（am+bn）■，將a■+b■=c■，am+bn=-2c代入上式得

（m■+n■）c■≥（-2c）■，即（m■+n■）≥4，因此m■+n■的最小值為4.

解法2：換元法

設(shè)a=ccosα，b=csinα（0<α<■）；m=tcosβ，n=tsinβ.

代入am+bn+2c=0得ct（cosαcosβ+sinαsinβ）+2c=0，

因?yàn)閏>0，所以tcos（α-β）+2=0，從而2=|tcos（α-β）|≤|t|，

故t■≥4，因此t■=m■+n■的最小值為4.

解法3：解析法

依題意知，動(dòng)點(diǎn)P（m，n）在直線l：ax+by+2c=0上運(yùn)動(dòng)，它到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是|OP|=■.

由平幾知識(shí)得，點(diǎn)O到直線l垂線段OH最短.

在Rt△AOB中，斜邊|AB|=■=■，

斜邊上的高|OH|=■=2，所以m■+n■的最小值為4.

解法4：解析法

依題意知，動(dòng)點(diǎn)P（m，n）在直線l：ax+by+2c=0上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P（m，n）到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是|OP|=■.根據(jù)原點(diǎn)O到直線l的垂線段最短，由解析幾何知識(shí)得

原點(diǎn)O（0，0）到直線ax+by+2c=0的距離是d=■=■=2，

所以m■+n■的最小值為4.

解法5：向量法

設(shè)向量■=（a，b），■=（m，n），根據(jù)|■·■|≤|■||■|得

故有|am+bn|≤■·■，即|-2c|≤c·■，

則■≥2，所以m■+n■的最小值為4.

點(diǎn)評(píng)：以上通過(guò)一道求最值題的解法探究，啟示我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，要不斷培養(yǎng)自己多角度、利用發(fā)散思維考慮問(wèn)題的能力，幫助復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，提高分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.endprint

摘 要： 在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生要發(fā)散思維，從各種不同的知識(shí)側(cè)面，用不同的思維方式尋求解題途徑，比較各種解法的特點(diǎn)，增強(qiáng)解題的靈活性，克服單純做題的機(jī)械模式，變機(jī)械思考為主動(dòng)思考，做一道題，能起到舉一反三，復(fù)習(xí)鞏固多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的作用，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，掌握多種處理問(wèn)題的方法，特別是最簡(jiǎn)、最優(yōu)的方法.本文以一道求最值題進(jìn)行發(fā)散思維，多角度考慮問(wèn)題的探究.

關(guān)鍵詞： 發(fā)散思維 數(shù)學(xué)教學(xué) 解題方法

原題：已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a■+b■=c■，且am+bn+2c=0，求m■+n■的最小值.

解法1：不等式法

因?yàn)椋╩■+n■）（a■+b■）-（am+bn）■=（am-bn）■≥0，

則（m■+n■）（a■+b■）≥（am+bn）■，將a■+b■=c■，am+bn=-2c代入上式得

（m■+n■）c■≥（-2c）■，即（m■+n■）≥4，因此m■+n■的最小值為4.

解法2：換元法

設(shè)a=ccosα，b=csinα（0<α<■）；m=tcosβ，n=tsinβ.

代入am+bn+2c=0得ct（cosαcosβ+sinαsinβ）+2c=0，

因?yàn)閏>0，所以tcos（α-β）+2=0，從而2=|tcos（α-β）|≤|t|，

故t■≥4，因此t■=m■+n■的最小值為4.

解法3：解析法

依題意知，動(dòng)點(diǎn)P（m，n）在直線l：ax+by+2c=0上運(yùn)動(dòng)，它到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是|OP|=■.

由平幾知識(shí)得，點(diǎn)O到直線l垂線段OH最短.

在Rt△AOB中，斜邊|AB|=■=■，

斜邊上的高|OH|=■=2，所以m■+n■的最小值為4.

解法4：解析法

依題意知，動(dòng)點(diǎn)P（m，n）在直線l：ax+by+2c=0上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P（m，n）到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是|OP|=■.根據(jù)原點(diǎn)O到直線l的垂線段最短，由解析幾何知識(shí)得

原點(diǎn)O（0，0）到直線ax+by+2c=0的距離是d=■=■=2，

所以m■+n■的最小值為4.

解法5：向量法

設(shè)向量■=（a，b），■=（m，n），根據(jù)|■·■|≤|■||■|得

故有|am+bn|≤■·■，即|-2c|≤c·■，

則■≥2，所以m■+n■的最小值為4.

點(diǎn)評(píng)：以上通過(guò)一道求最值題的解法探究，啟示我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，要不斷培養(yǎng)自己多角度、利用發(fā)散思維考慮問(wèn)題的能力，幫助復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，提高分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.endprint

摘 要： 在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生要發(fā)散思維，從各種不同的知識(shí)側(cè)面，用不同的思維方式尋求解題途徑，比較各種解法的特點(diǎn)，增強(qiáng)解題的靈活性，克服單純做題的機(jī)械模式，變機(jī)械思考為主動(dòng)思考，做一道題，能起到舉一反三，復(fù)習(xí)鞏固多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的作用，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，掌握多種處理問(wèn)題的方法，特別是最簡(jiǎn)、最優(yōu)的方法.本文以一道求最值題進(jìn)行發(fā)散思維，多角度考慮問(wèn)題的探究.

關(guān)鍵詞： 發(fā)散思維 數(shù)學(xué)教學(xué) 解題方法

原題：已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a■+b■=c■，且am+bn+2c=0，求m■+n■的最小值.

解法1：不等式法

因?yàn)椋╩■+n■）（a■+b■）-（am+bn）■=（am-bn）■≥0，

則（m■+n■）（a■+b■）≥（am+bn）■，將a■+b■=c■，am+bn=-2c代入上式得

（m■+n■）c■≥（-2c）■，即（m■+n■）≥4，因此m■+n■的最小值為4.

解法2：換元法

設(shè)a=ccosα，b=csinα（0<α<■）；m=tcosβ，n=tsinβ.

代入am+bn+2c=0得ct（cosαcosβ+sinαsinβ）+2c=0，

因?yàn)閏>0，所以tcos（α-β）+2=0，從而2=|tcos（α-β）|≤|t|，

故t■≥4，因此t■=m■+n■的最小值為4.

解法3：解析法

依題意知，動(dòng)點(diǎn)P（m，n）在直線l：ax+by+2c=0上運(yùn)動(dòng)，它到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是|OP|=■.

由平幾知識(shí)得，點(diǎn)O到直線l垂線段OH最短.

在Rt△AOB中，斜邊|AB|=■=■，

斜邊上的高|OH|=■=2，所以m■+n■的最小值為4.

解法4：解析法

依題意知，動(dòng)點(diǎn)P（m，n）在直線l：ax+by+2c=0上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P（m，n）到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離是|OP|=■.根據(jù)原點(diǎn)O到直線l的垂線段最短，由解析幾何知識(shí)得

原點(diǎn)O（0，0）到直線ax+by+2c=0的距離是d=■=■=2，

所以m■+n■的最小值為4.

解法5：向量法

設(shè)向量■=（a，b），■=（m，n），根據(jù)|■·■|≤|■||■|得

故有|am+bn|≤■·■，即|-2c|≤c·■，

則■≥2，所以m■+n■的最小值為4.

點(diǎn)評(píng)：以上通過(guò)一道求最值題的解法探究，啟示我們?cè)趯W(xué)習(xí)中，要不斷培養(yǎng)自己多角度、利用發(fā)散思維考慮問(wèn)題的能力，幫助復(fù)習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，提高分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.endprint