用虛功平衡原理分析非線性自治電路

韋忠海 黃炳華

摘要：用基波平衡原理求得注入網(wǎng)絡(luò)的基波電流Is1。它的流向代表網(wǎng)絡(luò)在脫離激勵(lì)源以后，為維持自激振蕩關(guān)于實(shí)功與虛功的盈虧情況，其是判斷網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性和振蕩性狀的有力依據(jù)。當(dāng)實(shí)功與虛功同時(shí)取得平衡時(shí)，如果能夠求得基波解的振蕩頻率ωS和幅值Um，則網(wǎng)絡(luò)必然存在有對應(yīng)的周期解。以含阻尼項(xiàng)的Duffing方程為例，說明虛功平衡和振蕩頻率的密切關(guān)系。

關(guān)鍵詞：非線性；穩(wěn)定性；虛功功率；杜芬方程；虛功平衡；振蕩頻率

中圖分類號：TN722 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-2374（2013）05-0135-03

1 非線性方程的第一形式

設(shè)非線性電路模型如圖1，電路中各參數(shù)和非線性元件的伏安特性如式（1），式中是等效基波電導(dǎo)，是壓控非線性電感。無阻尼方程式（2）和含阻尼方程式（3）是Duffing方程去掉強(qiáng)迫項(xiàng)后的自治形式，本文統(tǒng)稱為第一形式，它們都只有一個(gè)平衡點(diǎn)。式（2）基波解頻率和幅值的關(guān)系為式（4）。

2 非線性方程的第二形式

若改變非線性電感特性為，則可建立第二形式的杜芬方程為式（5），兩種形式Duffing方程的主要區(qū)別在于，式（5）中前面的負(fù)號，使方程的性質(zhì)發(fā)生根本的變化：稱之為第二形式，由式（5）用基波平衡原理可以解出式（6）。和是基波解的頻率和幅值。

由式（7）用基波平衡原理解出式（8）。當(dāng)時(shí)，無法找到一對正值解滿足式（8）。這個(gè)結(jié)論用Matlab驗(yàn)證是正確的，不論初激值的大小，相點(diǎn)最后落入兩個(gè)穩(wěn)定焦點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，是不穩(wěn)焦點(diǎn)，三個(gè)平衡點(diǎn)排列成結(jié)構(gòu)，其中表示不穩(wěn)焦點(diǎn)，表示鞍點(diǎn)?？梢哉业揭粚φ到鉂M足式（8），不管初激值的大小如何，相圖總顯示有極限環(huán)。當(dāng)時(shí)，相圖的性狀和初激值的關(guān)系比較復(fù)雜，當(dāng)初激值進(jìn)入吸引區(qū)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)沒有振蕩；圖2和圖3表示在避開吸引區(qū)初激值下的平面相圖和極限環(huán)。圖2表示由內(nèi)趨向極限環(huán)的相圖；圖3表示由外趨向極限環(huán)的相圖?？梢园l(fā)現(xiàn)只用為原點(diǎn)的一個(gè)座標(biāo)體系，關(guān)于不同刺激值引起相圖性狀的變化，無法找出其中的規(guī)律性。

如果改成以為座標(biāo)體系的原點(diǎn)，式（7）改成式（9）則可分析出，在小刺激值時(shí)是穩(wěn)定的，在大刺激值時(shí)會(huì)產(chǎn)生周期振蕩有極限環(huán)。新的座標(biāo)體系，可以確定穩(wěn)定平衡點(diǎn)的吸引區(qū)，其范圍和的大小有關(guān)。圖4表示當(dāng)時(shí)吸引區(qū)的范圍。由多個(gè)平衡點(diǎn)建立多個(gè)不同的座標(biāo)體系，分析相圖的性狀應(yīng)該得出同一個(gè)結(jié)論。但多個(gè)座標(biāo)體系可以分析相圖全局結(jié)構(gòu)的變化規(guī)律。

3 用虛功平衡分析非線性保守系統(tǒng)·非線性方程的第三形式

例如取時(shí)，為要使取負(fù)值，可由式（11-1）解出式（11-2），則的范圍應(yīng)為或。當(dāng)可解出式（11-3），程序Duffing還顯示，使取正值的兩族閉軌線的大體范圍是，小閉軌線對應(yīng)的基波解幅值大約為，大閉軌線的大體范圍是，在這兩個(gè)范圍內(nèi)，式（10）的括號項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)恢復(fù)力?？梢哉业揭欢ǖ恼龑?shí)數(shù)值使，其意義是在恢復(fù)力范圍內(nèi)，有一個(gè)振蕩頻率能滿足虛功平衡故振蕩存在。

用Matlab仿真分析證明，當(dāng)初激值在左右變化時(shí)，相圖顯示存在兩組大小不同的閉軌線，時(shí)出現(xiàn)小閉軌線；當(dāng)時(shí)出現(xiàn)大閉軌線，如圖5和6。這兩組閉軌線都不是極限環(huán)，圖5-1的初激值，圖5-2的初激值，當(dāng)時(shí)，相圖出現(xiàn)大閉軌線如圖6。兩者幅值范圍差別很大，相點(diǎn)是從跳至，以上結(jié)果用Math程序分析和用Matlab仿真驗(yàn)證獲得一致的結(jié)論。

在滿足，的條件下，只要有合適的正實(shí)數(shù)解存在，則電路存在有周期解，式（10）從Math程序Duffing以及Matlab相圖5和6可以看出，閉軌線的幅值不會(huì)出現(xiàn)在的區(qū)間，在這個(gè)范圍內(nèi)，若要有一個(gè)頻率使取正值，則從式（11）可見恒有，說明在此范圍內(nèi)虛功無法平衡，式（10）的括號項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)排斥力，振蕩不存在。由此可見，力學(xué)的保守系統(tǒng)在于機(jī)械能守恒，在電路系統(tǒng)表現(xiàn)為實(shí)功平衡恒成立，這類非線性保守系統(tǒng)，虛功平衡成為確定振蕩性狀的唯一依據(jù)。只有在虛功平衡的范圍內(nèi)或，才有可能建立振蕩。

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（責(zé)任編輯：文 森）