借助幾何直觀　培養(yǎng)運(yùn)算能力

金小亞

摘?? 要：運(yùn)算是抽象的，而小學(xué)生的思維以形象思維為主，所以學(xué)習(xí)抽象的運(yùn)算需要從直觀入手。幾何直觀能溝通實(shí)物與算理的關(guān)系，使抽象的運(yùn)算變得簡(jiǎn)明、形象，幫助學(xué)生直觀地理解運(yùn)算。借助幾何直觀溝通算法與算理，幫助學(xué)生理解運(yùn)算規(guī)則和運(yùn)算定律的意義，拓展運(yùn)算性質(zhì)，提升運(yùn)算思維，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);運(yùn)算能力;幾何直觀;計(jì)算教學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5??? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??? 文章編號(hào)：1009-010X（2019）01-0025-04

“運(yùn)算能力”是指“能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力?！边\(yùn)算能力的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過程，需要落實(shí)到具體的課堂教學(xué)中，也需要恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法。運(yùn)算是抽象的，運(yùn)算的學(xué)習(xí)都是從具體事物開始，之后逐步抽象成數(shù)、式、方程等運(yùn)算。但小學(xué)生的思維以形象思維為主，過快的從具體事物躍升到抽象運(yùn)算，不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，也不利于運(yùn)算能力的培養(yǎng)。所以，在具體事物和抽象運(yùn)算之間，需要直觀圖形的介入，實(shí)現(xiàn)“逐步抽象”，幫助學(xué)生理解算理，掌握運(yùn)算意義，靈活運(yùn)用運(yùn)算解決問題、發(fā)展思維。

利用圖形描述和分析問題，就是幾何直觀。借助幾何直觀，可以使抽象的運(yùn)算變得簡(jiǎn)明、形象，幫助學(xué)生直觀地理解運(yùn)算，使運(yùn)算的思維過程清晰可見。教師應(yīng)通過溝通算法與算理，使學(xué)生理解運(yùn)算規(guī)則和運(yùn)算定律的意義，拓展運(yùn)算性質(zhì)，提升運(yùn)算思維，培養(yǎng)其運(yùn)算能力。

一、利用直觀圖形，溝通算法、算理

學(xué)生運(yùn)算能力的高低更多是受基本算理理解能力的影響，要夯實(shí)運(yùn)算基礎(chǔ)，首先要讓學(xué)生理解算理，實(shí)現(xiàn)算法與算理的溝通。曹培英教授認(rèn)為，基本口算與算法、算理共同構(gòu)成運(yùn)算能力的底部。而“算理的解析是教學(xué)重點(diǎn)，一般也就是教學(xué)的難點(diǎn)所在?！?/p>

兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活緊密聯(lián)系，小學(xué)四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)都是從生活實(shí)例入手，但算理的理解不能僅停留在實(shí)物層面，要讓學(xué)生經(jīng)歷從“實(shí)物——圖形——算理”的過程。因?yàn)閳D形相對(duì)實(shí)物更具有普遍性，也相對(duì)抽象，可以幫助學(xué)生脫離具體數(shù)量的干擾，有助于學(xué)生深入地分析和理解運(yùn)算本身。

如兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法。如果在教學(xué)中不重視算理的得出，學(xué)生也能夠按照計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算，盡管這樣的計(jì)算更多的是一種模仿。以34×12為例，筆者對(duì)4所不同層次學(xué)校共8個(gè)班級(jí)學(xué)生的調(diào)查表明，學(xué)生計(jì)算的正確率都超過了90%，而對(duì)算理的掌握程度卻并不樂觀。浙江省小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)中的相關(guān)題目（圖1）就充分說明了這一點(diǎn)：全省選擇正確答案A的學(xué)生僅有60.9%。只能模仿計(jì)算而不理解算理，即有了計(jì)算能力而缺乏運(yùn)算能力，這對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)簡(jiǎn)便運(yùn)算、解決問題等都會(huì)帶來(lái)負(fù)面影響。

可見，在教學(xué)中要加強(qiáng)算法與算理的溝通，通過具體實(shí)例、圖形、數(shù)字等不同表征形式的轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生理解算理。

大致教學(xué)過程如下：

（1）出示例題：每套書有14本，王老師買了12套，一共買了多少本？學(xué)生列出算式14×12后，思考：能用幾種方法計(jì)算？（生活實(shí)例引入）

（2）展示不同方法，如14×2×6，14×3×4，14×10+14×2，10×12+4×12，2×12×7……等。比較后得出，不同計(jì)算方法的結(jié)果都是相同的。（探究多種算法）

（3）出示37×13，學(xué)生思考后發(fā)現(xiàn)，把其中的一個(gè)兩位數(shù)分拆成整十?dāng)?shù)加一位數(shù)（如37×10+37×3）是一種適用于所有的兩位數(shù)乘兩位數(shù)的通用方法。（從特殊到一般）

（4）結(jié)合點(diǎn)子圖進(jìn)行理解（圖2），經(jīng)歷從口算到豎式計(jì)算的轉(zhuǎn)變（圖3），最后歸納豎式計(jì)算的步驟和方法。（借助圖形，理解算理）

通過教學(xué)，學(xué)生真正理解了算理。計(jì)算時(shí)，不再是機(jī)械地模仿，而是基于算理理解的運(yùn)算。教后測(cè)試，同樣題目的正確率超過了95%。

點(diǎn)子圖的介入，使兩位數(shù)乘法豎式的每一步都有對(duì)應(yīng)的圖形解釋，有助于學(xué)生更好地理解算理，構(gòu)建運(yùn)算模型。張奠宙教授指出：“從‘會(huì)做提升到‘知道為什么這樣做，事關(guān)創(chuàng)新人才的培養(yǎng)?！笨ㄈR爾的研究表明，能夠貫通算法與算理的學(xué)生往往表現(xiàn)出較高的數(shù)意識(shí)和運(yùn)算感，也能夠形成有效的推理策略、更好的交流技能，以及大范圍問題解決策略的豐富經(jīng)驗(yàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)的算理教學(xué)都離不開圖形，圖形幫助學(xué)生理解算理，從正確計(jì)算上升到正確理解。

幾何直觀在溝通算法、算理中能發(fā)揮很好的作用。教材中也有很多借助幾何直觀說明算理的例子，如9加幾、表內(nèi)乘法、分?jǐn)?shù)加減法等等。充分運(yùn)用好幾何直觀素材，促進(jìn)算法、算理的理解與溝通，能更好地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。

二、進(jìn)行直觀操作，理解運(yùn)算順序

理解運(yùn)算順序一直是四則運(yùn)算教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。運(yùn)算順序的規(guī)定是為了保證計(jì)算結(jié)果的唯一性，是人類追求簡(jiǎn)捷的本能在計(jì)算活動(dòng)中的具體反映，要在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)。

直觀操作能更好地幫助學(xué)生理解運(yùn)算順序。通過對(duì)圖形地觀察、操作，能夠使復(fù)雜的算理變得形象直觀，讓學(xué)生體會(huì)到運(yùn)算順序規(guī)定的必要性，理解運(yùn)算順序，提升運(yùn)算能力。

如“乘加、乘減”的教學(xué)：

（1）師：觀察下面4幅圖，列出算式。（圖4）

（2）分別得到下列算式：

（3）讓學(xué)生用筆在圖上圈一圈，想一想先算什么、再算什么，然后計(jì)算。

（4）讀出第二行的算式。

學(xué)生通過操作，理解“先乘除后加減”不是簡(jiǎn)單的規(guī)定，而是人類追求簡(jiǎn)捷的本能在計(jì)算活動(dòng)中的具體反映。學(xué)生通過直觀操作，經(jīng)歷觀察、列式、說意義、讀算式等過程，體會(huì)到“把算式里相同的加數(shù)表示為乘法形式，能使計(jì)算簡(jiǎn)便”。

理解運(yùn)算順序的目的是“根據(jù)法則與運(yùn)算律尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑”，這是運(yùn)算能力的重要體現(xiàn)。運(yùn)算順序的規(guī)定從來(lái)不是死板的，即便如基本的加減混合運(yùn)算217+49-17、217-49-51、217+49+83等題目，不同的題目也可以采用不同的運(yùn)算順序使計(jì)算簡(jiǎn)便。直觀圖形能幫助學(xué)生理解運(yùn)算順序，使得運(yùn)算順序不再是強(qiáng)制規(guī)定，而是基于計(jì)算簡(jiǎn)便的自覺要求，從而形成合理簡(jiǎn)潔運(yùn)算的意識(shí)和能力，達(dá)到培養(yǎng)“靈活運(yùn)算”能力的要求。