清華老師的數學教學方法論

嚴秀坤

摘要：清華老師作為終身從教的一代杰出的人民教育家、思想家、書法家，始終忠誠于黨的教育事業(yè)，桃李滿天下、美譽遍九州。他的教育教學觀尤其是數學教育教學思想，內容豐富、博大精深，構建了一個較為完整的教育科學體系。這里，僅論述其提出了解數學教學方法的重要性、闡述把握數學教學方法的要求和揭示運用于數學教學的基本方法等三個方面，以便對當前改進數學教育教學有所助益。

關鍵詞：清華老師；數學教學；方法論

和徐特立、陶知行等現當代知名教育教學工作者一樣，清華老師也是一代杰出的人民教育家、思想家。他從教44年期間，于繁重的校務管理之余，曾精心編寫《教育學概論》、《各科教案》和《各科教學方法探析》等講義，以豐富的教學經驗和事例，新穎的內容、優(yōu)美的書法和活潑生動的語言，呈現了他的教育教學思想和教學方法。在這里，僅從清華老師提出了解數學教學方法的重要性、闡述把握數學教學方法的要求和揭示運用于數學教學的基本方法等角度，來談談清華老師的數學教學方法論問題。

一、提出了解數學教學方法的重要性

清華老師認為，數學是一門研究客觀世界數量關系和空間形式的科學。隨著現代科技和數學學科的發(fā)展，“數量關系”和“空間形式”有了越來越豐富的內涵和更加廣泛的外延。這樣，數學既是一種工具又是一種思維模式，既是一種知識又是一種素養(yǎng)，既是一門科學又是一種文化。然而，要真正深入到數學大廈的殿堂、領悟其中的奧秘和樂趣，又不是一件輕而易舉的事，必須了解數學教學方法才有可能。因此，了解數學教學方法在培養(yǎng)高素質科技人才、管理干部中具有其獨特的、不可替代的意義，正如清華老師說的：“認真對待學習中的每件事才是最好的學習態(tài)度，聰明與否并不重要?！盵1]

第一，這是培養(yǎng)一代新人知識的需要?！坝嬎阏?，實為利用厚生之源，物質開化之本。…算術者，使發(fā)達數之觀念，而使知數之應用之法也。如此，算術一科其所以得占國民教育上重要之地位者，以其備兩方面之陶冶故也?！盵2]清華老師深諳此理，反復強調數學教學要面向未來培養(yǎng)人才，而時代在日新月異的發(fā)展，新知識的增長速度大大加快，如今的學生在學校里學得的知識可能只占人一生中所學知識的百分之十左右，其余百分之九十左右的知識要待走出校門以后自己去獲??；他常以生物學家達爾文“最有價值的知識是關于方法的知識”和未來學家托夫勒在《第三次浪潮》中講的話“未來的文盲不再是不識字的人，而是沒有學會學習的人”告誡學生。數學和哲學一樣，是一切科學的兩個基礎。因此，他苦口婆心提出了解數學教學方法對學生成人成才的重要性。

第二，這是提高學生自覺能力的需要。清華老師常說，數學教師教學與工人做工、農民種田、科技人員發(fā)射衛(wèi)星等等工作的不同點在于，數學教學屬于“人——數——人”系統(tǒng)，是人與人在數學領域打交道。人與人、老師與學生，兩個方面都要有主動性，兩個方面都應協同努力、密切合作，才能把數學教學搞好。從學生能力提高的意義上來說，數學教學的根本任務就是充分調動學生數學學習能力，達到不教而學的目標。而學生的數學能力可以表現為兩種水平：一種是復現水平，即對于數學老師講解過的例題可以基于記憶或悟性而復現出來，甚至能舉一反三，“聞一知多”；另一種是遷移水平，即學生的數學演算和解題能力不光表現在數學教師已經講解過的內容方面，而且再現在從未接觸過或聽說過的內容方面。誠如徐特立所言：“問題者，以數表事實之關系者也。其課務得分之為二：（一）事實及事實之關系；（二）數及數之關系，是也。算術教授以使對于此二者得正當明了之觀念，且使之計算成一種技能為要旨?！盵3]

第三，這是發(fā)展學生各項基本素養(yǎng)的需要。素養(yǎng)，包括觀察、記憶、想象、思維、理解等因素的涵養(yǎng)與修為。與之相對應，就有觀察方法、記憶方法、想象方法、思維方法、理解方法等。在學生諸多基本素養(yǎng)之中，數學素養(yǎng)是最基本的素養(yǎng)之一。清華老師認為，讓學生掌握某種基本素養(yǎng)，常常要經過較長時間的反復訓練，它不象傳授某種知識那樣能夠立竿見影。然而，一旦學生掌握好數學素養(yǎng)，就能為發(fā)展其他各項基本素養(yǎng)奠定基礎，可以讓學生終身受益。他常說，對于提高數學素養(yǎng)來講，學好數學課程、了解數學教學方法是非常重要的。因為數學作為各門學科的基礎課，它內容豐富、理論嚴謹，應用廣泛、影響深遠，數學素養(yǎng)的修成不僅為學生學習后繼課程和進一步擴大數學知識面奠定必要的基礎，而且在培養(yǎng)學生抽象思維、邏輯推理能力，綜合利用所學知識分析問題解決問題的能力、較強的自主學習能力與創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力上，都具有非常重要的作用。

二、闡述把握數學教學方法的要求

“教授者，為達教育之目的，以一定之方案（課程、細目、教案）、矯正（自習之誤點）、整理（整理錯雜的知識使有系統(tǒng)）、授與知識技能于生徒也?！盵4]所謂數學教學方法，是數學教師在數學教學過程中引導學生完成數學教學任務所采用的手段和方式的總稱，它既包括數學老師教的活動方式、也包括學生在數學老師指導下的學習活動方式，是教的方法和學的方法的統(tǒng)一。要達到這種教學相長、共同提高的目標，清華老師認為除了解數學教學方法的重要性之外，還應把握數學教學方法的要求。

第一，整體安排，有機滲透。清華老師認為，數學教學方法的整體安排有三層意思：一是數學教學方法的實施要在學校統(tǒng)一領導下同步進行。這一數學教學方法的實施僅僅在一個班、一個年級里進行，收效往往甚微；在幾個班和年級，或文、理、工各專業(yè)同時進行，則可以互相促進，形成整體優(yōu)勢。二是各專業(yè)、各年級要形成序列。如小學1-6年級、初中1-3年級、高中1-3年級要形成訓練序列，循序漸進，逐步提高。三是數學教學方法各項具體內容要統(tǒng)一安排。文、理、工各專業(yè)各有側重又互相聯系，各個年級各有重點又螺旋式上升。

數學教學方法的要求，在注重整體安排的同時，也要注意有機滲透。清華老師指出，數學教學方法大體上有兩種形式：一種是在數學教學過程中相機進行教學方法指導，另一種是開設專門的教學方法指導課。比較而言，前一種形式較受學生歡迎。但不管采用何種形式，都應將數學教學方法有機地滲透到數學教學的過程之中；離開具體的數學教學內容而大談教學方法，結果往往適得其反。

第二，注重能力，因人而異。徐特立說：“數學解決什么問題達到什么目的？它是學以致用，是有始有終的。”[5]基于此，清華老師認為，數學教學方法的本質意義不在于讓學生了解、記住多少數學學習方法，而在于提高學生的數學能力。他總結道：將數學教學方法的有關知識變成學生的數學能力，這需要一個轉化、遷移的過程。學生把握數學學習方法，大體上有三級水平：第一級，識記；第二級，理解；第三級，自覺地、獨立地運用。讓全體學生達到第三級水平，才是數學教學方法要求的根本目的。清華老師還指出，將方法轉化為解決問題的能力，一般需要經過“領悟-嘗試-運用-小結-反復實踐”這樣幾個環(huán)節(jié)。因而，要求數學教學方法的提高，不能操之過急，淺嘗輒止。

數學教育方法的要求，在注重能力的同時，也要注重因人而異。陶行知說過：“民主的教育方法，要使學生自動，而且要啟發(fā)學生使能自覺，要客觀，要科學，不限于一種，要多種多樣，因材施教，要生活與教育聯系起來”[6]。清華老師認為，數學教育方法的要求既要有統(tǒng)一布置，又不能搞一刀切。因為每個學生在自己長時間的數學學習過程中，都會積累起一些適應于自己的好的學習方法，不宜過分干預。真正好的數學教師要善于發(fā)現學生中自己創(chuàng)造的一些好的方法，并且組織學生交流和適度推廣。

第三，同步改革，及時總結。清華老師指出，數學教學方法的改革，涉及教師教法改革和學生的學法指導，是一個問題的兩個方面。一般而言，掌握學法要以改革教法為前提，改革教法又要落腳在讓學生把握學法上。若教法未改，學法指導也難以進行；學法不變，教法改革就抓不住關鍵。學法指導與教法改革兩者之間，存在著互相制約、互相促進的關系。因而，數學教學必須在研究學法指導的同時，一定要同步研究教法的改革，盡量使之相互協調起來。

數學教學方法的要求，在抓好同步改革的同時，也要注意及時總結。清華老師喜歡用案例法教學，來說明及時總結的必要。他說，一位數學教師出示了如下列題讓學生列方程式：“時速20公里的卡車由甲地駛往乙地，一個半小時后，一輛時速40公里的摩托車也由甲地駛往乙地，摩托車幾小時可以追上卡車？”不久，便有幾個學生列出方程式：40x=20*1.5+30x。 這位老師并未就此放手，而是由果溯因，要求學生說出列方程式的方法。學生經過思索，說出了以下幾種方法：（1）排除法。這道題涉及到摩托車和卡車的行車速度、行車時間、行車距離。從題中可以看出，兩車行走速度不等，可以排除；兩車行走的時間不等，也可以排除。因而，選距離作為等量才是恰當的。（2）作圖法。通過作圖，使題中的等量形象化、明朗化。（3）公式法。利用距離等于速度乘時間的公式可列出方程式。學生的回答說明，不僅做題有方法，而且解一題常有多種方法，同伴的經驗更有啟發(fā)性。通過及時總結，全班同學均能從中受到深刻啟發(fā)，數學教學方法的要求也得以達到。

三、揭示運用于數學教學的基本方法

“令人感到悖理的是，我們種屬的一切較高的文化賴以存在的基礎是，我們若與其增長相適應，便必須越來越漫長、越來越多停頓和曲折的道路，才能達到我們的目的。人達到的文明程度越高，他便越是走迂回曲折道路的生命。動物和未開化的人的意志所要求者，他們，一般而言，以所謂直接方式，通過簡單抓取或少量簡陋工具便可達到：手段和目的的結構可一覽無余。高等生命不斷增長的多環(huán)節(jié)性和復雜性不滿足于單純的三段序列：意愿-手段-目的，而是允許有中間環(huán)節(jié)，以便達到眾多，在這眾多之中原本有效的工具通過一個工具造成，而這個工具又通過另一個工具造成，最后形成我們實踐活動的那種看不到邊際的糾結，即鏈條品格，人在這一鏈條品格之內享受著成熟的文化?！盵7]徐特立說：“我是研究各科方法的，研究整個數學自算術以至高等數學的研究方法問題。”[8]清華老師認為，要想“享受”數學這一人類創(chuàng)造的“成熟的文化”，就必須學會運用這一個一個的工具——數學教學的基本方法。應該說，運用于數學教學的基本方法是多種多樣的，這里僅對清華老師數學教學方法中的直授法、歸納法和點撥法作些闡釋。

第一，直授法。顧名思義，直授法是數學老師通過講授、示范而直接授于學生學習數學的一種方法。清華老師認為，直授法的具體方式有兩種：一種是開設數學教學法指導課集中直授，另一種是結合數學不同年級、不同班級的具體教學內容而分散直授。二者比較而言，后一種做法效果更好。實際上，數學教學的方法運用，如預習、上課、復習、作業(yè)等，直授法比較適合。數學老師可先直接講授某些數學學習方法，然后要求學生照著去做。例如預習，就可以直授三種方法：（1）課前預習的方法。數學教師在講課之前，學生要先預習下一節(jié)或二節(jié)的內容，在預習中學會理清教材教學體系的思路，抓住教材要點，提出學習疑點和難點，以便有的放矢地進行教學。（2）階段預習方法。階段預習，指預習一章、一個單元或幾章、幾個單元的內容，在預習中要學會快速閱讀，抓住重點，弄清章節(jié)間的聯系。（3）學期預習。即在開學前或假期預習新教材，要學會自讀目錄，快速瀏覽，大體把握教材的知識體系。在此，清華老師特別強調數學教學在運用直授法時，方法的概括要簡明扼要，便于學生記憶，并要盡可能結合例題予以講解；運用直授法以后，要在之后的數學教學中不斷提醒學生運用，使之熟練鞏固，直至成為習慣。

這一教學方法，徐特立也有類似論述。他說：“算術教授方法，先提出若干問題，而使為事實、關系之判斷及計算，使之理會對于事實、關系之知識，與存于數之關系之理法，及關于計算之規(guī)則，更須使應用于實地之問題。故教授單元時，必須踐五段形式，而與他教科不同者，在應用練習之時期特長耳?！盵9]

第二，歸納法。歸納法是指學生在接觸了較多的數學材料之后，數學教師引導學生從同類的若干個別中歸納出的一種數學教學方法。清華老師認為，歸納法與直授法的不同點在于：直授法是先直接教給學生某些方法，再將這些方法運用于實踐之中；歸納法是先接觸個別實例，再從中歸納出教學方法。在數學教學方法中，歸納法與直授法常常是結合著運用的。實際上，數學教師在教學中要求對基本概念的敘述清晰準確，對定理的證明簡明易懂，但對難度較大的理論問題則不過分強調論證的嚴密性，有的僅給出結論而不加證明，對例題的講述力求典型多樣，難度上講究層次分明，并注意解題方法的歸納，尤其注重基本運算能力的培養(yǎng)和相關理論的實際應用。

清華老師強調，數學教師例題、舉例子，不能停留在引導學生理解個例的水平上，而要對個例進行歸納、抽象，讓學生從理解個別實例上升到掌握一般方法。例如，數學教師在教根式化簡時可出題示范：（1）；（2）；（3）。通過這三個例題的教學，數學教師可以從中歸納出根式化簡的三個要素：一約、二提、三化，這三個要素即根式化簡的基本方法。再如，在教二項乘法法則時，要通過個例教學，歸納出“前前、后后、里里、外外”的簡化口訣。教三角函數的54個誘導公式時，要通過個例的教學，歸納出“奇變偶不變，符號看象限”的口訣。這些簡明扼要的口訣的歸納，就是把握有關數學知識和技能的基本方法。讓學生掌握這些基本方法，比掌握個例更為重要。

第三，點撥法。陶行知說：“不在做上用工夫，教固不成為教，學也不成為學。從廣義的教學觀看，先生與學生并沒有嚴格的區(qū)別。實際上，如果破除成見，六十歲的老翁可以跟六歲的兒童學好些事情。會的教人，不會的跟人學，是我們不知不覺中天天有的現象。因此教學做是合一的?！盵10]正是在“教、學、做”的過程中，點撥法才得以實施。清華老師認為，點撥法是指在數學教學過程中隨機點撥學生而開展的教學方法。所謂“隨機點撥”，是指這種點撥不一定是有計劃的，不一定是事先安排好的，而是在數學教學過程偶然出現了需要點撥的教學方法的情境和需要時，數學教師才順勢進行點撥。正因為這一點撥法不一定是事先設計好的，不屬于“規(guī)定動作”，所以一定要求數學教師具有愛生之心、要善于捕捉和抓住點撥時機，不至因“麻木不仁”產生視而不見。

基于此，清華老師特別強調，點撥法的科學有效運用，時機非常重要。指出：點撥法運用的最佳時機，是學生學習數學處于“憤”、“悱”之際，即處于想找到正確結論，但又苦于沒有方法找到正確結論之時。此間運用點撥法，有如“好雨知時節(jié)”，必將產生“四兩撥千斤”、“潤物細無聲”的良好效果。

參考文獻：

[1]尚爾凡：《感受清華》，內蒙古文化出版社2009年第2版，第96頁。

[2]武衡等主編：《徐特立文存》（第一卷），廣東教育出版社1995年版，第177頁。

[3]武衡等主編：《徐特立文存》（第一卷），廣東教育出版社1995年版，第181頁。

[4]武衡等主編：《徐特立文存》（第一卷），廣東教育出版社1995年版，第328頁。

[5]武衡等主編：《徐特立文存》（第四卷），廣東教育出版社1995年版，第261頁。

[6]陶行知：《中國教育改造》，東方出版社1996年版，第195頁。

[7][德]格奧爾格·西美爾著，朱雁冰譯：《叔本華與尼采》，上海人民出版社2009年版，第4頁。

[8]武衡等主編：《徐特立文存》（第四卷），廣東教育出版社1995年版，第238頁。

[9]武衡等主編：《徐特立文存》（第一卷），廣東教育出版社1995年版，第181頁。

[10]陶行知：《中國教育改造》，東方出版社1996年版，第109頁。