例談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的開放性問題

孫紅娟

數(shù)學(xué)開放性問題是指那些條件不完整，結(jié)論不確定，解法不受限制的數(shù)學(xué)問題，它的顯著特點(diǎn)是正確答案不唯一，一般需要學(xué)生通過觀察、試驗(yàn)、估計、猜測、類比和歸納等方法探索出問題的條件或結(jié)論，然后進(jìn)行嚴(yán)格證明.通常要結(jié)合分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、歸納猜想，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)思想方法獲得問題的解答.在教學(xué)中，有針對性地設(shè)計一些開放性的問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性、縝密性、廣闊性、靈活性，強(qiáng)化學(xué)生的創(chuàng)新意識.

關(guān)于數(shù)學(xué)開放性問題，主要有下列幾種說法：（1）答案不固定或者條件不完備的問題，稱之為開放性問題；（2）開放性問題是條件多余需選擇、條件不足需補(bǔ)充或答案不固定的問題；（3）答案不唯一的問題是開放性問題；（4）具有多種不同的解法，或有多種可能的解答的問題，稱之為開放性問題；（5）問題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余的問題，稱之為開放性問題.

要解答開放性問題，首先經(jīng)過探索確定結(jié)論或補(bǔ)全條件，將開放性問題轉(zhuǎn)化為封閉性問題，然后選擇合適的方法途徑完成最后的解答.

常見的開放性問題有：條件開放型，結(jié)論開放型，綜合開放型，方法開放型等.

一、條件開放型

主要是給定問題的結(jié)論，要求從各種不同的角度去尋求這個結(jié)論成立的條件，而滿足結(jié)論的條件往往不是唯一的，就是條件開放性問題.

案例1：已知點(diǎn)P（x，y）位于第二象限，且y≤x+4，x，y為整數(shù)，寫出一個符合上述條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)？搖？搖 ？搖？搖.

評析：這是條件開發(fā)性問題.由已知可得，x<0，y>0，所以x>-4，又x為整數(shù)，故x=-1，-2，-3，所以y的值可確定，從而點(diǎn)P的坐標(biāo)也就確定了.該問題的數(shù)字之間的關(guān)系復(fù)雜，條件較多，因此要從討論不等式的解入手，逐步探求問題答案，從而培養(yǎng)學(xué)生的計算、分類、歸納的能力.

案例2：已知D、E分別是△ABC的邊AC、AB上的點(diǎn)，且DE與BC不平行，請你填上合適的條件？搖？搖 ？搖？搖？搖？搖，使得△ADE∽△ABC.

評析：可添加的條件為∠ADE=∠B或∠AED=∠C或AD ∶AB=AE∶AC等.在解答此類問題時，通常采取執(zhí)果索因的策略進(jìn)行探求，不是被動地套用解題模式，而是給學(xué)生較大的思考空間.

二、結(jié)論開放型

主要是給定問題的條件，根據(jù)條件探索其可能存在的結(jié)論，而符合條件的結(jié)論往往呈多樣性，這樣的問題就是結(jié)論開放性問題.

案例3：用紙剪一個等腰三角形ABC，將三角形對折，使它的兩腰AB與AC重合，記折痕與底邊BC的交點(diǎn)為D，那么把紙展開后鋪平，得出怎樣的結(jié)論？

評析：這是結(jié)論開放性問題.學(xué)生很容易得出結(jié)論：等腰三角形ABC是軸對稱圖形；∠BAD=∠CAD；∠B=∠C；AD⊥BC；BD=CD，經(jīng)過學(xué)生動手操作、觀察、思考和探究活動，讓學(xué)生經(jīng)歷了探索等腰三角形的性質(zhì)的過程，利用對稱性得到的結(jié)論，涵蓋了等腰三角形的軸對稱性、兩個底角相等、三線合一等性質(zhì).

案例4：一個函數(shù)具有下列性質(zhì)：①它的圖像經(jīng)過第一、第二象限；②在第一象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，滿足上述性質(zhì)的函數(shù)解析式可以是？搖？搖？搖 ？搖？搖？搖.

評析：由①知所求的函數(shù)不是正比例函數(shù)，也不是反比例函數(shù)，所以只能是一次函數(shù)或二次函數(shù)，若是一次函數(shù)y=kx+b，則k>0，b>0；若是二次函數(shù)y=ax■+bx+c，則a>0，b≥0，解答這類問題時，要注意畫出符合條件的草圖，根據(jù)圖像的性質(zhì)特征，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想方法，猜想、歸納、推導(dǎo)出給定條件下可能存在的結(jié)論.

三、綜合開放型

指條件、結(jié)論都開放，即思維策略與解題方法不唯一，思維具有非常規(guī)性、發(fā)散性和創(chuàng)新性.不同的條件可得到不同結(jié)論，不同的結(jié)論需要不同的條件.

案例5：已知四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)O，從下列條件：

①AB=CD；②AB∥CD；③OA=OC；④OB=OD；⑤AC⊥BD；⑥AC平分∠BAD

中選取三個進(jìn)行組合，哪些組合能推出四邊形ABCD是菱形？哪些組合不能推出四邊形ABCD是菱形？

評析：組合的方式很多，且難度不大，比較適合于不同層次的學(xué)生，對基礎(chǔ)較差的學(xué)生創(chuàng)造了表現(xiàn)的機(jī)會，對基礎(chǔ)較好的學(xué)生提供了創(chuàng)新的空間.

案例6：在“等腰三角形的判定”時，可設(shè)計如下問題：一個等腰三角形，若一不小心，它的一部分被墨水涂沒了，只留下一條底邊和一個底角，有多少種方法將原來的等腰三角形重新畫出來？如何說明你畫的三角形一定是等腰三角形？

評析：從畫圖看，可用多種方法畫出等腰三角形，當(dāng)學(xué)生畫出等腰三角形后，要求學(xué)生說出畫法.而這些畫法的正確性需要用“等腰三角形的判定定理”來判定.

四、方法開放型

條件和結(jié)論都已知或部分已知，需要探索解答問題方法或設(shè)計問題方案的一類問題，即：一般是指解答方法不唯一或解答路徑不明確的問題.

案例7：用多種方法證明等腰三角形的判定定理.

已知：在△ABC中，∠B=∠C，求證：AB=AC.

證法一：（圖略）類比等腰三角形性質(zhì)定理的證明，過A作AD⊥BC于D，得△ABD≌△ACD（AAS），所以AB=AC.

證法二：（圖略）過A作AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，得△ABD≌△ACD（AAS），所以AB=AC.

證法三：（圖略）取邊BC的中點(diǎn)D，連接AD（中線），過D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，得△BDE≌△CDF（AAS），所以DE=DF，所以△AED≌△AFD（HL），所以AE=AF，于是AE+BE=AF+FC，即AB=AC.

證法四：（圖略）倍長中線的方法證明.

中線AD延長至點(diǎn)E，使得AD=DE，連接BE，EC，所以△ABD≌△ECD（SAS），所以∠1=∠4，因?yàn)椤鰽CD≌△EBD（SAS），所以∠2=∠3，BE=AC，又已知∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3=∠4，所以△ABC≌△EBC（ASA），所以AB=BE=AC，得證.

證法五：（圖略）作△ABC關(guān)于直線BC的軸對稱圖形的方法可以證明.

評析：證法一、二是用類比等腰三角形性質(zhì)定理證明方法，分別添加輔助線（高線）AD⊥BC于D，（角A的平分線）AD平分∠BAC，從而將要證明△ABC為等腰三角形的問題轉(zhuǎn)化為兩個三角形△ABD與△ACD的全等的問題.證法三是作中線AD，但還不能直接證明AB=AC，因此還要添加輔助線過D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，從而將要證明AB=AC的問題轉(zhuǎn)化為分別證明△BDE≌△CDF，△AED≌△AFD的問題.證法四是中線AD延長至點(diǎn)E，使得AD=DE，連接BE，EC，從而將要證明AB=AC的問題轉(zhuǎn)化為分別證明△ABD≌△ECD，△ACD≌△EBD，△ABC≌△EBC的問題.證法五是用作△ABC關(guān)于直線BC的軸對稱圖形的方法證明了△ABC是等腰三角形.

案例8：生活中到處都有圓形的物體，如何測量它們的半徑呢？請你設(shè)計出幾種測算方案，指出所用的工具、優(yōu)缺點(diǎn)和適用的范圍.

評析：這是方法開放性的問題，且情景自然真實(shí)，操作性較強(qiáng)，學(xué)生解決這個問題不僅需要聯(lián)想到與圓有關(guān)的知識（圓的周長公式、直徑的性質(zhì)與判定、垂徑定理及其推論、切線的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)、勾股定理等），還需要動手操作、構(gòu)造圖形、進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的活動過程，需要運(yùn)用傳統(tǒng)意義上的數(shù)學(xué)推理能力，更需要有分析和解決問題策略層面的素養(yǎng)，這有利于對學(xué)生進(jìn)行過程性評價.